2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知椭圆x216+y236=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A.3B.5C.7D.9

2. mn0, b>0)的离心率为2，则点(4, 0)到C的渐近线的距离为（ ）
A.2B.2C.322D.22

5. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为( )
A.22B.1C.2D.2

6. 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60∘，则椭圆的离心率为( )
A.22B.33C.12D.13

7. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，斜率为2的直线与双曲线C相交于点A，B，且弦AB中点坐标为1,1，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.3C.2D.3

8. 已知椭圆： x24+y23=1，直线l：y=x+57，椭圆上任意一点P，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.37B.27C.314D.214

9. 已知双曲线x2m−y2n=1m>0,n>0和椭圆x25+y22=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5

10. 已知F是椭圆C:x23+y22=1的右焦点，P为椭圆C上一点， A(1,22)，则 |PA|+|PF|的最大值为( )
A.4+2B.42C.4+3D.43

11. 设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为( )
A.5B.3C.2D.2

12. 已知F1(−c, 0)，F2(c, 0)为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，P（不在x轴上）为椭圆上一点，且满足PF→1⋅PF2→=c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.[33, 22)B.[13, 12]C.[33, 1)D.(0, 22]
二、填空题

已知方程x25−m+y2m+3=1表示椭圆，则m的取值范围为________.

若直线y=x+m与双曲线x24−y2=1有两个公共点，则实数m的取值范围是________.

与圆C1:x+32+y2=9外切且与圆C2:x−32+y2=1内切的动圆圆心轨迹方程为________.

已知椭圆C:x22+y2=1，点P是椭圆C上的一个动点，满足OP→⋅PF2→≥−1（O为坐标原点，F2为椭圆的右焦点），则点P的横坐标的取值范围是________.
三、解答题

求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32；

(2)焦点的坐标为(5, 0)，(−5, 0)，渐近线方程为y=±43x.

已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(1, 0)作斜率为2的直线l与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的长．

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为5，虚轴长为4．
(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点(0, 1)，倾斜角为45∘的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点(2, 2)在C上．
(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

