2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,−2B.−∞,−6∪3,+∞
C.−6,−2∪3,+∞D.3,+∞

2. 过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1F2P=30∘，则椭圆C的离心率为( )
A.13B.12C.33D.22

3. 若抛物线y2=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到x轴的距离为( )
A.4B.26C.46D.56

4. 若直线3x−y−2=0截焦点是0,±52的椭圆所得弦的中点横坐标是12，则该椭圆的方程是( )
A.2x225+2y275=1B.x225+y275=1
C.2x275+2y225=1D.x275+y225=1

5. 已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x−y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为( )
A.522−2B.522−1C.522+1D.522+2

6. 直线y=2b与双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左支、右支分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.52B.32C.302D.352

7. 如图，直线y=m与抛物线y2=4x交于点A，与圆(x−1)2+y2=4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )

A.[2, 4]B.(2, 4)C.[4, 6]D.(4, 6)

8. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，A，B为抛物线上两点，若AF→=3FB→，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A.33B.233C.433D.833

9. 过双曲线x29−y216=1的右支上的一点P分别向圆C1:x+52+y2=4和圆C2：x−52+y2=r2r>0作切线，切点分别为M，N，若|PM|2−|PN|2的最小值为58，则r=( )
A.2B.3C.2D.3

10. 已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，OA→⋅OF2→=|OF2→|2，若椭圆C的离心率e=22，则直线OA的方程是( )
A.y=12xB.y=22xC.y=32xD.y=x

11. 定长为3的线段AB的两端点在抛物线C: x2=y上移动．设M为线段AB的中点，则M到x轴的最短距离为( )
A.34B.45C.54D.32

12. 过椭圆x24+y2=1的左焦点作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为（ ）
A.1825B.1925C.45D.2125
二、填空题

椭圆x2+my2=1的长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．

已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A−3,−2和B−23,1两点，则椭圆C的标准方程为________.

双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A，B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A // F2B，则双曲线C的离心率为________.


过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左焦点F(−c, 0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若OE→=12(OF→+OP→)，则双曲线C的离心率e=________.
三、解答题

已知双曲线中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4, −10)．点M(3, m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；

(2)求证：MF1→⋅MF2→=0；

(3)求△F1MF2面积．

过椭圆x22+y2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．

如图，已知点F为抛物线E:y2=2pxp>0的焦点，点A2,m在抛物线E上，且|AF|=3．

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G−1,0，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

已知点A，B分别是椭圆x236+y220=1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点Q到点M的距离d的最小值．

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0)，右顶点为(3, 0).
(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→⋅OB→>2，其中O为原点，求k的取值范围．

己知圆O:x2+y2=6，P为圆O上动点，过P作PM⊥x轴于点M，点N为PM上一点，且满足PM→=2NM→．
1求点N的轨迹C的方程；

2若A(2, 1)，B(3, 0)，过B的直线与曲线C相交于D，E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ a2>a+6>0，
∴ a>3或−60，把y=3x−2代入，
得： a2+9b2x2−12b2x+4b2−a2b2=0 ，x1+x2=12b2a2+9b2=1，
∴ a2=3b2.①
又由焦点为0,±52知， a2−b2=50，②
由①②得a2=75，b2=25，
故椭圆方程为y275+x225=1.
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x−y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
【解答】
解：由抛物线方程为y2=4x可得其准线方程为x=−1.
如图，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x−y+4=0的垂线，
此时d1+d2=|PF|+d2−1最小，
因为F(1, 0)，则|PF|+d2=|1−0+4|12+12=522，
则d1+d2的最小值为522−1.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：把y=2b代入双曲线方程x2a2−y2b2=1，
得：x=±5a，则|AB|=25a，
由于△AOB为等腰直角三角形，所以直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，
则2b=5a，4b2=5a2，4(c2−a2)=5a2，4c2=9a2，
所以e2=94，e=32.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】
由抛物线定义可得|AF|=xA+1，由已知条件推导出△FAB的周长=3+xB，由此能求出三角形ABF的周长的取值范围．
【解答】
解：抛物线的准线l:x=−1，焦点F(1, 0)，
由抛物线定义可得|AF|=xA+1，
∴ △ABF的周长=|AF|+|AB|+|BF|
=xA+1+(xB−xA)+2=3+xB，
由抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4，
得交点的横坐标为1，
∴ xB∈(1, 3)，
∴ 3+xB∈(4, 6)，
∴ △ABF的周长的取值范围是(4, 6).
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60∘，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．
【解答】
解：如图所示，
根据抛物线的定义，不难求出，
|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，
不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60∘，
直线AB的方程为y=3(x−1)，
联立直线AB与抛物线的方程可得：y=3(x−1)，y2=4x，
解之得：A(3,23)，B(13,−233)，
所以|AB|=(3−13)2+(23+233)2=163.
而原点到直线AB的距离为d=|3|2，
所以S△AOB=12×|AB|×d=433；
当直线AB的斜率为负时，同理可求面积为433．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
双曲线的定义
【解析】

