2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷 (1)人教新课标A版

这是一份2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷 (1)人教新课标A版，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 计算cs(−330∘)＝（ ）
A.B.C.D.

2. 已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sinx, x∈R}，则A∩B＝（ ）
A.[−1, 1]B.[0, 1]C.[0, +∞)D.[1, +∞)

3. 若a＝20210.2，b＝lg0.22021，c＝(0.2)2021，则（ ）
A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

4. 已知函数f(x)＝tanx−ksinx+2(k∈R)，若，则＝（ ）
A.0B.1C.3D.5

5. 现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ）
A.B.g(x)＝sinx
C.D.

6. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中32≈0.866）．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）

A.π3B.π4C.π2D.2π3

7. 已知函数f(x)=|sinx|+|csx|，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小值为0B.f(x)的最大值为2
C.f(π2−x)=f(x)D.f(x)=12在[0,π2]上有解

8. 已知函数f(x)＝，则方程f（f(x)）−1＝0的根的个数是（ ）
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

设a，b，c∈R，a0)近似描述，试求出这个函数解析式；

(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用(1)中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能连续待多久？

若函数f(x)对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f(−x)＝−f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部奇函数”；满足f(−x)＝f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部偶函数”．已知函数f(x)＝2x+k×2−x，其中k为常数．
（1）若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，当x∈[−3, 3]时，求不等式的解集；

