小升初数学真题精选（二十五）

这是一份小升初数学真题精选（二十五），共6页。试卷主要包含了 甲、乙两地相距352千米，怎样解“孙子问题”？等内容，欢迎下载使用。
1.两港相距267千米，货船以每小时33千米的速度，客船以每小时45千米的速度先后从两港开出，相向而行，相遇时客船行了135千米。货船比客船提前几小时开出？
2.两地相距93千米，甲、乙两人骑自行车同时从两地相对出发，经过3小时相遇。相遇后又同时行驶了2小时，这时，甲、乙两人相距多少千米？
3. 甲、乙两地相距352千米.甲、乙两汽车从甲、乙两地对开.甲车每小时行36千米,乙车每小时行44千米.乙车因事,在甲车开出32千米后才出发.两车从各自出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米?
4. 甲、乙两车从A、B两城市对开,已知甲车的速度是乙车的.甲车先从城开55千米后,乙车才从城出发.两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米.试求A、B两城市之间的距离.
5.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上爬行的速度分别为每分50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右图).它爬行一周的平均速度是多少？
50
A
20
30


6.怎样解“孙子问题”？
我国古代的《孙子算经》有一道这样的问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”。译意是：“有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数？”“答案是23”。
推算法：先求出除以3余2，除以7余2的数，符合此条件的数是3和7的公倍数加2，再从所得数中找“除以5余3”的数。即：3×7+2=23，而23除以5余3。故知这个数是23。但是，此题有无限多个答案。此数分别加上3、5、7的一切公倍数，就可得到此数的一切答案。即：23+105n（n为零或自然数）。
歌诀法：关于此类问题的一般解法，在明朝程大位的《算法统宗》里有如下歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正月半，除百零五便得知。这首歌诀的数字含意是：除以3所得的余数用70去乘它，除以5所得的余数用21去乘它，除以7所得的余数用15去乘它，3个积的和减去105的某个倍数。
用式子表示就是：2×70+3×21+2×15=233，233-105×2=23，所求数的最小值为23。一般解：23+105n（n=0，1，2，3，…）。
除数是3、5、7，同孙子问题类似的题目均可用歌诀法与公倍数法来解。例如：有一个数，除以3余1，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？
歌诀法：1×70+3×21+2×15=163，163-105=58，即这个数的最小值为58。
公倍数法：[5，7]=35，35除以3余2，70除以3余1；[3，7]=21，21除以5余1，63除以5余3；[3，5]=15，15除以7余1，30除以7余2。70+63+30=163，又[3，5，7]=105，163-105=58，这个数的最小值为58。
孙子问题也可以用公倍数法，计算过程如下：
[5，7]=35，35除以3余2；[3，7]=21，21除以5余1，63除以5余3；[3，5]=15，15除以7余1，30除以7余2。35+63+30=128，又[3，5，7]=105，128-105=23，答案的最小值为23。歌诀里为什么用70、21、15三个数分别去乘余数呢？我们在公倍数法中得到启发。因为70是5、7的公倍数，它除以3余1，所以70a是5、7的公倍数，它除以3余a；因为21是3、7的公倍数，它除以5余1，所以21b是3、7的公倍数，它除以5余b；因为15是3、5的公倍数，它除以7余1，所以15c是3、5的公倍数，它作以7余c。适合这3个条件的数是70a+21b+15c。

5.怎样用“公倍数法”来解孙子问题一类的题目？
公倍数解法的基本原理是找出被两个数整除，而被第三个数除余1的数。例如：有一个数，除以7余2，除以8余3，除以9余1，这个数量最小是多少？计算过程如下：
因为[9，8]=72，72除以7余2，288除以7余1，所以288a是9、8的公倍数，它除以7余a；因为[9，7]=63，63除以8余7，441除以8余1，所以441b是9、7的公倍数，它除以8余b；因为[8，7]=56除以9余2，280除以9余1，所以280c是8、7的公倍数，它除以9余c。
故适合三个条件的数是288a+441b+280c。
已知[7、8、9]=504，a=2，b=3，c=1，答案是288×2+441×3+280×1-504×4=1635.怎样解“韩信点兵”的问题？
韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成11行纵队，则末行十人；求兵数。
此题类似孙子问题，仍用公倍数法来解。
[6，7，11]=462，462除以5余2，462×3除以5余1；
[5，7，11]=385，385除以6余1，385×5除以6余5；
[5，6，11]=330，330除以7余1，330×4除以7余4；
[5，6，7]=210，210除以11余1，210×10除以11余10。
462×3+385×5+330×4+210×10=6731，[5，6，7，11]=2310。6731-2310×2=2111，最少人数为2111。
一般解：2111+2310×n（n=0，1，2，3，…）。
（注：这类问题的名称很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；外国人称它为“中国乘余定理”。）

