2020-2021学年安徽省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “x≤3”是“x2−7x+12≥0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2. 若方程x2+y2−4x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为（ ）
A.(−∞, −5)B.(−5, +∞)C.(−∞, 0)D.(0, +∞)

3. 下列说法中不正确的是（ ）
A.将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形
B.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C.棱锥的侧面均为三角形
D.棱台的上下底面是平行且相似的多边形

4. 下列说法正确的是（ ）
A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B.若命题p:∃x∈R，x2−2x−1>0，则命题¬p:∀x∈R，x2−2x−10, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左支上有A，B两点使得AF1→=2F1B→．若△AF1F2的周长与△BF1F2的周长之比是54，则双曲线的离心率是（ ）
A.2B.5C.2D.139
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

命题“∀x∈[−1, 3]，x2−3x+2≤0”的否定为________．

已知直线l1:2x+by+2＝0与直线l2:2x−y+1＝0平行，则直线l1，l2之间的距离为________．

已知圆心C在直线x+2y−1＝0上，且该圆经过(3, 0)和(1, −2)两点，则圆C的标准方程为________．

如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：
①该八面体的体积为83；
②该八面体的外接球的表面积为8π；
③E到平面ADF的距离为3；
④EC与BF所成角为60∘．
其中正确的说法为________．（填序号）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知p：对任意实数x都有ax2>−ax−1恒成立，q：关于x的方程2x2−3x+a＝0有实数根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

（1）求过点(4, 3)且与直线x+2y+1＝0垂直的直线l的方程；
（2）求过点A(2, −1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．

（1）求证：直线BD1 // 平面PAC；

（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．

过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|的长．

如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上与A，C不重合的动点，PO⊥平面ABC，AC=2，PA=4．

(1)当点B在什么位置时，平面OBP⊥平面PAC？并证明；

(2)当∠ACB=30∘时，求点C到平面PAB的距离．

已知椭圆C：＝1的右焦点为F，原点为O，椭圆C的动弦AB过焦点F且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M．

