2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二上学期入学调研考试数学试题A卷 解析版

这是一份2021-2022学年重庆市万州第二高级中学高二上学期入学调研考试数学试题A卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若“，”是假命题，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．
C．是图象的一条对称轴D．为奇函数
5．已知一组数据，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，的平均数与方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
8．四面体的四个顶点都在球O上且，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，角，，的对边分别为，，，则下列各组条件中使得有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．下列命题中正确的是（ ）
A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．若平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
11．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，．假定每次闯关互不影响，则（ ）
A．直接挑战第关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，
则
D．若直接挑战第关，则过关的概率是
12．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数_______，_______．
14．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
15．已知复数，若（，且），则的最小值为________．
16．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点P在四边形内(包括边界)运动，则下列说法中正确的是_______．
①若P是线段的中点，则平面平面
②若P在线段上，则与所成角的取值范围为
③若平面，则点P的轨迹的长度为
④若平面，则线段长度的最小值为
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查．
（1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？
（2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率．
18．（12分）如图，在长方体中，，点E，F分别在上(不包含端点)，且．
证明：（1）A，，E，F四点共面；
（2）直线交于一点．
19．（12分）锐角的内角、、的对边分别为、、，已知
，，且．
（1）求；
（2）若，求的最大值．
20．（12分）某学校6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究，得到成绩的范围是（单位：分），根据统计数据得到如下频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）估计该校安全教育测试成绩的中位数（精确到小数点后两位）；
（3）若成绩在赋给1颗星，赋给2颗星，赋给3颗星，
将频率视作概率，若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两个一共得4颗星的概率．
21．（12分）在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积．
22．（12分）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．
（1）求与平面所成的角的正弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题，
即对于恒成立，所以，
因为在单调递增，
所以时，最小值为，
所以，实数的最大值为，故选D．
2．【答案】B
【解析】，其对应的点在第二象限，
所以，故选B．
3．【答案】D
【解析】该女生可能来自甲班，也可能来自乙班．
所以概率为，故选D．
4．【答案】C
【解析】依题意，，函数的周期，A正确；
，B正确；
因，即不是图象的一条对称轴，C不正确；
定义域为R，，为奇函数，D正确，
故选C．
5．【答案】C
【解析】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为3，
则数据，，，的平均数，其方差，
故选C．
6．【答案】B
【解析】由函数满足，可得为偶函数，
当，有，可得在单调递减．
由，即，
可得在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
显然当时，不等式不成立，故舍去；
当时，函数对称轴为，
当，即或时，函数在上单调递增，
只需，解得或，所以或；
当，即时，函数在上单调递减，只需，解得或，所以；
当，即时，只需，显然不成立，
综上可得，的取值范围是，故选B．
7．【答案】C
【解析】如图所示，作，
，，，
可得，即，，
利用向量的三角形法则，可知，
若与O重合，则；
若在O左侧，即在上时， ；
若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，
利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号），
故选C．
8．【答案】B
【解析】取的中点，连接，
设和的外心分别为，
分别过点作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心．
由题意可知，和都是边长为4的等边三角形．
为的中点，，且，
，，，
，平面，
平面，平面平面，
易得，，
平面，平面，，
同理可得，则四边形为菱形，
，菱形为正方形，
平面，平面，，
所以外接圆半径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BD
【解析】对于A，由余弦定理，可得，
即，解得，
可得有两个解，故错误；
对于B，由余弦定理，可得，
即，解得（负值舍去），
可得只有一个解，故正确；
对于C，，，
解得有多解，所以错误；
对于D，，，，或（舍去），
此时已知两角和其中一角的对边，这个三角形就唯一确定，故正确，
故选BD．
10．【答案】ABC
【解析】对于D，如图，平面平面，，，不垂直于平面，所以D不正确；
