广东省广州市广州大学附属中学2021-2022学年高二上学期9月入学考试数学试题+Word版含答案

这是一份广东省广州市广州大学附属中学2021-2022学年高二上学期9月入学考试数学试题+Word版含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如果角的终边经过点，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 若数据，，…，的平均数为4，标准差为1，则，，…，的平均数和标准差分别为（ ）
A. 4，1B. 17，8C. 17，9D. 17，3
4. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
6.2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图图
图1 图2
则下列命题错误的是（ ）
A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B.成绩第名的100人中，高一人数不超过一半
C.成绩第名的50人中，高三最多有32人
D.成绩第名的50人中，高二人数比高一的多
7．如图所示，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，，AC⊥BC，∠B＝60，现将△ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥D﹣ABC的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccsB，若CD是角C的平分线，AD＝，DB＝，求CD的长．（ ）
A．3B．2C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个球，取球后不放回，设事件第一个球是红球，第二个球是黄球，则下列结论正确的是
A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥 C. D.
10. 设，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若|，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若实数使得方程上恰好有三个实数解，则一定有
12. 如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿､及把这个正方形折成一个四面体，使得､､三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（ ）
A. 四面体外接球体积为 B. 顶点在面上的射影为的重心
C. 与面所成角的正切值为
D. 过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
三、填空题：
13. 甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.
14. 已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.
15. 若平面向量若平面向量，，两两所成的角相等，且1，1，3，则= _______.
16. 对函数，设点是图象上的两端点.为坐标原点，且点满足.点在函数的图象上，且（为实数），则称的最大值为函数的“高度”，则函数在区间上的“高度”为 ____________.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17.已知函数．
（1）求函数的最值及相应的的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．
18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
19. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，为正方形，为中点，平面平面，，.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积．
20. 哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
21.(12分)如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.
22．对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．
（1）设，，，，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围．
（2）设函数，，是否能够生成一个函数．且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由．
广东省广州市广州大学附属中学2021-2022学年高二上学期9月入学考数学试题答案
一、单项选择题：
二、多项选择题：
三、填空题：
13． ； 14．89 ； 15．2或5 ； 16． 4
四、17．【答案】（1）当时，，当时，；（2）．
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
19.证明：（1）连接交于点，连接,1分
因为四边形为正方形，所以点为的中点，
又为的中点，所以,2分
又因为，, 3分
所以 .4分
（2）因为四边形为正方形，所以，5分
又因为平面平面，平面平面,平面，6分
所以平面，7分
因为平面，
所以.8分
解：（3）取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，9分
由，，
得，，10分
记点到平面的距离为，因为为的中点，所以，11分
所以.12分
说明：若平面在第2问已经证明，则前两问共9分.
20. 【答案】（1），；中位数；（2）.
【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则
，得，
又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人
则，解得，
中位数中位数为
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种
所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.
21.【答案】（1）；（2）.
【解析】解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面平面，平面平面,
则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，
延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故，
所以AM与平面BCD所成的角为.
（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.，，
所以，所求二面角的正弦值是.
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），
M（0，0，），B（0，，0），A（0，，2），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.
因（0，，），平面的法向量为.
则有，所以，即AM与平面BCD所成的角为.
（2），.设平面ACM的法向量为，
由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量为，则设所求二面角为，则.
22：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
C
D
D
B
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABC
ACD
ACD