6.黑板上写有1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字。你可以随意擦掉两个数字，但必须补写上它们的差数（差数写一遍，不写两遍）。如，擦去3与8，写上一个5。你能不能在这样若干次擦写之后，使黑板上所有的数都是0？
解：不可能使黑板上所有的数都变。如果擦去的是两个偶数，得到的差必是偶数；擦去一奇一偶，得到的差必是奇数。这两种情形下，黑板上奇数的个数都没有变化。如果你擦去的是两个奇数，因为它们的差是偶数，所以使黑板上奇数的个数减少，但是，每次要减少两个奇数。而现在黑板上共有5个奇数，上述三种可能的擦法都不能使奇数完全消失，所以不可能使所有数字都是0。
7．一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．三个单位共有180人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人，甲单位比乙单位少2人，求甲单位的人数（ ）
A．48人 B．49人 C．50人 D．51人
9．四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人（ ）
A．177 B．178 C．264 D．265
10．有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少（ ）
A．12 B．18 C．36 D．45
11．一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6


12.新年联欢会上，学生们一致要求教数学的王老师出个节目。王老师微笑着说：“我给你们表演个数字魔术吧。”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写出任意4个自然数（不重复写），我保证能从你写的4个数中，找出两个数，它们的差能被3整除。”
王老师话音一落，学生们就活跃起来。有的学生还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，学生们都把数写好了。但是当学生们一个个地念起自己写的4个数时，奇怪的事真的发生，学生们写的数还真听王老师的话，竟没有一个学生写的数例外，都让王老师找出了差能被3整除的两个数。你知道王老师数字魔术的秘密吗？
答：其实，学生写在纸条上的数字并不听王老师话，而是听数学规律的话。世界上所有的自然数被3除，余数只能有3种情况，即余0，余1，余2。如果按被3除后的余数分类，自然数只能分成3类。而王老师让学生们在纸条上写的却是4个数，那必有两个数的余相同。余数相同的两个数做减法（大-小），所得的差，当然能被3整除。王老师是根据数学基本原则设计魔术的。

13.斐波那契是意大利商人、数学家，他提出这样一个问题：如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生后的第三个月里开始生一对新兔，假定在不发生死亡情况下，一对初生的兔子在1年（12个月）能繁殖成多少对？（兔子繁殖问题）
答：（1）分析：在1月份是1对；在2月份里这对兔子生了一对小兔，总共是2对；在3月份里，仍然只有原来的一对能生小兔，总共是3对；在4月份里，因为2月份生出的兔子会生小兔子，因此这个月生了2对小兔，总共就有5对；在5月里，又增加了3月份出生的兔子生的小兔，这1个月能生3对，所以总共有8对；用同样的方法算下去，各月份兔子总数就得到了。
14.一列火车长150米，行驶速度是18米/秒。这列火车要通过一座长300米的大桥，需要多少秒？
【分析与解】画出示意图1。从图1可知，火车通过大桥是指火车车头开始上桥到车尾离开桥的全过程，通过大桥所行驶的路程是车头或车尾所行驶的路程，即桥长加车长。根据路程÷速度=时间，可求出火车经过桥面所运行的时间为（150＋300）÷18＝25（秒）。
尾
尾
头
头
大 桥

车 长
桥 长

总路长
图1
15.火车通过长为90米的铁桥用了22秒，如果火车的速度加快1倍，它通过180米隧道就用16秒。求火车车长和原来的速度。
【分析与解】若火车仍按原来的速度通过162米的铁桥，那火车要用16×2=32(秒)。根据已知，隧道比铁桥多180-90=90（米），火车要多走32－22=10（秒），因此火车原来速度为90÷10=9（米/秒），火车长则为9×22－90=108（米）。