2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知直线ax+2y−1=0与直线a−4x−ay+1=0垂直，则实数a的值为( )
A.0B.0或6C.−4或2D.−4

2. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为( )
A.1365石B.336石C.168石D.134石

3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是( )
A.恰有1个黑球与恰有2个黑球
B.至少有一个红球与都是黑球
C.至少有一个黑球与至少有1个红球
D.至少有一个黑球与都是黑球

4. 如图所示的程序框图中，输出S的值为( )

A.10B.12C.15D.18

5. 甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x¯甲、x¯乙，则下列正确的是( )

A.x¯甲< x¯乙，甲比乙成绩稳定
B.x¯甲> x¯乙，乙比甲成绩稳定
C.x¯甲> x¯乙，甲比乙成绩稳定
D.x¯甲< x¯乙，乙比甲成绩稳定

6. 直线l过点(−4, 0)且与圆(x+1)2+(y−2)2=25交于A，B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为( )
A.5x+12y+20=0B.5x−12y+20=0或x+4=0
C.5x−12y+20=0D.5x+12y+20=0或x+4=0

7. 空间直角坐标系中，设At,1−t,1−t,B2t+1,t−1,−tt∈R，点C和点B关于x轴对称，则|AC|的最小值是( )
A.355B.35C.555D.55

8. 已知点F1−1,0，F21,0，动点A到F1的距离是23，线段AF2的垂直平分线交线段AF1于点P，则P点的轨迹方程是( )
A.x29+y24=1B.x212+y28=1C.x23+y22=1D.x212+y210=1

9. 已知圆C:x2+y2=12，直线l:4x+3y=25，求圆C上任取一点A到直线l的距离小于2的概率( )
A.12B.13C.14D.16

10. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2pxp>0的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若b2=3a2，△AOB的面积为3，则p=( )
A.1B.32C.2D.3

11. 点A−1,2在直线2ax−by+14=0a>0,b>0上，且该点始终落在圆x−a+12+y+b−22=25的内部或圆上，那么ba的取值范围是( )
A.34,43B.[34,43)C.(34,43]D.34,43

12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A.13B.12C.23D.34
二、填空题

如图是调查某学校高三年级男、女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生、女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为________人.


双曲线8kx2−ky2=8的一个焦点为(0, 3)，那么k=________．

已知M是抛物线y2=4x上一点．F为其焦点，点A在圆x−52+y+12=1上，则|MA|+|MF|的最小值是________.

已知A1,2 ，B−1,2，动点P满足AP→⊥BP→．若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
三、解答题

已知直线l经过直线2x+y+2=0与直线3x+4y−2=0的交点P，且垂直于直线x−2y−1=0.
(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．


在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人，现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析.

(1)设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；

(2)依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；

(3)如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：

为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：
经计算：x¯=16i=16xi=26，y¯=16i=16yi=33，i=16(xi−x¯)(yi−y¯)=557，i=16(xi−x¯)2=84，i=16(yi−y¯)2=3930，i=16(yi−y)2=236.64，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为试验数据中的温度和死亡株数，i=1，2，3，4，5，6．
(1)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y=bx+a（结果精确到0.1）；

(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=，且相关指数为R2=0.9522．
(i)试与(1)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35​∘C时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）．
附：对于一组数据(u1, v1)，(u2, v2)，⋯，(un, vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
β=i=1n (ui−u¯)(vi−v¯)i=1n (ui−u¯)2，a=v¯−βu¯；相关指数为：R2=1−i=1n (vi−vi)2i=1n (vi−v¯i)2．

