2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）小周考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）小周考数学（理）试卷人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 要完成下列3项抽样调查：
①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查；
②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈；
③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是( )
A.①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样
B.①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C.①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样
D.①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样

2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有( )
A.3对B.2对C.1对D.0对

3. 已知直线l1：ax+2−ay+1=0，l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，实数a的值为( )
A.3B.0或3C.1D.−2或1

4. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（​∘C）的数据一览表：
已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加
C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大

5. 已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2:x216−y24=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为( )
A.4B.8C.16D.32

6. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，根据科学研究，对于某种蔬菜，每千克的农药残留量不高于20微克时对人体无害．下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的统计表：令w=x2，利用给出的参考数据可以得到y关于w的回归方程y=bw+a（其中b≈−2.0），为了放心食用该蔬菜，清洗1千克蔬菜估计至少需要用的清水为( )（精确到0.1，参考数据5≈2.24）

A.4.5千克B.4.4千克C.6.5千克D.6.4千克

7. 设抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，点P在C上，|PF|=52，若以|PF|为直径的圆过点−1,0，则C的方程为（ ）
A.x2=4y或x2=8yB.x2=2y或x2=4y
C.x2=4y或x2=16yD.x2=2y或x2=8y

8. 已知点P在离心率为12的椭圆E:x2a2+y2b2=1上，F是椭圆的一个焦点，M是以PF为直径的圆C1上的动点，N是半径为2的圆C2上的动点，圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=92，若|MN|的最小值为1，则椭圆E的焦距的取值范围是( )
A.[1, 3]B.[2, 4]C.[2, 6]D.[3, 6]
二、填空题

已知离心率为23的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2 ，点P在椭圆C上，点M为 △PF1F2 的内心，且 △MPF1，△MPF2，△MF1F2 的面积分别为 S△MPF1，S△MPF2，S△MF1F2，若S△MPF1+3S△MPF2=2S△MF1F2 ，则S△MPF1S△MPF2的值为________.
三、解答题

为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：

(1)根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；

(2)根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；

(3)若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0,4）和4,20的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在4,20内的概率．

已知双曲线x2−y2=1的焦点是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的顶点，F1为椭圆C的左焦点且椭圆C经过点22,32.
(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右顶点A作斜率为kkb>0)的一条渐近线为bx+ay=0，
由OM⊥MF2，F2c,0，
则|F2M|=|bc|a2+b2=b,
又|OF2|=c，则|OM|=c2−b2=a，
由△OMF2的面积S=12|OM|⋅|F2M|=12ab=16，得ab=32，
而双曲线C2:x216−y24=1的离心率e2=52，
所以e1=ca=a2+b2a=52，即a2=4b2，
联立ab=32，解得a=8，则双曲线C1的实轴长2a=16．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
求出回归系数，即可求解回归直线的方程；令y＜20，即可求解x的取值范围.
【解答】
解：由题意得，ω¯=11，y¯=38，
b​=i=15(ωi−ω¯)(yi−y¯)i=15(ωi−ω¯)2=−751374=−2.0，
a=y¯−bω=60.0，
∴ y=−2.0ω+60.0.
∴ y=−2.0x2+60.0.
当y≤20时，即−2.0x2+60.0≤20，解得x≥25=4.5.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知，抛物线的准线是y=−p2.
∵ |PF|=52，
∴ P的纵坐标为5−p2.
由于以|PF|为直径的圆过(−1, 0)，则P只能在第二象限，
∴ P(−5p−p2, 5−p2)，F(0, p2)，
则PF中点坐标为(−5p−p22, 54)，
∴ (1−5p−p22)2+(54)2=(54)2，
解得p=1或p=4，
∴ 抛物线C的方程为x2=2y或x2=8y.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
由两圆上的两点的距离的最小值为圆心距减去两圆的半径，可得|PF|＝3，再由椭圆的焦半径公式和椭圆的范围，解不等式可得焦距的范围．
【解答】
解：|MN|的最小值为
|C1C2|−2−|PF|2=92−2−|PF|2=1，
可得|PF|=3，
又因P在椭圆E上，所以a−c≤|PF|≤a+c，
因为离心率为12，所以a=2c，
所以c≤3≤3c，故1≤c≤3，所以2≤2c≤6.
故选C.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
椭圆中的平面几何问题
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：据题意，椭圆度离心率e=1−b2a2=23，
∴ b2a2=59
设a2=9m2,b2=5m2,c2=a2−b2=4m2，
∴ a=3m,c=2m，
点M为 △PF1F2 的内心，设半径为r,
S△MPF1+3S△MPF2=2S△MF1F2，
得 12PF1⋅r+3×12PF2⋅r=2×12F1F2⋅r，
化简得 PF1+3PF2=2F1F2，
设PF2=n，PF1=2a−n，
∴ 2a−n+3n=4c，
整理得n=2c−a，
∴ PF2=2c−a，PF1=3a−2c，
∴ S△MPF1S△MPF2=PF1PF2=3a−2c2c−a=9m−4m4m−3m=5.
故答案为：5.
三、解答题
【答案】
解：(1)估计该款电视机的平均使用时间
x¯=（2×0.05+6×0.09+10×0.07+14×0.03+18×0.01）×4
=7.76.
(2)因为K2=2000×800×600−200×40021000×1000×1200×800≈333.33>10.828，
所以有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.
(3)由频率分布直方图可知，
样本落在[0,4)内的频率为0.05×4=0.2，
样本落在[4,20]内的频率为1−0.2=0.8.
所以按分层抽样方法，应在[0,4)内抽取1台，
在[4,20]内抽取4台，共计5台，
再在这5台中抽取2台，
故所求概率P=C42C52=35.
【考点】
频率分布直方图
独立性检验的应用
古典概型及其概率计算公式
分层抽样方法
【解析】
直接根据频率分布直方图中平均数的求法来求解
由题目已知数据，计算出K2，再比对即可得出结论.
先利用分层抽样法则，确定在[0,4)和
[4,20]内抽取的台数，然后求概率.
【解答】
解：(1)估计该款电视机的平均使用时间
x¯=（2×0.05+6×0.09+10×0.07+14×0.03+18×0.01）×4
=7.76.
(2)因为K2=2000×800×600−200×40021000×1000×1200×800≈333.33>10.828，
所以有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.
(3)由频率分布直方图可知，
样本落在[0,4)内的频率为0.05×4=0.2，
样本落在[4,20]内的频率为1−0.2=0.8.
所以按分层抽样方法，应在[0,4)内抽取1台，
在[4,20]内抽取4台，共计5台，
再在这5台中抽取2台，
故所求概率P=C42C52=35.
【答案】
解：(1)根据题意，双曲线x2−y2=1的焦点为±2,0，
则椭圆的顶点为±2,0，且椭圆C经过点22,32，
则有 a=2,12a2+34b2=1, 解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由已知结合(1)得A2,0，F1−1,0，
所以设直线AB:y=kx−2，
联立x22+y2=1，得
1+2k2x2−42k2x+4k2−2=0，
得B22k2−21+2k2,−22k1+2k2，
S△AOB=12|OA|⋅|yB|=12×2×|−22k1+2k2|
=−2k1+2k2=2−1k+−2kk