高中数学人教版新课标A必修13.1.2用二分法求方程的近似解教学设计

 4.5.2　用二分法求方程的近似解

新课程标准：

1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.

2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.

3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.

学业水平要求：

★水平一

1.能从教材实例中了解二分法概念.（数学抽象）

2.能从教材实例中归纳出用二分法求方程近似解的步骤.（逻辑推理）

★水平二

能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（数学运算）

导思

1.求函数的零点时，如果方程无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？

2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？

1.二分法的概念

(1)二分法：对于在区间上图象连续不断且的函数，

通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近

零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.

(3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解.

【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？

提示：方程的根即为对应函数的零点.

2.用二分法求函数零点近似值的步骤

(1)步骤：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：

①确定零点的初始区间，验证.

②求区间的中点.

③计算，并进一步确定零点所在的区间：

(i)若(此时)，则就是函数的零点；

(ii)若(此时)，则令；

(iii)若(此时零点)，则令.

④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)，否则重复步骤②～④.

(2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现.

(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.

【思考】

零点的近似解只能是区间的端点或吗？

提示：不是，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值.

【基础小测】

1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)任何函数的零点都可以用二分法求得. (　　)

(2)用二分法求出的函数零点就是精确值. (　　)

(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高. (　　)

提示：(1)×.函数需满足在区间上连续不断且，才能用二分法求零点.

(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.

(3)×.精确度越大，零点的精确度越低.

2.下列图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)

【解析】选A.只有A中图象与轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.

3.(教材二次开发：例题改编)若函数的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

则方程的一个近似解(精确度)为_______.

【解析】因为，所以；

因为，

又，

所以，此时.所以可以是之间的任意一个数，故取.

答案：(答案不唯一)

类型一　二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)

【题组训练】

1.(2020·周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是 (　　)

2.已知有零点，但不能用二分法求出，则的值是(　　)

A. B.  C.  D.

3.下列关于函数，的叙述中，

①二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；

②若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；

③用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；

④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.

其中正确的个数为 (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C.

2.选A.有零点，但不能用二分法求出，

则，有两个相等的实数根，

则，解得.

3.选B.二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点.正确；②中函数不一定连续，且无法判断是否有，错误；③中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确；

④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.

【解题策略】

运用二分法求函数的零点应具备的两个条件

(1)函数图象在零点附近连续不断.

(2)在该零点左右函数值异号.

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.

【补偿训练】

已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为              (　　)

A.，  

B.，  

C.， 

D.，

【解析】选D.由图象可知，函数有个零点，能用二分法求出的有个.

类型二　用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)

【典例】1.(多选题)用二分法求函数的一个零点，其参考数据

如下：

根据上述数据，可得的一个零点近似值(精确度)为(　　)

A.  B.  C.  D.

2.用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是_______. 

【解题导引】1.首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.

2.依据，，的符号作出判断.

【解析】1.选BCD.由参考数据知，即

且.

所以的一个零点的近似值可取为，，.

2.设，，，，零点所在的区间为，所以方程下一个有根的区间是.

答案：

【解题策略】

二分法求函数零点的关注点

(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.

(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.

【跟踪训练】

1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，

当(为精确度)时，函数零点近似值与真实零点的误差最大

不超过 (　　)

A.     B.     C.  D.

【解析】选B.真实零点离近似值最远即靠近或，而  

因此误差最大不超过.

2.在用二分法求函数在内的零点的近似解时，经计算，，，则可得出方程零点的一个近似解为_______(精确度).  

【解析】因为，

所以内的任意一个值都可作为方程的近似解.

答案：(答案不唯一)

类型三　用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)

角度1　求方程的近似解 

【典例】用二分法求方程的近似解(精确度为).

【思路导引】设出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算.

【解析】设函数，

因为函数与在上都是增函数，所以在上是单调递增的，

又因为，

，，

所以在区间内存在零点，

利用二分法可得表，

方程在精确度为的要求下的一个近似值为.

【变式探究】

本例中，若精确度变为，则要达到精确度要求至少要计算多少次？

【解析】设至少需要计算次，则满足，

即，因为，所以至少需要计算次.

角度2　已知方程根的个数求参数范围 

【典例】(2020·南通高一检测)已知函数             设方程有个不同的根，则实数的取值范围是_______. 

【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.

【解析】方程有个不同的根，

即为有个不等实根，作出的图象，可得时，与的图象有个交点.

答案：

【解题策略】

1.关于二分法求方程的根

设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可.

2.关于利用方程的根求参数的范围

(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；

(2)解题思维过程：方程解的个数⇒函数交点个数⇒方程根的个数，方法是数形结合法.

【题组训练】

1.利用二分法求方程的近似解，初始区间可以取 (　　)

A. B. C. D.

【解析】选C.设，

因为当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又因为，，故，

故方程在区间上有解.

2.(2020·吉林高一检测)已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_______. 

【解析】因为,所以的图象如图：  

所以的图象如图：

因为恰有个不同的零点，所以图象与轴有两个不同的交点.因为若时，有两个零点，

则令，得或；

则时，没有零点，所以.

因为若时，有一个零点；

则时，有一个零点，所以.

答案：.

1.用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证

，取区间的中点，计算得，则

此时零点所在的区间是(　　)

A. B.

C. D.无法确定

【解析】选B.由题意可知：对于函数在区间上，有

，

利用函数的零点存在定理，所以函数在上有零点.取区间的中点,

因为计算得，所以利用函数的零点存在定理，函数在上

有零点.

2.已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到，则需对区间至少等分的次数为              (　　)

A. B.  C. D.

【解析】选C.设需计算次，则满足，

即.故计算次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为次.

3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程的一个近似解(精确度为)可取_______.

【解析】，，方程的一个近似解在上，且满足精确度为，所以所求近似解可取为.

答案：(答案不唯一)

4.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间为_______. 

【解析】因为，，，

所以，.

所以下一个有根区间应为

答案：.