2020-2021学年山东省济宁市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省济宁市高二（上）期中数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线y=8x2的准线方程为( )
A.y=−132B.y=−2C.x=−132D.x=−2

2. 已知{}是空间向量的一个基底，则与向量＝，＝可构成空间向量基底的是（ ）
A.B.C.D.

3. 若直线y=kx与圆(x−2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（ ）
A.k=12，b=−4B.k=−12，b=4C.k=12，b=4D.k=−12，b=−4

4. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（ ）
A.9x2+y2＝36B.3x2+4y2＝48C.x2+9y2＝36D.5x2+3y2＝30

5. 已知双曲线C:x2a2−y24=1(a>0)的一个焦点和抛物线y2=−83x的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y=±24xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±x

6. 在正四面体O−ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则用，，表示为（ ）
A.B.
C.D.

7. 如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置DA2B2C2−D3A3B3C3中放一个单位正方体礼盒DABC−D1A1B1C1，现以点D为坐标原点，DA2、DC2、DD3分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D−xyz，则正确的是（ ）

A.D1的坐标为(1, 0, 0)B.D1的坐标为(0, 1, 0)
C.B1B3的长为29−3D.B1B3的长为14

8. 已知椭圆两焦点F1，F2，P为椭圆上一点，若，则△F1PF2的内切圆半径为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选、多选得0分.

设几何体ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则（ ）
A.•＝a2B.•＝a2
C.•＝−a2D.•＝a2

下列结论正确的是（ ）
A.若是直线l方向向量，l⊥平面α，则是平面α的一个法向量
B.坐标平面内过点P(x0, y0)的直线可以写成A(x−x0)+B(y−y0)＝0(A2+B2≠0)
C.直线l过点(−2, 3)，且原点到l的距离是2，则l的方程是5x+12y−26＝0
D.设二次函数y＝(x−2019)(x+2020)的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0, 1)

若圆x2+y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x−3y+25＝0的距离等于1，则r可以取值（ ）
A.B.5C.D.6

双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的离心率为
B.若PO⊥PF，则△PFO的面积为
C.|PF|的最小值为2
D.双曲线与C的渐近线相同
三、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.将每小题的答案填在答题卡相应位置处.

过点A(−2, 1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________．

已知a→=(1, 1, 0)，b→=(−1, 0, 2)，且ka→+b→与2a→−b→垂直，则k的值为________．

已知双曲线x2m−y23m=1的一个焦点是(0, 2)，椭圆y2n−x2m=1的焦距等于4，则n=________．

如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是________．

四、解答题：共6个小题，满分70分，将每题的答案写在答题卡的相应位置处.

已知曲线Γ：2(a−2)x−by2+2b−4＝0(a, b∈R)．下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，将其序号填在答题卡中该题的横线上，然后对选择的问题进行求解．若选择多个问题分别求解的只按第一个解答计分．
①若a＝4，b＝2，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及x、y的取值范围；
②若a＝3，b＝2，写出曲线的方程，并求经过点(−1, 0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；
③若a＝3，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b如何变化，这两点都不在曲线Γ上．

已知直角坐标平面xOy内的两点A(8, −6)，B(2, 2)．
（1）求线段AB的中垂线所在直线的方程；

（2）求以向量为方向向量且过点P(2, −3)的直线l的方程；

（3）一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1．

（1）证明：EC // 平面PAD；

（2）求平面EAC与平面PAC夹角的正弦值．

古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262∼公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角系xOy中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆E．
（1）求圆E的方程；

（2）若点A(−2, 2)，B(−2, 6)，C(4, −2)，当P在E上运动时，记|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值；

