2020-2021学年河北省沧州市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省沧州市高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是（ ）
A.∃x0>4，lg2x0≤2B.∀x>4，lg2x≤2
C.∃x0≤4，lg2x0≤2D.∀x≤4，lg2x≤2

2. 某校有男生1600人，女生1000人，为了解该校学生的身高情况，采用分层抽样法抽取一个容量为104的样本，则抽取的男生人数是（ ）
A.24B.40C.32D.64

3. 已知椭圆C:x29+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P椭圆C，且|PF1|=2，则|PF2|=( )
A.16B.7C.4D.1

4. 已知向量m→＝(1,−1,2)，n→＝(1,0,2)，则m→，n→的夹角是（ ）
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

5. 盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（ ）
A.15B.29C.79D.710

6. 已知a，b是实数，则“lna>lnb”是“a>b”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，且|AB|=6．若△ABF2的周长为24，则双曲线C的实轴长是（ ）
A.3B.6C.9D.12

8. 如图，四边形ABCD和ABEF都是正方形，G为CD的中点，∠DAF=60∘，则直线BG与平面AGE所成角的余弦值是（ ）

A.25B.105C.155D.215
二、多选题

已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，点M(x0, y0)在抛物线C上，若|MF|＝4，则（ ）
A.x0＝3B.y0＝23
C.|OM|=21D.F的坐标为(0, 1)

甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ）

A.甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数
B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D.甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差

在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=6，AB=BC=AC=62，E为PA的中点，D，F分别在AC，PB上，且AD:CD=PF:BF=2:1，则（ ）
A.PA⊥BC
B.AB // 平面DEF
C.点C到平面DEF的距离是32613
D.平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为47839

从集合A={−1, −3, 2, 4}中随机选取一个数记为a，从集合B={−5, 1, 4}中随机选取一个数记为b，则（ ）
A.ab>0的概率是12
B.a+b≥0的概率是12
C.直线y=ax+b不经过第三象限的概率是13
D.lna+lnb>1的概率是512
三、填空题

正常情况下，某产品的销售额y（单位：万元）关于广告费用x（单位：万元）的回归方程是​y=9.4x+9.1，当投入的广告费用为6万元时，该产品的销售额约为________万元．

同时抛掷两枚骰子，正面朝上的点数都不是3的倍数的概率是49，则正面朝上的点数至少有一个是3的倍数的概率是________．

在三棱柱ABC−A1B1C1，四边形ACC1A1与四边形ABB1A1都是菱形，∠A1AC=60∘，△ABC是等边三角形，平面ACC1A1⊥平面ABC，D，E分别为AB，A1C1的中点，则异面直线DE与BC1所成角的余弦值是________．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率3的直线交C的右支于点A，若∠F1AF2=2π3，则双曲线的离心率为________．
四、解答题

已知p:lg2(x−1)0)的焦点为F，点P(x0, y0)在抛物线C上，且_____．
（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若直线l:x−y−2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．

某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满100元，可参与一次抽奖．抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为1，2，3，4的四个小球（除数字不同外，其他完全相同）的抽奖箱中取球，每次取出一个小球记下球上的数字后放回，连续取两次．若取出的两个小球的数字之和为8，则中特等奖；取出的两个小球的数字之和为7，则中一等奖；取出的两个球的数字之和为6，则中二等奖；取出的两个小球的数字之和为5，则中三等奖，其他情况不中奖．
(1)求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；

