北师大版必修22.2圆的一般方程学案

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课题 ：圆的一般方程式 2 课时
三维目标：
在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.
掌握方程表示圆的条件，通过对方程表示圆的条件探究，培养学生探索发现及分析解决问题的能力.
能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程。能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数型结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
教学重点：1.圆的一般方程代数特征.
2.一般方程与标准方程间的互化.
3.根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
学习方法：
自学提纲：
基础达标：
一、复习回顾
1. 圆心为A（a，b），半径长为r的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程.
2. 点与圆的关系的判断方法：
（1）当满足 时,点在圆外;
（2）当满足 时,点在圆上;
（3）当满足 时,点在圆内.
二、新知导学
【实例】 (1)方程x2+y2-4x+2y+1=0表示什么图形?
(2)方程x2+y2+2x-6y+10=0表示什么图形?
(3)方程x2+y2-4x+6y+15=0表示什么图形?
圆的一般方程
1.圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 .
3.:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的特点：
4.圆的一般方程的特点：
x2和y2的系数相同，不等于0;
没有xy这样的二次项;
5..求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是:
①根据题意,选择适当的方程形式;
②根据条件列出关于a,b,c或D,E,F的方程组;
③解出a,b,c或D,E,F代入标准方程或一般方程.
另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用.
三、典例讲解
【例1】 下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.
(1)2x2+y2-7x+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;
(4)2x2+2y2-4x=0; (5)x2+y2+20x+36=0.
形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可由
如下两种方法:
(1)由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正.若D2+E2-4F>0,则方程表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.
跟踪训练11:圆的方程是(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心的坐标是( )
(A)(1,-1) (B) (C)(-1,2) (D)
【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(4,3),B(5,2),C(1,0),求△ABC的外接圆的方程,并求出这个圆的圆心和半径.
如何恰当选择圆的两种形式?
(对圆的一般方程和标准方程可作如下选择:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求a、b、r;(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D、E、F)
四、【质疑探究】
1.若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则应满足什么条件?
2.如果方程x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是 .
五、随堂一练
1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为( )
(A)(4,-6),16(B)(2,-3),4 (C)(-2,3),4 (D)(2,-3),16
2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
(A)2 (B) (C)1 (D)
3.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m等于( C )
(A)8 (B)-4 (C)6 (D)无法确定
4.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程为( C )
(A)(x+3)2+(y-2)2= (B)(x-3)2+(y+2)2=
(C)(x+3)2+(y-2)2=2 (D)(x-3)2+(y+2)2=2
5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( D )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1) (C)(1,+∞) (D)(2,+∞)
6.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a等于 .
7.以点为圆心，半径等于3的圆的一般方程是_________________________
能力提升
1.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的一般方程为 .
2.求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.
学习小结：
方程
条件
图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2-4F 0
不表示任何图形
D2+E2-4F 0
表示一个点
D2+E2-4F 0
表示以为圆心,
以为半径的圆