（3）过点Q(3, 3)向圆E作切线QS，QT，切点分别是S，T，求直线ST的方程．

坐标平面内的动圆M与圆C1：(x+4)2+y2＝1外切，与圆内切，设动圆M的圆心M的轨迹是曲线 E，直线l0:4x−5y+40＝0．
（1）求曲线 E的方程；

（2）当点M在曲线 E上运动时，它到直线l0的距离最小？最小值距离是多少？

（3）一组平行于直线l0的直线，当它们与曲线E相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？

椭圆E的左、右焦点分别为F1(−1, 0)、F2(1, 0)．经过点F1(−1, 0)且倾斜角为θ(0<θ<π)的直线l与椭圆E交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF2的周长为8．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直．
①当时，求△ABF2的周长；
②当时，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省济宁市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.
1.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．
【解答】
解：因为抛物线y=8x2，
可化为：x2=18y，
∴ 2p=18，
则抛物线的准线方程为y=−132．
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
关于点、直线对称的圆的方程
【解析】
利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b．
【解答】
解：因为直线y=kx与圆(x−2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，
因为直线2x+y+b=0的斜率为−2，所以k=12．
并且直线经过圆的圆心，所以圆心(2, 0)在直线2x+y+b=0上，
所以4+0+b=0，b=−4．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．
【解答】
抛物线y2=−83x的焦点(−23, 0)，双曲线C:x2a2−y24=1(a>0)的一个焦点和抛物线y2=−83x的焦点相同，可得c=23，
可得a2+4=12，解得a=22，
所以双曲线C的渐近线方程：y=±22x．
6.
【答案】
D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
D
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
根据坐标系写出各点的坐标即可．
【解答】
可得D1(0, 0, 1)，B1(1, 1, 1)，B3(2, 3, 4)，
|B1B3|=(1−2)2+(1−3)2+(1−4)2=14，
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选、多选得0分.
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
B,D
【考点】
点到直线的距离公式
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
A,B,D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.将每小题的答案填在答题卡相应位置处.
【答案】
y=−12或y=−x−1
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况．
【解答】
解：①直线过原点时，由两点式易得，直线方程为y=−12x；
②直线不过原点时，设截距为a
则直线方程为xa+ya=1，又∵直线l过点A
∴ −2a+1a=1
∴ a=−1
∴ 直线方程为：y=−x−1
故答案是y=−12x或y=−x−1
【答案】
75
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据所给的两个向量的坐标，写出ka→+b→与2a→−b→的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k的方程，得到结果．
【解答】
解：∵ a→=(1, 1, 0)，b→=(−1, 0, 2)，
∴ ka→+b→=k(1, 1, 0)+(−1, 0, 2)=(k−1, k, 2)
2a→−b→=2(1, 1, 0)−(−1, 0, 2)=(3, 2, −2)，
∵ ka→+b→与2a→−b→垂直，
∴ 3(k−1)+2k−4=0，
∴ k=75，
故答案为：75
【答案】
5
【考点】
双曲线的特性
【解析】
由题意可得m=−1，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于n的方程，解之可得．
【解答】
解：由题意可得m<0，且22=−3m−m，解得m=−1，
故椭圆y2n−x2m=1的方程可化为y2n+x2=1，
故其焦距2c=2n−1=4，或2c=21−n=4
解得n=5，或n=−3（此时方程不表示椭圆，舍去）
故答案为：5
【答案】
1+2
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+2，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
【解答】
解：取AC的中点D，连接OD，BD，
∵ OB≤OD+BD，
∴ 当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵ BD=12+12=2，OD=AD=12AC=1，
∴ 点B到原点O的最大距离为1+2．
故答案是：1+2．
四、解答题：共6个小题，满分70分，将每题的答案写在答题卡的相应位置处.
【答案】
选择 ①．
因为a＝4，b＝23＝2x，
该曲线是抛物线，其对称轴方程是y＝0，7)、
