数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用备课ppt课件

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用备课ppt课件，共52页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，知识点1，空间中点的位置向量，知识点2，知识点3，知识点4，线线平行的向量表示，知识点5，线面平行的向量表示等内容，欢迎下载使用。
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
空间中直线的向量表示式
思考1：直线的方向向量是不是唯一的？提示：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
空间中平面的向量表示式
思考2：平面的法向量是不是唯一的？提示：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2．
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n ⇔u·n＝0．
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2．思考3：怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
　　　　　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
[分析]　首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解．
[解析]　如图所示建立空间直角坐标系．
【对点训练】❶　如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
[分析]　先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．
　　　　　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS．
[证明]　(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
[规律方法]　要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．
【对点训练】❷　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1．
[证明]　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，
　　　　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
[规律方法]　利用空间向量证明线面平行的方法(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，
　　　　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[分析]　建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明．
[解析]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．
[规律方法]　利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明．(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
【对点训练】❹　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[证明]　因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
[错解]　l∥α[辨析]　由a⊥e应得出l∥α或l⊂α．