对于A，如D中的图，平面平面，，，，
若，则，所以A正确；
对于C，如图，
设，，在内直线、外任取一点，作，交点为，
因为平面平面，所以，所以，
作，交点为，因为平面平面，所以，所以，
又，所以，所以C正确；
对于B，若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，B正确，
故选ABC．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，直接挑战第2关，则，
所以投掷两次点数之和应大于6，
故直接挑战第2关并过关的概率为，故选项A正确；
对于B，闯第1关时，，
所以挑战第1关通过的概率为，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故选项B错误；
对于C，由题意可知，抛掷3次的基本事件有个，
抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有个，
故，
而事件包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，
故，所以，故选C正确；
对于D，当时，，基本事件共有个，
“4次点数之和大于20”包含以下情况：
含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，
所以共有个，
所以直接挑战第4关，则过关的概率是，故选项D正确，
故选ACD．
12．【答案】AD
【解析】在中，由正弦定理可将式子化为
，
把代入整理得，
，解得或，即或(舍去)，
所以，选项A正确；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由，解得，故选项B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围，故选项C错误；
选项D：，
因为，所以，．
令，，则．
由对勾函数的性质知，函数在上单调递增．
又，，所以．
即的取值范围为，故选项D正确，
故选AD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】2，
【解析】因复数为纯虚数，且m为实数，
则有，解得，
此时，，
故答案为2，．
14．【答案】068
【解析】由题意，根据简单随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第8列开始向右读取，依次为，所以第3支疫苗的编号为，
故答案为068．
15．【答案】7
【解析】复数，
若，
则，
则，，且，
故的最小值为7，故答案为7．
16．【答案】①②③④
【解析】对于①，如图所示：
，分别是线段，的中点，故，
则，，
所以，易知平面，所以，
所以平面，从而平面平面，故①正确；
对于②，正方体中，，
所以与所成的角为与所成的角，
连接，，则为正三角形，
所以与所成角的取值范围为，故②正确；
对于③，如图，
设平面与直线交于点，连接，，则为的中点，
分别取，的中点，，连接，，，易知，
所以平面，
同理可得平面，所以平面平面，
由此结合平面，可得直线平面，
所以点的轨迹是线段，易得，故③正确；
对于④，如下图，
取的中点，的中点，的中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
连接，，则，
又，所以，所以平面，
连接，，易知，
又，所以，故，，，四点共面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面，所以点的轨迹为线段．
由知，，，连接，，
在中，，所以，
所以，得为直角，故线段长度的最小值为，故④正确，
故答案为①②③④．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）甲3人，乙2人，丙1人，；（2）．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1，
由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人．
该企业总共有名员工，
记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以每一位员工被抽到的概率为．
（2）记事件：“至少有1人合格”，
记其中合格的2人的分别为，，不合格的4人的分别为，，，，则从6人中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种，
故至少有1人合格的概率为．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）如图，连接．
因为，，所以，所以，
由长方体的性质可知，所以，
故A，，E，F四点共面．
（2）由（1）可得，，则四边形是梯形，
故直线与直线必相交，记．
因为，且平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面．
因为平面平面，所以．
即直线交于一点．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，，
所以，即，
由正弦定理易知，
因为是锐角三角形，所以，，
则，即，，．
（2）因为，所以，
则
，
其中，，
因为，是锐角三角形，所以，
故当、时，取最大值．
20．【答案】（1）；（2）中位数为分；（3）．
【解析】（1）由，得．
（2）第一、二、三组的频率分别为，，，
设中位数为，则，解得，
所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为分．
（3）设甲得到“星”的颗数为，乙得到“星”的颗数为．
；；，
且且且
，
甲乙两位同学一共得4颗星的概率为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
利用正弦定理得，
即，化简得．
，，，
又，．
（2）由正弦定理得．
设为边上的中点，则，
利用向量加法法则得，
两边平方得，即，
由余弦定理，即，
两式相减得，即．
由三角形面积公式得．
22．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）取的中点，连接，过作于点，连接，
又因为，所以为的外心，
又由，所以在平面上射影是的外心，
所以平面，
所以平面平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，
在中，，，
在中，，
在中，，，所以，
故与平面所成的角的正弦值．
（2）过作于点，连接，作交于点，交于点，
由（1）得平面，
又平面，所以，
又，，都在平面内，且相交于点，所以平面，
又平面，所以，
要使得平面平面，则需，
在中，，，
所以，，
在中，，
由，得，所以．
故棱上存在点，使得平面平面，且当时有平面平面．