初中21.2 解一元二次方程综合与测试同步达标检测题

这是一份初中21.2 解一元二次方程综合与测试同步达标检测题，共13页。
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
2．（2021春•沙河口区期末）一元二次方程2x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝2C．x1＝0，x2＝D．x＝2
3．（2021春•海阳市期末）用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝C．（x+）2＝D．（x+）2＝
4．（2021春•槐荫区期末）若m、n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．0B．2C．3D．﹣4
5．（2021春•大连期末）关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠0
6．（2021春•越城区期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，那么a+b的值为（ ）
A．9B．11C．14D．17
7．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，则原方程的另一个解是（ ）
A．x2＝0或7B．x2＝3或4C．x2＝3或7D．x2＝4或7
8．（2021春•拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥B．k≥且k≠1C．k≥0D．k≥0且k≠1
9．（2021春•夏津县期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
10．（2021春•江北区期末）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
二．填空题
11．（2021春•岳西县期末）已知某个一元二次方程的两根分别是1和﹣2，则这个方程可以是（填一般形式） ．
12．（2021春•嘉兴期末）一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是 ．
13．（2021春•海安市期末）关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 ．
14．（2021春•北仑区期末）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ．
15．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 ．
16．（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ ．
三．解答题
17．（2021春•渝中区校级期末）解一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
18．（2020秋•武侯区校级月考）解方程：
（1）2（x+1）2﹣＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；
（3）x（x+3）＝5（x+3）；
（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0．
19．（2021春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
20．（2020秋•洪洞县期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
21．（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
22．（2021春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
23．（2020秋•宜宾期末）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝ ；
（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•招远市期末）一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【解析】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
y2+2y﹣2＝3y，
y2﹣y﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2021春•沙河口区期末）一元二次方程2x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝2C．x1＝0，x2＝D．x＝2
【解析】解：方程2x2﹣x＝0，
分解因式得：x（2x﹣1）＝0，
可得x＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
故选：C．
3．（2021春•海阳市期末）用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝C．（x+）2＝D．（x+）2＝
【解析】解：方程3x2+2x﹣1＝0，
变形得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，
故选：D．
4．（2021春•槐荫区期末）若m、n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．0B．2C．3D．﹣4
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣2，
∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝﹣2﹣2＝﹣4，
故选：D．
5．（2021春•大连期末）关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠0
【解析】解：根据题意得﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，
解得k＞﹣3且k≠0．
故选：D．
6．（2021春•越城区期末）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，那么a+b的值为（ ）
A．9B．11C．14D．17
【解析】解：方程x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，
∴a＝3，b＝14，
则a+b＝17．
故选：D．
7．（2021春•乐清市期末）已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，则原方程的另一个解是（ ）
A．x2＝0或7B．x2＝3或4C．x2＝3或7D．x2＝4或7
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，
∴4a2﹣14a+6a＝0，
解得a＝0或a＝2，
∴当a＝0时，方程为x2﹣7x＝0，
∵x1＝0，
∴x2＝7；
当a＝2时，x2﹣7x+12＝0，
∵x1＝4，
∴x2＝7﹣4＝3，
故选：C．
8．（2021春•拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥B．k≥且k≠1C．k≥0D．k≥0且k≠1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥且k≠1，
故选：B．
9．（2021春•夏津县期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【解析】解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
10．（2021春•江北区期末）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
【解析】解：A、在方程ax2+bx+c＝0中Δ＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中Δ＝b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a﹣c≠0，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
C、∵7是方程M的一个根，
∴49a+7b+c＝0，
∴a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，正确；
D、∵和符号相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故选：B．
二．填空题
11．（2021春•岳西县期末）已知某个一元二次方程的两根分别是1和﹣2，则这个方程可以是（填一般形式） x2+x﹣2＝0（答案不唯一） ．
【解析】解：∵一元二次方程的两根分别是1和﹣2，
∴x1+x2＝﹣1
x1x2＝﹣2．
∴这个方程为：x2+x﹣2＝0（答案不唯一）．
故答案为：x2+x﹣2＝0（答案不唯一）．
12．（2021春•嘉兴期末）一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是 x1＝﹣1，x2＝2 ．
【解析】解：方程整理得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
13．（2021春•海安市期末）关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 x1＝﹣2，x2＝3 ．
【解析】解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
14．（2021春•北仑区期末）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ﹣4 ．
【解析】解：设方程的另一根为x2，
∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，
∴x2＝．
解得x2＝﹣4．
故答案是：﹣4．
15．（2021春•拱墅区期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 x2﹣7x+2＝0 ．
【解析】解：∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1•x2＝1×2＝2；
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
16．（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝ 2032 ．
【解析】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
三．解答题
17．（2021春•渝中区校级期末）解一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
【解析】解：（1）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），
即2（2y﹣5）＝3（3y﹣1）或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1），
解得y1＝﹣，y2＝1．
18．（2020秋•武侯区校级月考）解方程：
（1）2（x+1）2﹣＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2；
（3）x（x+3）＝5（x+3）；
（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0．
【解析】解：（1）2（x+1）2﹣＝0，
2（x+1）2＝，
（x+1）2＝，
开方得：x+1＝，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2，
整理得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x（x+3）＝5（x+3），
x（x+3）﹣5（x+3）＝0，
（x+3）（x﹣5）＝0，
x+3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝5；
（4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0，
设2x+1＝a，则原方程化为a2﹣3a﹣28＝0，
解得：a＝7或﹣4，
当a＝7时，2x+1＝7，解得：x＝3；
当a＝﹣4时，2x+1＝﹣4，解得：x＝﹣；
所以原方程的解是：x1＝﹣3，x2＝﹣．
19．（2021春•上虞区期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
【解析】解：（1）方程可化为x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，
两边开方得，x+6＝±3，
故x1＝﹣6﹣3，x2＝﹣6+3；
（2）由题意得：x1+x2＝，x1x2＝﹣，
原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2+2×＝4．
20．（2020秋•洪洞县期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了 化归 的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
【解析】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；
故答案为：换元，化归；
（2）令x2+x＝m，
则m2﹣m﹣2＝0，
∴（m﹣2）（m+1）＝0，
∴m﹣2＝0或m+1＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+x＝﹣1，即x2+x+1＝0，
∵△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴此方程无解；
综上，原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
21．（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【解析】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
22．（2021春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．
【解析】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得++1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
23．（2020秋•宜宾期末）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝ （2a﹣1）2 ；
（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；
故答案为：（2a﹣1）2；
（2）x2﹣10x﹣1
＝x2﹣10x+52﹣52﹣1
＝（x﹣5）2﹣26
∴h＝﹣5，k＝﹣26，
∴h+k＝﹣31；
（3）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，
∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，
∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，
∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
即a＝b＝c＝1，
∴△ABC为等边三角形．