2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 椭圆x225+y29=1的焦点坐标是( )
A.(−5, 0)，(5, 0)B.(0, −5)，(0, 5)C.(−4, 0)，(4, 0)D.(0, −4)，(0, 4)

2. 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A.2B.3C.6D.9

3. 设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过抛物线y2=4x的焦点和点0,b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.x24−y24=1 B.x2−y24=1C.x24−y2=1D.x2−y2=1

4. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP

5. 设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为( )
A.72B.3C.52D.2

6. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|=|PA|，则椭圆的离心率为( )
A.33B.13C.22D.12

7. 设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A.1B.2C.4D.8

8. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，过左焦点F−2,0倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于( )
A.3B.23C.33D.43
二、多选题

已知曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|，则曲线C( )
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于原点对称D.所围成图形的面积为8+4π

已知曲线C:mx2+ny2=1( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn0，则C是两条直线

1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是( )

A.卫星向径的取值范围是a−c,a+c
B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|=|BF2|=2|AF2|，则( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=333
C.双曲线的渐近线方程为y=±263x
D.原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上
三、填空题

设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为________.

已知双曲线C:x26−y23=1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________.

斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=_________.

如图，过原点O的直线AB交椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP、AQ交椭圆C于点P、Q，连接BQ交AP于一点M，若AM→=45AP→，则椭圆C的离心率是________．

四、解答题

求符合下列要求的曲线的标准方程：
(1)已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为12；

(2)已知双曲线经过点A(−7,−62)，B(27,3)．

已知双曲线C的离心率为3，且过(3, 0)点，过双曲线C的右焦点F2，作倾斜角为π3的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的标准方程；

(2)求△AOB的面积．

已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线与抛物线交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点．
(1)证明：y1y2为定值；

(2)若|AF|=10，O为坐标原点，求△AOF的面积与△BOF的面积的比值．

设点M和N分别是椭圆C：x2a2+y2=1a>0上不同的两点，线段MN最长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线MN过点Q0,2，且OM→⋅ON→>0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．

