2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月周测数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月周测数学（理）试卷人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6, 10)内的频数为a，样本数据落在[2, 10)内的频率为b，则a，b分别是( )

A.32，0.4B.8，0.1C.32，0.1D.8，0.4

2. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A.14B.π8C.12D.π4

3. 设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下面的程序框图进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是( )

A.S=2，即5个数据的方差为2
B.S=2，即5个数据的标准差为2
C.S=10，即5个数据的方差为10
D.S=10，即5个数据的标准差为10

4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A.120种B.90种C.60种D.30种

5. 直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得弦的中点坐标为( )
A.(23，53)B.(43，73)C.(−23，13)D.(−43，−13)

6. p>1时，双曲线x2p−1−y2p+6=1的右焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则抛物线的准线方程是（ ）
A.x=10B.x=−10C.x=5D.x=−5

7. 已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y=6.5x+9，则下列说法中错误的是( )
A.产品的销售额与广告费用成正相关
B.该回归直线过点(2, 22)
C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D.m的值是20

8. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A,B两点，若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为 bc ，则双曲线的离心率为( )
A.2B.2C.3D.3
二、填空题

若直线l:y=kx与曲线 M：y=1+1−x−32有两个不同交点，则k的取值范围是________.
三、解答题

进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾霾天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据，如下表：

(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
注：回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2，a=y¯−bx¯．

已知F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，点Mx0,4在抛物线上，且|MF|=54x0.
(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月周测数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
【解析】
根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可求出a、b的值．
【解答】
解：由样本的频率分布直方图知：
数据在区间[6, 10)上的频率是4×0.08=0.32.
又样本容量为n=100，
所以数据在区间[6, 10)上的频数是a=100×0.32=32，
样本数据落在[2, 10)内的频率为
b=4×(0.02+0.08)=0.4．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设正方形ABCD的边长为1．
如图，直线l过正方形ABCD的中心且垂直于AB．
由已知给出的对称性知内切圆位于直线l左侧的黑色部分恰好为位于直线l右侧的白色部分，
所以黑色部分面积恰好为半圆，
且该圆的半径为12．
所以S黑=12π×122=18π．
因为S正=1×1=1，
故所求的概率为P=S黑S正=18π1=π8．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
算法的功能是求S=(x1−20)2+(x2−20)2+⋯+(xi−20)2的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．
【解答】
解：由程序框图知，
算法的功能是求S=(x1−20)2+(x2−20)2+⋯+(xi−20)2的值，
∵ 跳出循环的i值为5，
∴ 输出S=15×[(18−20)2+(19−20)2+(20−20)2+(21−20)2+(22−20)2]
=15×(4+1+0+1+4)=2．
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
让场馆去挑人，甲场馆从6人中挑一人有：∁61=6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：∁52=10种结果；余下的3人去丙场馆；相乘即可求解结论．
【解答】
解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：C61=6种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有：C52=10种结果；
余下的3人去丙场馆，故共有：6×10=60种安排方法.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
联立方程组消掉y得x的二次方程，设所截得弦的端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则弦中点的横坐标为x1+x22，由韦达定理即可求得x1+x2，把弦中点的横坐标代入直线方程即可求得纵坐标．
【解答】
解：设所截得弦的端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由y=x+1，x24+y22=1，得3x2+4x−2=0，
则x1+x2=−43，
所以弦中点的横坐标为x1+x22=−23，
代入y=x+1得y=−23+1=13，即弦中点的纵坐标为13，
故弦的中点坐标为(−23, 13)．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
双曲线的标准方程
【解析】
直接由条件构造方程，解出即可.
【解答】
解：由题意得：双曲线中c2=p−1+p+6=2p+5，
又因为右焦点与抛物线焦点重合，则c=p2，
联立解得：p=10（负值舍去），
所以抛物线的准线方程为x=−p2=−5.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．
【解答】
解：由线性回归方程y=6.5x+9，
可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；
x¯=0+1+2+3+45=2，
y¯=10+15+m+30+355=90+m5，
代入y=6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m=20，故D正确；
y¯=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；
取x=10，得y=6.5×10+9=74，
说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
设出双曲线的右焦点F，直线OA，OB的方程，过F平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a，b的关系，进而得到所求离心率．
【解答】
解：设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，
OA的方程为bx−ay=0，OB的方程为bx+ay=0，
过F平行于OA的直线FB方程为y=ba(x−c)，
平行于OB的直线FA方程为y=−ba(x−c)，
可得平行线OA和BF距离为bcb2+a2=b，
由bx−ay=0，bx+ay−bc=0，
可得x=12c,y=bc2a,
∴A(12c,bc2a)，
则平行四边形OAFB的面积S=b14c2+b2c24a2=bc，
化为b2=3a2 ，所以e=ca=1+b2a2=2.
故选B.
二、填空题
【答案】
12,34
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】

【解答】
解：曲线M：y=1+1−x−32是以3,1为圆心，1为半径，且在直线y=1上方的半圆．
要使直线l与曲线M有两个不同交点，则直线l在如图所示的两条直线之间转动，
即当直线l与曲线M相切时，
kx=1+1−x−32，
(1+k2)x2−(2k+6)x+9=0，
Δ=(2k+6)2−4×9×(1+k2)=0，
解得：k=34或k=0舍去，
故k取得最大值34，
当直线l过点2,1时，k取最小值12．
故k的取值范围是12,34．
故答案为： 12,34．
三、解答题
【答案】
解：(1) x¯=10+9+9.5+10.5+115=10，
y¯=78+76+77+79+805=78，
i=15(xi−x¯)(yi−y¯)=(10)−10)(78−78)+
9−1076−78+9.5−1077−78+
10.5−1079−78+11−1080−78=5，
i=15xi−x¯2=10−102+9−1029.5−102
=2.5，
∴ b=i=15(xi−x¯)(yi−y¯)i=15(xi−x¯)2=2，
a=y¯−bx¯=78−2×10=58，
∴ y关于x的线性回归方程为y=2x+58.
2当x=8时， y=2×8+58=74满足|74−73|=1