（1）证明：点M在定直线上；

（2）当∠OMF最大时，求△MAB的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．
【解答】
由圆柱的结构特征可知，将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形，故A正确；
由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，
当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故B错误；
由棱锥的结构特征可知，棱锥的侧面均为三角形，故C正确；
由棱台的结构特征可知，棱台的上下底面是平行且相似的多边形，故D正确，
4.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
A，写出它的否命题，即可判定真假；
B，写出命题p的否定￢p；
C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；
D，由“x=−1”得出“x2−5x−6=0”成立，判定命题是否正确．
【解答】
解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴ A错误；
对于B，命题p的否定￢p:∀x∈R，x2−2x−1≤0，∴ B错误；
对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴ 它的逆否命题是真命题，∴ C正确；
对于D，“x=−1”时，“x2−5x−6=0”，∴ 是充分条件，∴ D错误.
故选：C．
5.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在A中：m与α相交、平行或m⊂α；在B中：n与α相交、平行或n⊂α；在C中：m与n相交、平行或异面；由直线与平面垂直的性质得D正确．
【解答】
解：由m，n为直线，α为平面，知：
若m⊥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
若m // α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；
若m // α，n // α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m // n，故D正确．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
设圆锥的高为ℎ，底面圆的半径为r，母线长为l．利用已知条件求出母线长，通过母线与底面所成的角为60∘，求出底面半径，求出圆柱的高，然后求解体积．
【解答】
设圆锥的高为ℎ，底面圆的半径为r，母线长为l．
因为圆锥的一条母线的中点到圆锥底面圆的圆心间的距离为2，
所以母线长l＝2×2＝4．
又母线与底面所成的角为60∘，
所以cs60∘＝＝＝，解得r＝2，
所以圆锥的高ℎ＝＝，
故该圆锥的体积V＝＝＝．
10.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设|BF1|＝m，推出|AF2|＝2a+2m，|BF2|＝2a+m，求出△BF1F2的周长，△AF1F2的周长，利用周长比求出m=a+c3，通过cs∠AF1F2+cs∠BF1F2＝0，求解即可．
【解答】
设|BF1|＝m，则由AF1→=2F1B→，可得|AF1|＝2m，|AF2|−|AF1|＝2a，|BF2|−|BF1|＝2a，
所以|AF2|＝2a+2m，|BF2|＝2a+m，△BF1F2的周长：|BF2|+|BF1|+|F1F2|＝2m+2a+2c，
△AF1F2的周长：|AF2|+|AF1|+|F1F2|＝4m+2a+2c，
由题意可得：4m+2a+2c2m+2a+2c=54，解得m=a+c3，
又因为cs∠AF1F2+cs∠BF1F2＝0，
所以3c2−3a2−4am＝0，代入m=a+c3，可得e=139，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
∃x0∈[−1, 3]，x02−3x0+2>0
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(x−1)2+y2＝4
【考点】
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
②④
【考点】
命题的真假判断与应用
棱锥的结构特征
柱体、锥体、台体的体积计算
点、线、面间的距离计算
【解析】
直接求出八面体的体积判断①；求出正方形ABCD的对角线长，除以2得到八面体外接球的半径，得到外接球的表面积判断②；取AD的中点G，连接EG，FG，EF，证明AD⊥平面EGF，在平面EFG中，作出E到平面AFD的垂线段，求解三角形得到E到平面ADF的距离判断③；求解两异面直线所成角判断④．
【解答】
解：①八面体的体积为 2×13×22×2=823；
②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为2，表面积为8π；
③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，
易得EG=FG=3,AD⊥平面EGF，过E作EH⊥FG，交FG的延长线于H，
又EH⊥AD,AD∩FG=G，故EH⊥平面ADF，解得EH=263，
所以E到平面ADF的距离为263；
④因为ED//BF，所以EC与BF所成角为60∘，正确的说法为②④．
故答案为：②④.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
若p为真，则a＝0或；
若q为真，则4−8a≥0，即．
因为“p∨q”为真，“p∧q”为假．
若p为真，q为假，则；
若q为真，p为假，
综上可知，实数a的取值范围为．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意，设l的方程为2x−y+c＝0，
代入(5, 3)得c＝−5．
∴ 直线l的方程为4x−y−5＝0，
当直线l过原点时，直线l的方程是；
当直线l不过原点时，设直线l的方程是，
将点A坐标代入，得，解得a＝4，
此时直线l的方程是x+y−1＝0．
综上所述，所求直线l的方程是x+5y＝0或x+y−1＝8．
【考点】
直线的截距式方程
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．
连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO // BD1．
