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必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程课文ppt课件
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这是一份必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程课文ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了知识梳理，fc＝0，一分为二，典型例题分析，∴x0∈23，－20，当堂检测，acb等内容，欢迎下载使用。
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝ 的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 上有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)·f(b)<0
有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
题型一 函数零点的确定命题点1 确定函数零点所在区间例1 已知函数f(x)＝ln x－ x－2的零点为x0，则x0所在的区间是 .(填序号)①(0，1)； ②(1，2)； ③(2，3)； ④(3，4).
命题点2 函数零点个数的判断例2 函数f(x)＝ 的零点个数是 .
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－ (正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋ >0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ －lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 .(填序号)①(0，1)； ②(1，2)；③(2，4)； ④(4，＋∞).
所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4).
(2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为 .
令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是 .
因为函数f(x)＝2x－ －a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是 .
(0，1)∪(9，＋∞)
设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴09.
已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则a的取值范围为 .
∵－a＝x2＋x在(0，1)上有解，
∴函数y＝x2＋x，x∈(0，1)的值域为(0，2)，∴0<－a<2，∴－2
作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：
当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0
2.若函数f(x)＝lg3x＋x－3的零点所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝ .
3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝lg2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 .
4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是 .
5.函数f(x)＝ 的零点个数为 .
1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝ 的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 上有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)·f(b)<0
有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
题型一 函数零点的确定命题点1 确定函数零点所在区间例1 已知函数f(x)＝ln x－ x－2的零点为x0，则x0所在的区间是 .(填序号)①(0，1)； ②(1，2)； ③(2，3)； ④(3，4).
命题点2 函数零点个数的判断例2 函数f(x)＝ 的零点个数是 .
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－ (正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋ >0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ －lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 .(填序号)①(0，1)； ②(1，2)；③(2，4)； ④(4，＋∞).
所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4).
(2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为 .
令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是 .
因为函数f(x)＝2x－ －a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是 .
(0，1)∪(9，＋∞)
设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0
已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0，1)上有零点，则a的取值范围为 .
∵－a＝x2＋x在(0，1)上有解，
∴函数y＝x2＋x，x∈(0，1)的值域为(0，2)，∴0<－a<2，∴－2
作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：
当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0
2.若函数f(x)＝lg3x＋x－3的零点所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝ .
3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝lg2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 .
4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是 .
5.函数f(x)＝ 的零点个数为 .
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