2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线3x+y−5=0的倾斜角是（ ）
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 过点(−1, 2)且与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为( )
A.3x+2y−1=0B.3x+2y+7=0C.2x−3y+5=0D.2x−3y+8=0

3. 抛物线y=2x2的焦点坐标为( )
A.(1, 0)B.(14, 0)C.(0, 14)D.(0, 18)

4. 设F1，F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为（ ）
A.4B.3C.2D.5

5. 点P(4, −2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x−2)2+(y+1)2=1B.(x−2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y−2)2=1D.(x+2)2+(y−1)2=1

6. 过原点的直线l与双曲线x2−y2=6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ）
A.4B.1C.12D.14

7. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A.x−2y=0B.x+2y−4=0C.2x+3y−12=0D.x+2y−8=0

8. 设F1，F2是双曲线x2−y224=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A.42B.83C.24D.48

9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线x24−y25=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|=2|AF|，则A点的横坐标为（ ）
A.22B.4C.3D.23

10. 已知抛物线τ:y2＝8x，过抛物线τ的焦点且斜率为k的直线l交τ于M，N两点，已知P(−2, 3)，，则k＝（ ）
A.B.C.D.2

11. 点F(c, 0)为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，且PQ→=2QF→，则双曲线的离心率是（ ）
A.2B.3C.5D.2

12. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.(5−22, 1)B.(0, 5−22)C.(0, 5−12)D.(5−12, 1)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0 ，则z＝x+y的最大值为________．

设双曲线C经过点(2, 2)，且与y24−x2=1具有相同渐进线，则双曲线C的方程为________．

倾斜角为π4的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

已知过抛物线C:y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2−2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

已知动圆M过点F(2, 0)，且与直线x=−2相切．
(Ⅰ)求圆心M的轨迹E的方程；
(Ⅱ)斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点A，B，求线段AB的垂直平分线方程．

已知圆C：(x−3)2+(y−4)2＝4，
(Ⅰ)若直线l1过定点A(1, 0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(Ⅱ)若圆D的半径为3，圆心在直线l2:x+y−2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．


如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60∘，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且E，F分别为AD，PC的中点．
(Ⅰ)求证：DF // 平面PEB；
(Ⅱ)求直线EF与平面PDC所成角的正弦值．


如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D，E分别为AC，AA1的中点．
(Ⅰ)求点B1到平面BDE的距离；
(Ⅱ)求二面角D−BE−C1的余弦值．


已知椭圆C：的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知M为椭圆C上一动点（M不与A，B重合），直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|⋅|BP|为定值．

已知椭圆C：(a>b>0)经过点，且短轴长为2．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求ΔOPQ面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年黑龙江省高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】
解：因为直线3x+y−5=0的斜率为：−3，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα=−3，
α=120∘
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为−3x−2y+c=0，再把点(−1, 2)代入，即可求出c值，得到所求方程．
【解答】
解：∵ 所求直线方程与直线2x−3y+4=0垂直，
∴ 设方程为3x+2y+c=0,
∵ 直线过点(−1, 2)，
∴ 3×(−1)+2×2+c=0,
∴ c=−1,
∴ 所求直线方程为3x+2y−1=0．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．
【解答】
解：整理抛物线方程得x2=12y，
∴ 焦点在y轴，p=14，
∴ 焦点坐标为(0, 18).
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由题意知，OM是△PF1F2的中位线，由|OM|=3，可得|PF2|=6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值．
【解答】
解：由题意知，OM是△PF1F2的中位线，
∵ |OM|=3，
∴ |PF2|=6.
又|PF1|+|PF2|=2a=10，
∴ |PF1|=4.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
设圆上任意一点为(x1, y1)，中点为(x, y)，则x=x1+42y=y1−22 ，由此能够轨迹方程．
【解答】
解：设圆上任意一点为(x1, y1)，中点为(x, y)，
则x=x1+42,y=y1−22,
即x1=2x−4,y1=2y+2, 代入x2+y2=4，
得(2x−4)2+(2y+2)2=4，
化简得(x−2)2+(y+1)2=1．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
直线与双曲线的位置关系
【解析】
可设A(m, n)，B(−m, −n)，P(x, y)，代入双曲线的方程，作差，可得y2−n2x2−m2=1，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值．
【解答】
由题意可设A(m, n)，B(−m, −n)，P(x, y)，
则m2−n2=6，x2−y2=6，
即有y2−n2=x2−m2，
即y2−n2x2−m2=1，
由kPA=y−nx−m，kPB=y+nx+m，
可得kPA⋅kPB=y2−n2x2−m2=1，
而kPA=2，所以kPB=12．
7.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1236+y129=1x2236+y229=1，两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k=−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．
【解答】
解：设这条弦的两端点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，斜率为k，
则x1236+y129=1，x2236+y229=1，
两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0,
又弦中点为(4, 2)，故k=−12，
故这条弦所在的直线方程y−2=−12(x−4)，
整理得x+2y−8=0.
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面积．
【解答】
F1(−5, 0)，F2(5, 0)，|F1F2|＝10，
∵ 3|PF1|＝4|PF2|，∴ 设|PF2|＝x，则|PF1|=43x，
由双曲线的性质知43x−x=2，解得x＝6．
∴ |PF1|＝8，|PF2|＝6，
∴ ∠F1PF2＝90∘，
∴ △PF1F2的面积=12×8×6=24．
9.
【答案】
C
【考点】
圆锥曲线的共同特征
【解析】
根据双曲线x24−y25=1得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(x0, y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(−3, y0)，根据|AK|=2|AF|及AF＝AB＝x0−(−3)＝x0+3，进而可求得A点坐标．
【解答】
∵ 双曲线x24−y25=1，其右焦点坐标为(3, 0)．
∴ 抛物线C:y2＝12x，准线为x＝−3，
∴ K(−3, 0)
设A(x0, y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(−3, y0)
∵ |AK|=2|AF|，又AF＝AB＝x0−(−3)＝x0+3，
∴ 由BK2＝AK2−AB2得BK2＝AB2，从而y02＝(x0+3)2，即12x0＝(x0+3)2，
解得x0＝3．
10.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据题意，设双曲线的左焦点为F1，分析可得PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a+b，由此可得b=2a，由双曲线的几何性质可得有c=5a，结合双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设双曲线的左焦点为F1，连接F1，
设圆的圆心为C，圆的方程为(x−c3)2+y2=b29的圆心为(c3, 0)，半径r=b3，
则有|F1F|=3|FC|，
若PQ→=2QF→，则PF1 // QC，|PF1|=b，|PF|=2a+b；
线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，则CQ⊥PF以及PF1⊥PF，
则有b2+(2a+b)2=4c2，
即b2+(2a+b)2=4(a2+b2)，
即b=2a，
由双曲线的性质有c=5a，
则双曲线的离心率e=ca=5；
故选：C．
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据∠B1PB2为A2B2→与F2B1→的夹角，并分别表示出A2B2→与F2B1→，由∠B1PB2为钝角，A2B2→⋅F2B1→