【解答】
解：设F1，F2是双曲线的左、右焦点，也是C1，C2的圆心，
∴ |PM|2−|PN|2=|PF1|2−4−|PF2|2−r2
=|PF1|−|PF2||PF1|+|PF2|+r2−4
=6|PF1|+|PF2|+r2−4
显然其最小值为62×5+r2−4=58，
解得r=2.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设F2(c, 0)，令x=c，代入椭圆方程求得y=±b2a，运用向量的数量积的定义可得AF2⊥F1F2，可得A(c, b2a)，运用离心率公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程．
【解答】
解：设F2(c, 0)，
令x=c，代入椭圆方程可得y=±b1−c2a2=±b2a.
由OA→⋅OF2→=|OF2→|2，
得|OA→|⋅|OF2→|⋅cs∠AOF2=|OF2→|2，
则|OA→|⋅cs∠AOF2=|OF2→|，
即有AF2⊥F1F2，可得A(c, b2a).
又e=ca=22，
可得kOA=b2ac=a2−c2ac=1−e2e=1−1222=22，
则直线OA的方程为y=22x.
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设直线AB的方程为y=kx+b，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+b，x2=y得： x2−kx−b=0，
则x1+x2=k，x1⋅x2=−b，
因为|AB|=1+k2⋅x1+x22−4x1⋅x2
=1+k2⋅k2+4b=3，
可得b=941+k2−k24，
则y1+y22=x12+x222=x1+x222−x1⋅x2
=k22+b=k22+941+k2−k24
=941+k2+k24=941+k2+k2+14−14
≥2941+k2⋅k2+14−14
=32−14=54，当且仅当94(1+k2)=k2+14即k=±2时取等号，
故M到x轴的最短距离为54.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆x24+y2=1的可得，
a2=4，b2=1，c=a2−b2=3．
①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，
此时四边形ABCD面积S=12×2a×2b2a=2b2=2．
②当直线AC和BD的斜率都存在时，
不妨设直线AC的方程为y=k(x+3)，
则直线BD的方程为y=−1k(x+3)．
联立y=k(x+3),x2+4y2=4,
化为(1+4k2)x2+83k2x+12k2−4=0，
∴ x1+x2=−83k21+4k2，x1x2=12k2−41+4k2．
∴ |AC|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(83k21+4k2)2−4(12k2−4)1+4k2]=4(1+k2)1+4k2．
把k换成−1k可得|BD|=4(1+k2)4+k2．
∴ 四边形ABCD面积S=12|AC||BD|
=12×4(1+k2)1+4k2×4(1+k2)4+k2
=8(1+k2)2(1+4k2)(4+k2)=8−9(1k2+1−12)2+254．
当且仅当1k2+1=12，即k2=1时，S取得最小值8254=3225．
综上可知：四边形ABCD面积S的最小值是3225，最大值是2．
∴ 四边形ABCD面积的最大值与最小值之差=2−3225=1825．
故选A．
二、填空题
【答案】
14或4
【考点】
椭圆的定义
【解析】
将椭圆的方程变形为标准形式，利用长轴长是短轴长的两倍建立关于m的方程即可求出m的值．
【解答】
解：当椭圆的焦点在y轴上时，
方程x2+my2=1变为x2+y21m=1，
∵ 焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，
∴ 1m=2，解得m=14；
当椭圆的焦点在x轴上时，
由题意得：1=2mm，
解得m=4.
故答案为：14或4.
【答案】
x215+y25=1
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】