已知点A0,1，B1,2，C是抛物线x2=4y上的动点．
(1)求△ABC周长的最小值；

(2)若C位于直线AB右下方，求△ABC面积的最大值．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由椭圆的方程可得a，b的值，及焦点在x轴上，再由a，b，c的关系求出c的值，进而求出椭圆的焦点坐标．
【解答】
解：由椭圆的标准方程可得：a2=25，b2=9，且焦点在x轴上，
则c2=a2−b2=16，
解得：c=4.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
直接利用抛物线的定义解题即可．
【解答】
解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9可得x=9，
由点A到C的焦点的距离为12，可得x+p2=12，解得p=6.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
抛物线的性质
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．
【解答】
解：由题可知，抛物线的焦点为1,0，
所以直线l的方程为x+yb=1，
即直线的斜率为−b.
又双曲线的渐近线的方程为y=±bax，
所以−b=−ba，−b×ba=−1.
因为a>0，b>0，
解得a=1，b=1.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
抛物线的定义
【解析】
由抛物线定义得出PQ与PF的关系，从而得出点P与线段FQ垂直平分线的关系．
【解答】
解：由抛物线的定义可知PQ=PF，
所以点P在FQ的垂直平分线上.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
双曲线的应用
双曲线的定义
【解析】
根据已知条件结合双曲线的焦点先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可得解．
【解答】
解：由题知，
a=1，b=3，c=2，
F1(−2,0)，F2(2,0).
∵|OP|=2，
故点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.
由双曲线的定义知|PF1|−|PF2|=2a=2，
∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=4，
∴|PF1||PF2|=6，
∴△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=3.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
余弦定理
【解析】
画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可．
【解答】
解：由题意知，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，
A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，如图所示，
则|AF1|=|AF2|=a，|PF1|+|PF2|=2a.
若|PF1|=|PA|，
则|PF2|=12a，|PF1|=32a，
所以cs∠APF1=32a2+32a2−a22×32a×32a=12a2+32a2−4c22×12a×32a，
整理得，a2=3c2，
所以椭圆的离心率为ca=33．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
双曲线的应用
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解答】
解：设PF1=m，PF2=n，且m>n.
由题意得S△PF1F2=12mn=4，
∴ mn=8.
∵ m−n=2a，m2+n2=4c2，e=ca=5，
解得：a=1．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，作出图象如图所示，
由题意得，c=2.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
在平行四边形OFAB中，y1=y2.
又x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
∴ x2=−x1.
∵ FA//OB，且直线FA的倾斜角为π3，
∴ y1x1+2=y2x2=3．
∵ y1=y2，x2=−x1，
∴ x1=−1，x2=1 ，y1=y2=3，
则A(−1,3).
将A的坐标代入椭圆方程，
可得1a2+3b2=1.①
又a2−b2=4，②
联立①②，解得：a2=4+23，b2=23．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,B,C,D
【考点】
函数的对称性
曲线与方程
圆的综合应用
【解析】
根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知曲线C:x2+y2=2|x|+2|y| ，
将x换成−x，y换成−y，其方程不变，故该曲线关于原点对称；
将y换成−y，其方程不变，故该曲线关于x轴对称；
将x换成−x，其方程不变，故该曲线关于y轴对称；
将绝对值打开，
可得(x−1)2+(y−1)2=2 ，
(x+1)2+(y−1)2=2 ，
(x−1)2+(y+1)2=2 ，
(x+1)2+(y+1)2=2 ，
可得图象如下，
其圆心分别为(1,1)，(−1,1)，(1,−1)，(−1,−1) ，半径为2，
其围成的图形的面积为
S=S正方形+4S扇形
=22×22+4×12×π×(2)2
=8+4π.
故选ABCD.
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.
【解答】
解：A，若m>n>0 ，则1m0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；
C，根据求双曲线渐近线的方法，可以得双曲线的渐近线方程mx2+ny2=0，
又因为mn0时，则方程为y=±1n表示两条直线，故D正确.
故选ACD．
【答案】
A,B,D
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当卫星在近地点时向径取得最小值，为a−c，在远地点时取得最大值，为a+c，故A正确；
如图所示：
卫星在左半椭圆弧运行时扫过的面积为左半椭圆弧的面积和△ABF的面积，所以大于其在右半椭圆弧扫过的面积，因为在相同的时间内扫过的面积相等，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
卫星向径的最小值与最大值的比值为a−ca+c，
当a=2c时，则比值为13，此时b=3c；
当a=3c时，则比值为12，此时b=22c，
易知比值越大，b越大，即椭圆愈趋向于圆，故C错误；
卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确.
故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，作出图象如图所示，
设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m，
则|AB|=|AF2|+|BF2|=3m.
由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2m−m=2a，
即m=2a.
又|BF1|−|BF2|=2a，
即|BF1|−2m=2a，
∴ |BF1|=3m=|AB|，
∴ ∠AF1B=∠F1AB，即选项A正确；
在△ABF1中，由余弦定理知，
cs∠AF1B=|AF1|2+|BF1|2−|AB|22⋅|AF1|⋅|BF1|=4m2+9m2−9m22⋅2m⋅3m=13.
在△AF1F2中，由余弦定理知，
cs∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22⋅|AF1|⋅|AF2|=4m2+m2−4c22⋅2m⋅m=cs∠AF1B=13，
化简整理得，12c2=11m2=44a2，
∴ 离心率e=ca=4412=333，即选项B正确；
双曲线的渐近线方程为y=±bax=±c2−a2a2x=±e2−1x=±263x ，即选项C正确；
若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，
则c=m=2a，与 ca=333不符，即选项D错误．
故选ABC．
三、填空题
【答案】
3
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．
【解答】
解：由题意得ba=2，从而e=ca=1+ba2=3.
故答案为：3.
【答案】