又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC
所以直线BD1 // 平面PAC．
由（1）知，PO // BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．
因为PA=PC=2，AO=12AC=22且PO⊥AO，
所以sin∠APO=AOAP=222=12．
又∠APO∈(0∘, 90∘]，所以∠APO＝30∘
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30∘．
【考点】
直线与平面平行
异面直线及其所成的角
【解析】
（1）AC和BD交于点O，则O为BD的中点．推导出PO // BD1．由此能证明直线BD1 // 平面PAC．
（2）由PO // BD1，得∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．由此能求出异面直线BD1与AP所成角的大小．
【解答】
证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．
连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO // BD1．
又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC
所以直线BD1 // 平面PAC．
由（1）知，PO // BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．
因为PA=PC=2，AO=12AC=22且PO⊥AO，
所以sin∠APO=AOAP=222=12．
又∠APO∈(0∘, 90∘]，所以∠APO＝30∘
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30∘．
【答案】
因为双曲线方程为，
所以a＝3，
则，
所以，渐近线方程为．
双曲线右焦点为，则直线l的方程为
代入双曲线中，化简可得
设A(x1, y1)，B(x8, y2)
所以，，
所以．
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)当B为AC⌢的中点时，平面OBP⊥平面PAC，
∵ OP⊥平面ABC，OP⊂平面ACP，∴ 平面ACP⊥平面ABC．
∵ B为AC⌢的中点，∴ OB⊥AC，又平面APC∩平面ABC=AC,OB⊂平面ABC，
∴ OB⊥平面PAC，∵ OB⊂平面OBP，∴ 平面OBP⊥平面PAC．
(2)PO⊥平面ABC，BO，AO⊂平面ABC，
∴ PO⊥AO ，PO⊥BO，
在Rt△PAO中，易得PO=PA2−OA2=222−22=2.
在Rt△PBO中，易得PB=PO2+OB2=22+22=22．
∵ B为⊙O上一点，∴ AB⊥BC,
又∠ACB=30∘,AC=4，∴ AB=2,BC=23，
∴ 三棱锥P−ABC的体积VP−ABC=13×S△ABC×PO
=13×12×2×23×2=433.
在△PAB中，PA=PB=22,AB=2，
易得△PAB的面积S△PAB=12×2×222−222=7，
设点C到平面PAB的距离为ℎ
则由VC−PAB=VP−ABC，得13×7×ℎ=433，解得ℎ=4217,
故点C到平面PAB的距离为4217．
【考点】
平面与平面垂直
点、线、面间的距离计算
【解析】
（1）当OB⊥AC时，平面OBP⊥平面PAC．
由OP⊥平面ABC，得平面ACP⊥平面ABC，再由OB⊥AC，可得OB⊥平面PAC，进一步得到平面OBP⊥平面PAC；
（2）由已知求解三角形得AB，BC，PB的值，然后利用等体积法求点C到平面PAB的距离．
【解答】
解：(1)当B为AC⌢的中点时，平面OBP⊥平面PAC，
∵ OP⊥平面ABC，OP⊂平面ACP，∴ 平面ACP⊥平面ABC．
∵ B为AC⌢的中点，∴ OB⊥AC，又平面APC∩平面ABC=AC,OB⊂平面ABC，
∴ OB⊥平面PAC，∵ OB⊂平面OBP，∴ 平面OBP⊥平面PAC．
(2)PO⊥平面ABC，BO，AO⊂平面ABC，
∴ PO⊥AO ，PO⊥BO，
在Rt△PAO中，易得PO=PA2−OA2=222−22=2.
在Rt△PBO中，易得PB=PO2+OB2=22+22=22．
∵ B为⊙O上一点，∴ AB⊥BC,
又∠ACB=30∘,AC=4，∴ AB=2,BC=23，
∴ 三棱锥P−ABC的体积VP−ABC=13×S△ABC×PO
=13×12×2×23×2=433.
在△PAB中，PA=PB=22,AB=2，
易得△PAB的面积S△PAB=12×2×222−222=7，
设点C到平面PAB的距离为ℎ
则由VC−PAB=VP−ABC，得13×7×ℎ=433，解得ℎ=4217,
故点C到平面PAB的距离为4217．
【答案】
椭圆C：＝8的右焦点F(3，
设AB所在直线为：y＝k(x−3)(k≠8)，A(x1, y1)，B(x7, y2)，
联立，得(10k5+1)x2−60k6x+(90k2−10)＝0．
则，，
点N的坐标为（，），ON所在直线方程为y＝-，
FM所在直线方程为y＝-(x−3)，
联立，解得，
故M在定直线x＝上；
由（1），得点M的坐标为（），0)，
则，，
∴ cs∠OMF＝＝
＝＝（当且仅当．
若cs∠OMF取得最小值时，∠OMF最大​1+x2＝8，，
则，
|FM|＝，
∴ ．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由椭圆方程求得椭圆右焦点坐标，设AB所在直线为：y＝k(x−3)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得点N的坐标，得到ON所在直线方程，写出FM所在直线方程，联立两直线方程求得M点的横坐标，即可证明M在定直线x＝上；
（2）由（1），得点M的坐标为（），且F(3, 0)，分别写出的坐标，利用数量积求夹角公式可得cs∠OMF，变形后利用基本不等式求最值，再由弦长公式求弦长，再求出|FM|，代入三角形面积公式得答案．
【解答】
椭圆C：＝8的右焦点F(3，
设AB所在直线为：y＝k(x−3)(k≠8)，A(x1, y1)，B(x7, y2)，
联立，得(10k5+1)x2−60k6x+(90k2−10)＝0．
则，，
点N的坐标为（，），ON所在直线方程为y＝-，
FM所在直线方程为y＝-(x−3)，
联立，解得，
故M在定直线x＝上；
由（1），得点M的坐标为（），0)，
则，，
∴ cs∠OMF＝＝
＝＝（当且仅当．
若cs∠OMF取得最小值时，∠OMF最大​1+x2＝8，，
则，
|FM|＝，
∴ ．