已知圆C过A1,0，B0,−1两点，且圆心C在直线x−y+2=0上．
(1)求圆C的方程；

(2)设点P是直线4x−3y−8=0上的动点，PM，PN是圆C的两条切线，M，N为切点，求四边形PMCN面积的最小值．

给定直线l:y=2x−16，抛物线G:y2=axa>0，且抛物线G的焦点在直线l上．
(1)求抛物线G的方程；

(2)若△ABC的三个顶点都在抛物线G上，且点A的纵坐标yA=8 ，△ABC的重心恰是抛物线G的焦点F，求直线BC的方程．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，F1，F2为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点， △MF1F2面积的最大值为1.
(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l:y=kx+mm≠0交椭圆C于A，B两点．若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
直线ax+2y−1=0与(a−4)x−ay+1=0互相垂直，讨论斜率是否都存在，再利用斜率之积，确定出答案.
【解答】
解：∵ 直线ax+2y−1=0与(a−4)x−ay+1=0互相垂直，
∴ 当a=0时，两直线分别为：2y−1=0，−4x+1=0，两直线垂直；
当a≠0时，两直线斜率之积为−1，
即−a2⋅a−4a=−1，
解得a=6.
综上：a=0或6.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】
根据样本容量概念求解即可.
【解答】
解：设这批米内夹谷约为x，
根据题意得到：x1524=56254，
解得，x=336.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
分别写出摸出两个球的情况，在分析作答即可.
【解答】
解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，有3种情况：
①恰有一个黑球；②恰有两个黑球；③没有黑球．
故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，
再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥而不对立的事件.
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5的值，计算可得答案．
【解答】
解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5，
∴ S=1+2+3+4+5=15.
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
根据茎叶图中的数据，求出甲、乙同学的平均值与方差，即可得出正确的结论．
【解答】
解：根据茎叶图中的数据，得：
x¯甲 = 15(72+77+78+86+92)＝81，
x¯乙= 15(78+88+88+91+90)＝87，
s甲2=15[(−9)2+(−4)2+(−3)2+52+112]
= 2525，
s乙2=15[(−9)2+12+12+42+32]=1085，
∴ 甲的平均值小于乙的平均值，甲的方差大于乙的方差，
故乙比甲稳定．
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
直线和圆的方程的应用
直线的点斜式方程
点到直线的距离公式
【解析】
当切线的斜率不存在时，求出直线l的方程，当斜率存在时，由弦心距、半弦长、半径三者间的关系可得弦心距等于3，解出 k值，即得直线l的方程．
【解答】
解：∵ |AB|=8，
∴ 圆心(−1,2)到直线l的距离为：
d=r2−(|AB|2)2=3.
当切线的斜率不存在时，
直线l的方程为x+4=0，
此时圆心到直线l的距离为3，满足条件；
当切线的斜率存在时，
设直线l的方程为：y−0=k(x+4)，
即kx−y+4k=0，
则圆心(−1, 2)到直线l的距离为：
d=|−k−2+4k|k2+1=|3k−2|k2+1=3，
解得，k=−512，
∴ 直线l的方程为y−0=−512(x+4)，
即5x+12y+20=0．
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
空间两点间的距离公式
空间中的点的坐标
【解析】
根据点C与点B关于x轴对称,利用点的对称性可得C2t+1,−t+1,t,再由空间中两点间的距离公式可得AC=5t2−2t+2,利用二次函数的性质求解最小值.
【解答】
解：在空间直角坐标系中，B2t+1,t−1,−t,
因为点C与点B关于x轴对称,
所以C2t+1,−t+1,t,
又At,1−t,1−t,
则AC=t−2t−12+1−t+t−12+1−t−t2
=5t2−2t+2.
则当t=15时AC取得最小值,最小值为355.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
轨迹方程
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
判断轨迹是椭圆，求解a，b即可得到椭圆方程
【解答】
解：依题意有|AP|=|PF2|，
∴ |AF1|=|PF1|+|PF2|=23>|F1F2|=2，
∴ 点P的轨迹是以F1−1,0，F21,0为焦点的椭圆．
∵ 2a=23 ，2c=2，
∴ a=3，b=2，
故所求点M的轨迹方程是：x23+y22=1.
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应圆上整个圆周的弧长，根据题意求出符合条件的弧长对应的圆心角是θ=π3，根据几何概型概率公式得到结果．
【解答】
解：由题意得，圆C的圆心为0,0，半径为12=23，
如图所示，过圆心作一条垂直于直线l的直线.
∵ 圆心到直线的距离是|−25|42+32=5，
∴ 在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为5−2=3的点作半径的垂线，
设满足条件的圆弧对应的角度为θ，
则csθ2=323=32，
所以θ=π3，
根据几何概型的概率公式得到P=π32π=16.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
抛物线的性质
【解析】
求出双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程与抛物线y2=2pxp>0的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由b2=3a2，△AOB的面积为3，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】