(2)求某顾客抽奖一次，中奖的概率．

在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，AD＝AB＝1，BC＝2，，E为PB的中点．

（1）证明：AE // 平面PCD．

（2）若PA⊥平面ABCD，且，求CP与平面PBD所成角的正弦值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为22，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S​△F1MP:S​△F1NQ=3:2，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省沧州市高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是∃x0>4，lg2x0≤2．
2.
【答案】
D
【考点】
分层抽样方法
【解析】
直接利用分层抽样的关系式，求出结果．
【解答】
由题意可得抽取的男生人数是16001600+1000×104＝64，
3.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
结合椭圆的定义，以及已知条件求解即可．
【解答】
由题意椭圆C:x29+y26=1，所以a=3，
可得|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=2，则|PF2|=4．
4.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据向量m→，n→的坐标及向量夹角的余弦公式即可求出cs的值，进而求出m→，n→的夹角．
【解答】
∵ m→⋅n→＝1+2＝3，|m→|＝2，|n→|＝3，
∴ cs＝|m→||n→|˙＝323＝32，且∈[0,π]，
∴ ＝π6．
5.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
第一次抽出的是合格品，则还有9个零件，其中7个为合格品，根据概率公式计算即可．
【解答】
解：第一次抽出的是合格品，则还有9个零件，其中7个为合格品，
故第二次抽出的是合格品的概率是79.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．
【解答】
由lna>lnb，得a>b>0，反之不成立，
故“lna>lnb“是“a>b“的充分不必要条件．
7.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的定义推出|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=4a，结合|AB|=|AF1|+|BF1|=6，利用△ABF2的周长为24，转化求解双曲线C的实轴长即可．
【解答】
由双曲线的定义可得|AF2|−|AF1|=|BF2|−|BF1|=2a，则|AF2|+|BF2|−(|AF1|+|BF1|)=4a，
因为|AB|=|AF1|+|BF1|=6，所以|AF2|+|BF2|=4a+6，
因为△ABF2的周长为24，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=24，所以|AF2|+|BF2|=18，
则4a+6=18，解得a=3，
故双曲线C的实轴长是6．
8.
【答案】
C
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
以A为原点，以AD，AB的方向分别为x，y轴的正方向，过A作垂直平面AB−CD的直线作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．求出BG→=(2, −1, 0)，平面AGE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线BG与平面AGE所成角的余弦值即可．
【解答】
以A为原点，以AD，AB的方向分别为x，y轴的正方向，
过A作垂直平面AB−CD的直线作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
设AB=2，得A(0,0,0),G(2,1,0),B(0,2,0),E(1,2,3)，
则AG→=(2, 1, 0)，AE→=(1, 2, 3)，BG→=(2, −1, 0)，
设平面AGE的法向量为n→=(x, y, z)，n→⋅AE→＝0˙，即2x+y＝0x+2y+3z＝0，
令x=1，则y=−2，z=3，所以n→=(1, −2, 3)，
从而cs〈n→，BG→〉=|n→||BG→|˙＝2+28×5＝105，
故直线BG与平面AGE所成角的余弦值是1−(105)2＝155．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的焦点坐标判断D；利用抛物线的定义，求出x0，判断A；求出y0判断B，求解|OM|判断C．
【解答】
抛物线C:y2＝4x的焦点为F，可得F(1, 0)，所以D不正确；
点M(x0, y0)在抛物线C上，
所以x0＝3，所以A正确；x0＝3代入抛物线方程可得y0＝±23．所以B不正确；
|OM|=32+(23)2=21．所以C正确；
【答案】
A,D
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
【解析】
由图可得甲、乙运动员测试成绩的中位数、众数，计算平均数和方差，比较即可．
【解答】
由图可得甲运动员测试成绩的中位数为8，众数为8，
平均数为3×7+8×8+5×9+4×1020＝8.5，
方差为(7−8.5)2×3+(8−8.5)2×8+(9−8.5)2×5+(10−8.5)2×420＝1920；
乙运动员测试成绩的中位数为8，众数为8，
平均数为4×7+7×8+4×9+5×1020＝8.5，
方差(7−8.5)2×4+(8−8.5)2×7+(9−8.5)2×4+(10−8.5)2×520＝2320；
所以甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数，A正确；
甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众数，B错误；
甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；
甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差，D正确．