【解答】
解：设所求椭圆方程为：
mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
将A和B的坐标代入方程得：3m+4n=1，12m+n=1，
解得m=115，n=15，
故所求椭圆的标准方程为： x215+y25=1.
故答案为：x215+y25=1.
【答案】
3+174
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|＝2a+2c，|BF2|＝2c−2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cs∠AF1F2，s∠BF2F1，由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2＝π，即有cs∠BF2F1+cs∠AF1F2＝0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】
解：连接BF1，AF2，
由双曲线的定义，可得|AF2|−|AF1|=2a，|BF1|−|BF2|=2a，
由|BF1|=|AF1|=2c，
可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c−2a，
在△AF1F2中，
可得cs∠AF1F2=4c2+4c2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c=c2−2ac−a22c2，
在△BF1F2中，
可得cs∠BF2F1=4c2+(2c−2a)2−4c22⋅2c⋅(2c−2a)=c−a2c，
由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，
即有cs∠BF2F1+cs∠AF1F2=0，
可得c2−2ac−a22c2+c−a2c=0，
化为2c2−3ac−a2=0，
得2e2−3e−1=0，解得e=3+174（负的舍去）.
故答案为：3+174.
【答案】
5+12
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题
双曲线的离心率
【解析】
由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2−ac−a2=0，再由离心率公式，计算即可得到．
【解答】
解：∵ |OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，
∴ |EF|=c2−a2=b.
∵ OE→=12(OF→+OP→)，
∴ E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b.
设F′(c, 0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为三角形PFF′的中位线，
则|PF′|=2|OE|=2a，可令P的坐标为(m, n)，
则有n2=4cm.
由抛物线的定义可得|PF′|=m+c=2a.
∵ m=2a−c，
∴ n2=4c(2a−c).
又|OP|=c，即有c2=(2a−c)2+4c(2a−c)，
化简可得，c2−ac−a2=0.
由于e=ca，则有e2−e−1=0，
由于e>1，
解得：e=5+12．
故答案为：5+12.
三、解答题
【答案】
(1)解：∵ e=2，
∴ 可设双曲线方程为x2−y2=λ．
∵ 过点(4, −10)，
∴ 16−10=λ，即λ=6，
∴ 双曲线方程为x2−y2=6．
(2)证明：∵ MF1→=(−3−23, −m)，MF2→=(23−3, −m)，
∴ MF1→⋅MF2→=(3+23)×(3−23)+m2=−3+m2，
∵ M点在双曲线上，
∴ 9−m2=6，即m2−3=0，
∴ MF1→⋅MF2→=0．
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|=43，由(2)知m=±3，
∴ △F1MF2的高ℎ=|m|=3，
∴ S△F1MF2=6.
【考点】
双曲线的标准方程
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）双曲线方程为x2−y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出MF1→⋅MF2→的解析式，把点M(3, m)代入双曲线，可得出MF1→⋅MF2→=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
【解答】
(1)解：∵ e=2，
∴ 可设双曲线方程为x2−y2=λ．
∵ 过点(4, −10)，
∴ 16−10=λ，即λ=6，
∴ 双曲线方程为x2−y2=6．
(2)证明：∵ MF1→=(−3−23, −m)，MF2→=(23−3, −m)，
∴ MF1→⋅MF2→=(3+23)×(3−23)+m2=−3+m2，
∵ M点在双曲线上，
∴ 9−m2=6，即m2−3=0，
∴ MF1→⋅MF2→=0．
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|=43，由(2)知m=±3，
∴ △F1MF2的高ℎ=|m|=3，
∴ S△F1MF2=6.
【答案】
解：∵ 椭圆x22+y2=1，
∴ 椭圆的一个焦点为F(1, 0)，
(1)设直线l的斜率为k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，y=k(x−1)，
将y=k(x−1)代入椭圆方程得，
(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
x1+x2=4k21+2k2，x1⋅x2=2k2−22k2+1
∴ |AB|=22(k2+1)1+2k2，
O到直线l的距离为ℎ=|k|1+k2，
△AOB面积为：12×22(k2+1)1+2k2×|k|1+k2
=24+1k4+k20，
解方程组求得点P的坐标．
（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．
【解答】
解：(1)由已知可得点A(−6, 0)，F(4, 0).
设点P(x, y)，则AP→=(x+6, y)，FP→=(x−4, y)．
由已知可得x236+y220=1,(x+6)(x−4)+y2=0,
即2x2+9x−18=0，
解得x=32或x=−6．
由于y>0，只能x=32，于是y=532．
∴ 点P的坐标是(32, 532)．
(2)直线AP的方程是 y−0532−0=x+632+6，
即x−3y+6=0．
设点M(m, 0)，则M到直线AP的距离是|m+6|2，
于是|m+6|2=|6−m|.
又−6≤m≤6，解得m=2，故点M(2, 0)．
设椭圆上的点Q(x1, y1)到点M的距离为d，
有d2=(x1−2)2+y12=x12−4x1+4+20−59x12
=49(x1−92)2+15.
∵ −6≤x1≤6，
∴ 当x=92时，d取得最小值为15．
【答案】
解：(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，
由已知得a=3，c=2，
再由a2+b2=22，得b2=1.
故双曲线C的方程为x23−y2=1.
(2)将y=kx+2代入x23−y2=1，得(1−3k2)x2−62kx−9=0.
由直线l与双曲线交于不同的两点，
得1−3k2≠0，Δ=(62k)2+36(1−3k2)=36(1−k2)>0，
即k2≠13且k22得xAxB+yAyB>2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+2)(kxB+2)
=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2
=(k2+1)⋅−91−3k2+2k⋅62k1−3k2+2=3k2+73k2−1，
于是3k2+73k2−1>2，即−3k2+93k2−1>0，
解此不等式得130，
即k2≠13且k22得xAxB+yAyB>2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+2)(kxB+2)
=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2
=(k2+1)⋅−91−3k2+2k⋅62k1−3k2+2=3k2+73k2−1，
于是3k2+73k2−1>2，即−3k2+93k2−1>0，
解此不等式得13