(3, 0),3
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
根据双曲线的方程可得焦点，再根据点到直线的距离可得答案.
【解答】
解：由题意知a2=6，b2=3，
所以c=a2+b2=3，
即C的右焦点坐标为(3, 0)；
双曲线C的一条渐近线为：bx−ay=0，
所以焦点到渐近线的距离=bcb2+a2=b=3.
故答案为：(3, 0)；3.
【答案】
163
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
先根据题目给定信息求出直线方程，联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和抛物线的性质转化求出弦长|AB|.
【解答】
解：由题意可得抛物线焦点F1,0，直线l的方程为y=3x−1，
将方程代入y2=4x并化简得3x2−10x+3=0.
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=103，
所以由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163.
故答案为：163.
【答案】
255
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
左侧图片未提供解析．
【解答】
解：设A(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则B(−x1,−y1)，P(x1,−y1)，Mx1,−35y1，
由AB⊥AQ，则y1x1⋅y2−y1x2−x1=−1，
再由B，M，Q三点共线，
则kBM=kBQ，即y15x1=y2+y1x2+x1，
故y2+y1x2+x1=−15⋅x2−x1y2−y1，
即y22−y12=−15(x22−x12)，
又因为x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
即x12−x22a2+y12−y22b2=0，
所以b2a2=15，
故椭圆C的离心率为e=1−b2a2=255．
故答案为：255．
四、解答题
【答案】
解：(1)由已知条件可设所求的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（其中a>b>0），
则2a=12，
∴ a=6.
离心率为e=ca=12，
∴ c=3，
∴ b2=a2−c2=62−32=27，
故所求的椭圆的标准方程为x236+y227=1.
(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1，
由题意可得方程组49m+72n=1，28m+9n=1，
解之得m=125，n=−175，
故所求的双曲线标准方程为x225−y275=1．
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
【解析】
（1）由题意设椭圆的标准方程，由长轴长可得a的值，再由离心率求出c的值，进而求出b的值，写出椭圆的方程；
（2）设过两点的双曲线的方程，将两点的坐标代入求出双曲线的方程．
【解答】
解：(1)由已知条件可设所求的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（其中a>b>0），
则2a=12，
∴ a=6.
离心率为e=ca=12，
∴ c=3，
∴ b2=a2−c2=62−32=27，
故所求的椭圆的标准方程为x236+y227=1.
(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1，
由题意可得方程组49m+72n=1，28m+9n=1，
解之得m=125，n=−175，
故所求的双曲线标准方程为x225−y275=1．
【答案】
解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，
且a=3，ca=3，b2=c2−a2，
解得：a2=3，b2=6，
所以双曲线的方程：x23−y26=1.
(2)由(1)可得F2(3, 0)，F1(−3, 0)，
由题意设y=3(x−3)，设交点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与双曲线的方程：y=3(x−3)，2x2−y2=6，
整理可得：x2−18x+33=0，
x1+x2=18，x1x2=33，
所以S△AOB=12|OF2|⋅|y1−y2|
=12×3×3(x1+x2)2−4x1x2
=332⋅182−4×33=36，
即△AOB的面积为36．
【考点】
直线与双曲线结合的最值问题
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
（1）有题意离心率和过的点的坐标，可得双曲线的焦点在x轴上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；
（2）由（1）可得左右焦点的坐标，有题意可得直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之积，两根之和进而求出面积．
【解答】
解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，
且a=3，ca=3，b2=c2−a2，
解得：a2=3，b2=6，
所以双曲线的方程：x23−y26=1.
(2)由(1)可得F2(3, 0)，F1(−3, 0)，
由题意设y=3(x−3)，设交点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立直线与双曲线的方程：y=3(x−3)，2x2−y2=6，
整理可得：x2−18x+33=0，
x1+x2=18，x1x2=33，
所以S△AOB=12|OF2|⋅|y1−y2|
=12×3×3(x1+x2)2−4x1x2
=332⋅182−4×33=36，
即△AOB的面积为36．
【答案】
(1)证明：由题意可得抛物线的焦点F(2, 0)，且直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为：x=my+2，
联立直线与抛物线的方程：x=my+2，y2=8x，
整理可得：y2−8my−16=0，
所以y1y2=−16．
(2)解：设A点在x轴上方，由题意知|AF|=10，
准线方程x=−2，
则可得x1+2=10，
所以x1=8，
代入抛物线方程可得y1=8，
由(1)得 y2=−2，
所以S△AOFS△BOF=12|OF|⋅|y1|12|OF|⋅|y2|=82=4，
所以△AOF的面积与△BOF的面积的比值为4．
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
（1）由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之积，可得纵坐标之积为定值；
（2）由AF的长，根据抛物线的性质可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，再由（1）可得B的纵坐标，进而求出面积的比值．
【解答】
(1)证明：由题意可得抛物线的焦点F(2, 0)，且直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为：x=my+2，
联立直线与抛物线的方程：x=my+2，y2=8x，
整理可得：y2−8my−16=0，
所以y1y2=−16．
(2)解：设A点在x轴上方，由题意知|AF|=10，
准线方程x=−2，
则可得x1+2=10，
所以x1=8，
代入抛物线方程可得y1=8，
由(1)得 y2=−2，
所以S△AOFS△BOF=12|OF|⋅|y1|12|OF|⋅|y2|=82=4，
所以△AOF的面积与△BOF的面积的比值为4．
【答案】
解：(1)因为线段MN最长为4，所以a=2，
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1 .
(2)由题意知，直线MN的斜率存在且不为0．
设直线MN的方程为y=kx+2，并将其代人x24+y2=1，
整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0．
由Δ=16k2−4×1+4k2×12=164k2−3>0，
可得k2>34．
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2．
y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+4=4−4k21+4k2，
因为OM→⋅ON→>0，所以x1x2+y1y2=121+4k2+4−4k21+4k2=44−k21+4k2>0 .
即k20，所以x1x2+y1y2=121+4k2+4−4k21+4k2=44−k21+4k2>0 .
即k2