焦点坐标为、x的取值范围是x∈[0、y的取值范围是R；
选择 ②．
因为a＝3，b＝62＝x．该曲线是抛物线，
当过点(−1, 7)的直线斜率不存在时​2＝x没有交点，不符合题意；
当过点(−1, 6)的直线斜率存在时，因此直线方程可设为：y＝k(x+1)，
两个方程联立得，消去x可得：ky2−y+k＝0，
当k＝4时，此时y＝0，0)且与曲线Γ只有一个公共点；
当k≠7时，只需Δ＝1−4k3＝0，解得．
综上，符合题意的直线方程为：y＝0，x+2y+6＝0．
选择 ③．
因为a＝3，所以曲线的方程为3x−by2+2b−2＝0，即by2＝4x+2b−4．
当b＝2时，x＝2；
当b≠0时，，
当x＝2时，y2＝6，
因此符合题意这两个点可为．
【考点】
曲线与方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
，
∴ 线段AB的中点坐标为(2, −2)．
又，
∴ 线段AB的中垂线的斜率为，
∴ 由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为，
即3x−5y−23＝0．
由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为，
由直线方程的点斜式得直线l的方程为，
即4x+3y+1＝0．
设B(5, 2)关于y轴的对称点为B′(m，则点B′(−2，
所以，
则直线，
即反射光线所在的直线方程为4x+5y−6＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明（一）几何法：取PA的中点F，由E为PB的中点，则，
而，所以，
则四边形CDFE为平行四边形，所以CE // DF，
又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD．
（二）向量法：＝，则共面，
而DP，DA是平面PAD的两相交直线，
所以CE // 平面PAD．
另证：取PA的中点F，，
则四边形CDFE为平行四边形，所以，
又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD．
（三）坐标法：∵ PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB，
以A为原点，，，向量方向分别为x轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．
各点坐标如下：A(0, 3, 0)，0，8)，1，0)，7，0)，，
平面平面PAD的一个法向量为，
则，所以AB⊥EC，
又EC⊄平面PAD，所以CE // 平面PAD．
设平面APC的法向量为，由，，
有，取x＝1，z＝0，即，
设平面EAC的法向量为，由，，
有，取x＝1，z＝−2，即，
所以，
故平面EAC与平面PAC夹角的正弦值为．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设点(x, y)，由，
得，整理得x2+y2＝4；
|PA|2+|PB|2+|PC|6＝(x+2)2+(y+2)2+(x+2)6
+(y−6)2+(x−3)2+(y+2)63x2+2y2−4y+68＝80−6y，
而−2≤y≤2，则M＝88，即m+M＝160．
解法（一）：根据平面几何知识可知O，S，Q，T四点共圆，
其方程为(x−8)x+(y−3)y＝0，
则ST是圆E和以OQ为直径的圆的相交弦，而圆E的方程为x5+y2＝4，
则直线ST的方程为6x+3y−4＝3．
解法（二）：由题意，可知，
所以以Q为圆心，半径为|QS|＝|QT|的圆的方程为(x−3)2+(y−3)8＝14．
根据平面几何知识可知ST是圆E和以Q为圆心，半径为|QS|＝|QT|的圆的相交弦，
而圆E的方程为x2+y2＝6，其所在的直线方程为3x+3y−4＝0．
解法（三）：设切点S(x1, y4)，T(x2, y2)，
则，，
整理得，同理可得x6x+y2y＝4，均过点Q(4，
则3x1+8y1＝4，8x2+3y2＝4表明点Q，S都在直线3x+3y＝4上，
则所在的直线方程为3x+6y−4＝0．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设动圆M的半径为r，由题意可知|MC1|＝r+1，|MC5|＝9−r，
则|MC1|+|MC7|＝10>|C1C2|＝4，
根据椭圆的定义可知曲线 E是以C1，C2为焦点，长轴长为10的椭圆，
其中，
曲线 E的方程为．．
设与l0平行的直线l的方程为8x−5y+m＝0，即，代入，
可得，整理得25x2+8mx+m4−225＝0，Δ＝64m2−100(m6−225)＝22500−36m2，
当Δ＝0时，此时m＝±25直线l与曲线 E相切，
点到直线l5的距离最小，（可以不写出点M的坐标）
另解1：当m＝25时，点M到直线l0的距离最小，．
另解2：设点M(5csθ, 7sinθ)，
则点M到直线l0的距离＝．
由（2）可得＝，
消去m可得所有弦的中点均在直线上．
另设与l0平行的直线与曲线 E的两交点坐标为(x1, y5)，(x2, y2)，中点N(x，，两式作差得，
由题意可知x1≠x2
则，整理得9x+20y＝0，
即所有弦的中点均在直线3x+20y＝0上．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
因为△ABF2的周长为8，所以6a＝8．
由题意得c＝1，∴ b4＝a2−c2＝4，所以椭圆 E的方程为．
①当时，经过点F1(−1, 6)且倾斜角为θ(0<θ<π)的直线l，
此时，，
折叠后|AF1|，|BF1|，|AF2|，|BF2|的长度不变，
但，
此时△ABF5的周长为．
②当时，直线，与，
（因为点A在x轴上方）以及，
再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，则F1(8，−1，.，F2(6, 1, 0)，，．
设异面直线AF1和BF2所成角为θ，
则，
所以异面直线AF1和BF2所成角的余弦值为．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答