已知点A(0, −2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．
(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5, 0)，离心率为53．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0, y0)为椭圆外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设所求距离为d，由题得：a=6．
根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：
2a=3+d⇒d=2a−3=9．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
双曲线的标准方程
【解析】
根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
【解答】
解：①mn0，n0，n0和椭圆x25+y22=1有相同的焦点，
∴ m+n=5−2=3，
∴ 4m+1n=13m+n4m+1n
=135+4nm+mn≥135+24nm⋅mn=3，
当且仅当4nm=mn，即m=2n=2时，等号成立，
∴ 4m+1n的最小值为3.
故选B .
10.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，设椭圆的左焦点为F′，
∵ 椭圆的方程为x23+y22=1，其中a=3，P为椭圆C上的一点，
则|PF′|+|PF|=2a=23，
则c=3−2=1，则F(1,0)，F′(−1,0)，
则|PF|=2a−|PF′|=23−|PF′|，
则|PA|+|PF|=|PA|+23−|PF′|=23+|PA|−|PF′|，
分析可得：|PA|−|PF′|≤|AF′|=23，
当P，A，F′三点共线且P在远离A点的一侧时，等号成立，
则|PA|+|PF|的最大值为43.
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
点到直线的距离公式
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cs∠PF2O，代值化简整理可得3a=c，问题得以解决．
【解答】
解：双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=bax，
∴ 点F2到渐近线的距离d=bca2+b2=b，即|PF2|=b，
∴ |OP|=|OF2|2−|PF2|2=c2−b2=a，cs∠PF2O=bc.
∵ |PF1|=6|OP|，
∴ |PF1|=6a.
在三角形F1PF2中，
由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2−2|PF2|⋅|F1F2|cs∠PF2O，
∴ 6a2=b2+4c2−2×b×2c×bc
=4c2−3b2=4c2−3(c2−a2)，
即3a2=c2，
∴ 3a=c，
∴ e=ca=3.
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
椭圆的离心率
【解析】
设P(x0, y0)，(−ab>0)的离心率22，
点(2, 2)在C上，
可得a2−b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程为：x28+y24=1．
(2)设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直线y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8=0，
故xM=x1+x22=−2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率为：KOM=yMxM=−12k，即KOM⋅k=−12．
∴ 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】
解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1，(a>b>0)的离心率22，
点(2, 2)在C上，
可得a2−b2a=22，4a2+2b2=1，
解得a2=8，b2=4，
所以C的方程为：x28+y24=1．
(2)设直线l:y=kx+b，(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xM, yM)，
把直线y=kx+b代入x28+y24=1可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8=0，
故xM=x1+x22=−2kb2k2+1，yM=kxM+b=b2k2+1，
于是在OM的斜率为：KOM=yMxM=−12k，即KOM⋅k=−12．
∴ 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【答案】
解：(1)设F(c, 0)，
∵ 直线AF的斜率为233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2−c2，
解得a=2，b=1．
∴ 椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．
联立y=kx−2,x2+4y2=4,
化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，
当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k2)=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2−481+4k2]
=41+k24k2−34k2+1，
点O到直线l的距离d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t>0，
则4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
当且仅当t=2，即4k2−3=2，
解得k=±72时取等号．
满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±72x−2．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
（1）设F(c, 0)，利用直线的斜率公式可得2c=233，可得c．又ca=32，b2=a2−c2，即可解得a，b；
（2）设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：(1)设F(c, 0)，
∵ 直线AF的斜率为233，
∴ 2c=233，
解得c=3．
又ca=32，b2=a2−c2，
解得a=2，b=1．
∴ 椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．
由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．
联立y=kx−2,x2+4y2=4,
化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，
当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k2)=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，
x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
∴ |PQ|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(16k1+4k2)2−481+4k2]
=41+k24k2−34k2+1，
点O到直线l的距离d=21+k2．
∴ S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2−34k2+1，
设4k2−3=t>0，
则4k2=t2+3，
∴ S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤424=1，
当且仅当t=2，即4k2−3=2，
解得k=±72时取等号．
满足Δ>0，
∴ △OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±72x−2．
【答案】
解：(1)依题意知a2−b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时，
切点分别位于椭圆长轴与短轴的端点处，
此时P点的坐标为(±3, ±2)，符合题意；
②当两条切线斜率均存在时，
设过点P(x0, y0)的切线为y=k(x−x0)+y0，
则x29+y24=x29+[k(x−x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x−x0)2+y02+2ky0(x−x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02−2k2x0x+y02+2ky0x−2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0−kx0)x+9[(y0−kx0)2−4]=0，
∴ Δ=[18k(y0−kx0)]2−4(9k2+4)×9[(y0−kx0)2−4]=0，
整理得(x02−9)k2−2x0y0k+(y02−4)=0，
∴ k1⋅k2=y02−4x02−9=−1，
∴ x02+y02=13．
把点(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 点P的轨迹方程为：x2+y2=13．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线的轨迹问题
圆锥曲线的切线和法线
【解析】
（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△＝0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1⋅k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】
解：(1)依题意知a2−b2=5，ca=5a=53，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时，
切点分别位于椭圆长轴与短轴的端点处，
此时P点的坐标为(±3, ±2)，符合题意；
②当两条切线斜率均存在时，
设过点P(x0, y0)的切线为y=k(x−x0)+y0，
则x29+y24=x29+[k(x−x0)+y0]24=1，
4x2+9[k2(x−x0)2+y02+2ky0(x−x0)]=36，
4x2+9[k2x2+k2x02−2k2x0x+y02+2ky0x−2ky0x0]=36，
整理得(9k2+4)x2+18k(y0−kx0)x+9[(y0−kx0)2−4]=0，
∴ Δ=[18k(y0−kx0)]2−4(9k2+4)×9[(y0−kx0)2−4]=0，
整理得(x02−9)k2−2x0y0k+(y02−4)=0，
∴ k1⋅k2=y02−4x02−9=−1，
∴ x02+y02=13．
把点(±3, ±2)代入亦成立，
∴ 点P的轨迹方程为：x2+y2=13．