（2）已知函数f(x)在区间[−1, 1]上是“局部奇函数”，在区间[−3, −1)∪(1, 3]上是“局部偶函数”，．
(ⅰ)求函数F(x)的值域；
(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．
【解答】
cs(−330∘)＝cs(−360∘+30∘)＝cs30∘＝．
2.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ A＝{x|x≥0}，B＝{y|−1≤y≤1}，
∴ A∩B＝[0, 1]．
3.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
∵ a20210.2>a0＝1，
b＝lg0.220210，csx>0，
所以函数f(x)=|sinx|+|csx|
=sinx+csx
=2sin(x+π4)，
可知x+π4∈[π4, 3π4]，
所以sin(x+π4)∈[22, 1]，
所以2sin(x+π4)∈[1, 2]，
所以f(x)=12在x∈[0, π2]上无解，故选项D错误．
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
画出函数的大致图像，令f(x)＝t，结合图像即可求解结论．
【解答】
函数f(x)＝的图像如图：
令f(x)＝t，
则方程f（f(x)）−1＝0即为f(t)＝1对应的t值，则t＝10或t＝−3或t＝−1，
t＝10时对应的x有2个，
t＝−3时对应的x有1个，
t＝−1时对应的x有1个，
故方程f（f(x)）−1＝0的根的个数是4个，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
【答案】
A,B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出．
【解答】
∵ a0，
则sinα+csα＝＝＝＝②，
由①②得csα＝，sinα＝，
则tanα＝．
【答案】
函数f(x)＝sin2x+csx−a＝1−cs2x+csx−a＝−cs2x+csx+1−a，
当a＝0时，f(x)＝−cs2x+csx+1，
当x∈时，−1≤csx≤0，
令t＝csx，则t∈[−1, 0]，
所以y＝−t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，
所以y在[−1, 0]上单调递增，则−1≤y≤1，
所以函数f(x)在上的值域为[−1, 1]；
当时，−1≤csx1≤0，
所以−1−a≤f(x)≤1−a，
故f(x1)的值域为[−1−a, 1−a]，
当x2∈[1, 5]时，a>0，g(x2)＝alg2(x2+3)−2在[1, 5]上单调递增，
所以g(1)≤g(x2)≤g(5)，即2a−2≤g(x2)≤3a−2，
故g(x2)的值域为[2a−2, 3a−2]，
因为∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，
所以[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，
则，解得，
所以a的取值范围为．
【考点】
函数与方程的综合运用
三角函数的最值
【解析】
（1）求出a＝0时的f(x)，然后利用换元法t＝csx，得到y＝−t2+t+1，由二次函数的性质求解值域即可；
（2）求出当时，f(x1)的值域，x2∈[1, 5]时，g(x2)的值域，将问题转化为[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，利用集合子集的定义列出不等式组，求解即可．
【解答】
函数f(x)＝sin2x+csx−a＝1−cs2x+csx−a＝−cs2x+csx+1−a，
当a＝0时，f(x)＝−cs2x+csx+1，
当x∈时，−1≤csx≤0，
令t＝csx，则t∈[−1, 0]，
所以y＝−t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，
所以y在[−1, 0]上单调递增，则−1≤y≤1，
所以函数f(x)在上的值域为[−1, 1]；
当时，−1≤csx1≤0，
所以−1−a≤f(x)≤1−a，
故f(x1)的值域为[−1−a, 1−a]，
当x2∈[1, 5]时，a>0，g(x2)＝alg2(x2+3)−2在[1, 5]上单调递增，
所以g(1)≤g(x2)≤g(5)，即2a−2≤g(x2)≤3a−2，
故g(x2)的值域为[2a−2, 3a−2]，
因为∈[1, 5]有f(x1)＝g(x2)，
所以[2a−2, 3a−2]⊆[−1−a, 1−a]，
则，解得，
所以a的取值范围为．
【答案】
解：(1)由表中的数据可得：A=2.5，b=5，
观察可知3:00和15:00时刻水深相同，故T=12.
因为ω>0,
所以ω=2πT=π6.
因为x=3时y取到最大值，
所以3×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z,
解得φ=2kπ，k∈Z，
所以函数的解析式为y=2.5sinπ6x+5.
(2)因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，
所以2.5sinπ6x+5≥6.25,即sinπ6x≥12,
所以π6+2mπ≤π6x≤5π6+2mπ ,m∈N,
解得1+12m≤x≤5+12m ,m∈N,
取m=0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17.
故该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能连续待4个小时．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
三角函数模型的应用
【解析】
根据表中的数据求出A，b，再求出周期T，由此求出ω的值，再利用最大值即可求出φ，进而可以求解；
令5sinπ6x+5≥6.25,，解出x的范围，进而可以求解．
【解答】
解：(1)由表中的数据可得：A=2.5，b=5，
观察可知3:00和15:00时刻水深相同，故T=12.
因为ω>0,
所以ω=2πT=π6.
因为x=3时y取到最大值，
所以3×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z,
解得φ=2kπ，k∈Z，
所以函数的解析式为y=2.5sinπ6x+5.
(2)因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，
所以2.5sinπ6x+5≥6.25,即sinπ6x≥12,
所以π6+2mπ≤π6x≤5π6+2mπ ,m∈N,
解得1+12m≤x≤5+12m ,m∈N,
取m=0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17.
故该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能连续待4个小时．
【答案】
若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，则f(−x)＝−f(x)，
即2−x+k⋅2x＝−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)＝0，
解得k＝−1，即f(x)＝2x−2−x，
当x∈[−3, 3]时，不等式，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，
可得2x>2，即x>1，
则原不等式的解集为(1, 3]；
(ⅰ)F(x)＝，
令t＝2x，则y＝t−在[，2]递增，当x∈[−1, 1]时，F(x)∈[−，]；
因为y＝t+在(2, 4]递增，所以x∈(1, 3]时，F(x)∈（，]；
又因为f(x)在[−3, −1)∪(1, 3]为“局部偶函数”，可得x∈[−3, −1)∪(1, 3]时，F(x)∈（，]；
综上可得，F(x)的值域为[-，]∪（，]；
(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，
可得2F(x)min+5>mF(x)max，
即有2×(−）+5>m，
解得mmF(x)max，结合F(x)的值域，可得所求范围．
【解答】
若f(x)为[−3, 3]上的“局部奇函数”，则f(−x)＝−f(x)，
即2−x+k⋅2x＝−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)＝0，
解得k＝−1，即f(x)＝2x−2−x，
当x∈[−3, 3]时，不等式，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，
可得2x>2，即x>1，
则原不等式的解集为(1, 3]；
(ⅰ)F(x)＝，
令t＝2x，则y＝t−在[，2]递增，当x∈[−1, 1]时，F(x)∈[−，]；
因为y＝t+在(2, 4]递增，所以x∈(1, 3]时，F(x)∈（，]；
又因为f(x)在[−3, −1)∪(1, 3]为“局部偶函数”，可得x∈[−3, −1)∪(1, 3]时，F(x)∈（，]；
综上可得，F(x)的值域为[-，]∪（，]；
(ⅱ)对于[−3, 3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)+5>mF(x3)恒成立，
可得2F(x)min+5>mF(x)max，
即有2×(−）+5>m，
解得m