解：已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)，
则双曲线的渐近线方程是y=±bax.
∵ 抛物线y2=2pxp>0的准线方程是x=−p2，
故A，B两点的纵坐标分别是pb2a，−pb2a.
由b2=3a2，得ba=3，
∴ A，B两点的纵坐标分别是3p2，−3p2.
又△AOB的面积为3，
∴ 12×3p×p2=3，
解得p=2.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
根据题意，由点A在直线2ax−by+14=0上，分析可得−2a−2b+14=0，即a+b=7，又由点A−1,2始终落在圆x−a+12+y+b−22=25的内部或圆上，则有a2+b2≤25；设k=ba，即b=ak，据此可得a+ak=7a2+a2k2≤25 ，联立分析可得1+k21+2k+k2≤2549，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，点A−1,2在直线2ax−by+14=0a>0,b>0 上，
则有−2a−2b+14=0 ，即a＋b=7.
又点A−1,2始终落在圆x−a+12+y+b−22=25的内部或圆上，
则有a2+b2≤25.
设k=ba ，即b=ak，
则有a+ak=7，a2+a2k2≤25，
变形可得：1+k21+2k+k2≤2549，
解得：34≤k≤43，
即ba的取值范围是34,43.
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设OE的中点为G，|FM|=m，
∵MF//OE，
∴|MF||OE|=|AF||AO|，即m|OE|=a−ca，
∴|OE|=maa−c，
∴|OG|=12|OE|=ma2a−c．
又OG//MF，
∴|OG||MF|=|OB||BF|，即ma2a−cm=aa+c，
∴a=3c，则e=ca=13．
故选A．
二、填空题
【答案】
24
【考点】
分层抽样方法
【解析】
由条形图计算出喜欢篮球运动的女生人数和喜欢篮球运动的男生人数，即可求解.
【解答】
解：由题中图知，喜欢篮球运动的女生有：
500×0.2=100(名)，
喜欢篮球运动的男生有：
500×0.6=300(名)，
所以抽取的男生人数为：32×34=24．
故答案为：24．
【答案】
−1
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
【解析】
把双曲线8kx2−ky2=8的方程化为标准方程y2−8k−x2−1k=1，可得9=8−k+1−k，解方程求得实数k的值．
【解答】
解：由题意得，双曲线的焦点在y轴上，
把双曲线8kx2−ky2=8转化为y2−8k−x2−1k=1，k1，即3a2>b2.
又b2=c2−a2，
则c26.635
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
【答案】
解：(1)由题意得，b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=55784≈6.63，
∴ a=33−6.6×26=−138.6，
∴ y关于x的线性回归方程为：y=6.6x−138.6．
(2)(i)线性回归方程y=6.6x−138.6对应的相关系数为：
R2=1−i=1n (yi−yi)2i=1n (yi−y¯i)2
=1−236.643930≈1−0.0602=0.9398，
因为0.93980)的焦点在x轴上，且其坐标为a4,0，
∴ 0=2×a4−16，
解得a=32，
∴ 抛物线的方程为G：y2=32x．
(2)由(1)知：抛物线G的方程是y2=32x，F8,0 ．
又点A在抛物线G上，且yA=8，
∴ A2,8.
延长AF交BC于点D，则由点F是△ABC的重心得：
点D为线段BC的中点．
设点Dx,y，则由AF→=2FD→得：6,−8=2x−8,y，
解得：x=11，y=−4，
∴ D11,−4．
设Bx1,y1，Cx2,y2，
则由点B，C在抛物线y2=32x上得：y12=32x1，y22=32x2，
两式相减得：y1−y2x1−x2y1+y2=32，
又由点D为线段BC的中点得：y1+y2=−8，
∴ kBC=−4，
∴ 直线BC的方程为y−(−4)=−4(x−11)，
即4x+y−40=0．
【答案】
解：(1)由抛物线的方程y2=4x，得其焦点为1,0，
所以c=1.
当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，
此时S=12×2c×b=1，
所以b=1，
所以椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x22+y2=1，y=kx+m，
得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0，
则Δ=16k2m2−42k2+12m2−2
=82k2−m2+1>0 ，
得1+2k2>m2∗.
则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2.
又k1+k2=kx1+mx1−1+kx2+mx2−1=0，
整理得2kx1x2+m−kx1+x2−2m=0，
即2k⋅2m2−21+2k2+m−k⋅−4km1+2k2−2m=0，
化简得m=−2k，
所以直线l的方程为y=kx−2，
所以直线l恒过定点，该定点坐标为2,0．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由抛物线的方程y2=4x，得其焦点为1,0，
所以c=1.
当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，
此时S=12×2c×b=1，
所以b=1，
所以椭圆的方程为x22+y2=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x22+y2=1，y=kx+m，
得1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0，
则Δ=16k2m2−42k2+12m2−2
=82k2−m2+1>0 ，
得1+2k2>m2∗.
则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2.
又k1+k2=kx1+mx1−1+kx2+mx2−1=0，
整理得2kx1x2+m−kx1+x2−2m=0，
即2k⋅2m2−21+2k2+m−k⋅−4km1+2k2−2m=0，
化简得m=−2k，
所以直线l的方程为y=kx−2，
所以直线l恒过定点，该定点坐标为2,0．温度x（单位：​∘C）
21
23
24
27
29
32
死亡数y（单位：株）
6
11
20
27
57
77
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100