【答案】
A,C,D
【考点】
二面角的平面角及求法
命题的真假判断与应用
【解析】
推出PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，以P为原点，以PB，PC，PA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz，推出PA→⋅BC→=0，判断A；求出平面DEF的法向量，通过AB→⋅m→≠0，判断B；利用空间距离公式求解判断C；求出二面角的余弦函数值判断D．
【解答】
因为PA＝PB＝PC＝6,AB＝BC＝AC＝62，
所以PA2+PB2=AB2，PA2+PC2=AC2，PB2+PC2=BC2，
所以PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，
故以P为原点，以PB，PC，PA的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz，
则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 6)，B(6, 0, 0)，C(0, 6, 0)，
D(0, 4, 2)，E(0, 0, 3)，F(4, 0, 0)，
从而PA→=(0, 0, 6)，BC→=(−6, 6, 0)，AB→=(6, 0, −6)，DF→=(4, −4, −2)，EF→=(4, 0, −3)，
因为PA→⋅BC→=0，所以PA→⊥BC→，则A正确；
设平面DEF的法向量为m→=(x, y, z)，
m→⋅DF→＝0˙，即4x−3z＝04x−4y−2z＝0，令x=3，得m→=(3, 1, 4)，
因为AB→⋅m→=6×3+0−6×4=−6≠0，所以AB与平面DEF不平行，则B错误；
因为CE→=(0, −6, 3)，所以点C到平面DEF的距离是||CE→|cs⟨CE→，m→⟩|＝|m→|˙＝0−6×1+3×49+1+16＝32613，则C正确；
设平面ABC的法向量为n→=(x1y1, z1)，令x1=1，得n→=(1, 1, 1)，
所以cs⟨m→，n→⟩＝|m→||n→|˙＝3+1+426×3=47839，则D正确
【答案】
A,C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意可得(a, b)所有可能的取法有12种，利用列举法分别求出ab>0的概率，a+b≥0的概率，直线y=ax+b不经过第三象限的概率和lna+lnb>1的概率，由此能求出结果．
【解答】
由题意可得(a, b)所有可能的取法有12种，
(−1, −5)，(−1, 1)，(−1, 4)，(−3, −5)，(−3, 1)，(−3, 4)，
(2, −5)，(2, 1)，(2, 4)，(4, −5)，(4, 1)，(4, 4)．
其中满足ab>0的取法有(−1, −5)，(−3, −5)，(2, 1)，(2, 4)，(4, 1)，(4, 4)，共6种，
则ab>0的概率P＝612＝12，故A正确；
其中满足a+b≥0的取法有(−1, 1)，(−1, 4)，(−3, 4)，(2, 1)，(2, 4)，(4, 1)，(4, 4)，共7种，
则a+b≥0的概率P＝712，故B错误；
因为直线y=ax+b不经过第三象限，所以a1，所以a>0，b>0，ab>e，
所有满足lna+lnb>1的取法有(2, 4)，(4, 1)，(4, 4)，共3种，
故lna+lnb>1的概率P＝312＝14，故D错误．
三、填空题
【答案】
65.5
【考点】
回归分析
求解线性回归方程
【解析】
直接利用回归直线方程，代入x=6，求解即可．
【解答】
产品的销售额y（单位：万元）关于广告费用x（单位：万元）的回归方程是​y=9.4x+9.1，
当x=6时，​y＝9.4×6+9.1＝65.5，
【答案】
59
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
记“正面朝上的点数都不是3的倍数”为事件A，“正面朝上的点数至少有一个是3的倍数”为事件A¯，由此能求出正面朝上的点数至少有一个是3的倍数的概率．
【解答】
记“正面朝上的点数都不是3的倍数”为事件A，
则“正面朝上的点数至少有一个是3的倍数”为事件A¯，
∵ 同时抛掷两枚骰子，正面朝上的点数都不是3的倍数的概率是49，
∴ 故正面朝上的点数至少有一个是3的倍数的概率是：
P(A¯)=1−49=59．
答案为：59．
【答案】
154
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
取AC的中点O，连接A1O，BO，证明A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O为原点，以OA，OB，OA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，求出BC1→与DE→的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解异面直线DE与BC1所成角的余弦值．
【解答】
如图，取AC的中点O，连接A1O，BO．
由四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC=60∘，得A1O⊥平面ABC，
又△ABC是等边三角形，∴ BO⊥AC，
以O为原点，以OA，OB，OA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，
设AB=2，则B(0,3，0)，C1(−2,0,3)，D(12,32,0)，E(−1,0,3)，
从而BC1→＝(−2,−3,3)，DE→＝(−32,−32,3)，
∴ cs=|BC1→|⋅|DE→|˙=152⋅＝154，
即异面直线DE与BC1所成角的余弦值是154．
【答案】
32+102
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
画出图形，通过三角形相似，结合余弦定理求出2a，2c，然后求解离心率即可．
【解答】
由题可知∠F1OA＝2π3，易得△F1OA∽△F1AF2，所以|F1O||F1A|＝|F1A||F1F2|，
可得|F1A|＝2c，
在△F1AF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|cs2π3，
解得|AF2|=10−22c，
故双曲线的离心率为2c2c−10−22c＝32+102．
四、解答题
【答案】
当a=2时，q:−1