2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数z满足iz=2+4i（其中i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 下列命题中假命题是（ ）
A.∃x0∈R，lg2 x0=0B.∀x∈R，x2>0
C.∃x0∈R，cs x0=1D.∀x∈R，2x>0

3. 设函数f(x)=sinx+acsx（a为常数），则“a=0“是“f(x)为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条

4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为12，面积为23π，则椭圆C的方程为( )
A.x24+y23=1B.x29+y216=1C.x23+y24=1D.x216+y29=1

5. 已知x=1是函数fx=ax3−3x2的极小值点，则函数fx的极小值为( )
A.0B.−1C.2D.4

6. 若直线l的方向向量a→=1,0,1，平面β的法向量n→=1,0,−1，则( )
A.l⊂βB.l⊥βC.l//βD.l⊂β或l//β

7. 函数fx=ax2−2lnx−1有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A.−∞,eB.0,eC.0,1D.−∞,1

8. 如图，已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点，过点F1的直线与圆O:x2+y2=14a2+b2交于A，B两点（A在F1，B之间），与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点．若|F1A|=|BP| ，∠AOB=120∘，则双曲线的离心率为（ ）
A.2147B.2157C.214+27D.215+27
二、多选题

下列说法正确的是（ ）
A.命题“∃x0∈R， x0+1x0≥2”的否定是“∀∈R，x+1x>2”
B.x>3是x2>4的充分不必要条件
C.若tanπ+α=2，则sin2α=±45
D.定义在a,5上的偶函数fx=x2+a+5x+5的最大值为30

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为52，且双曲线C的左焦点F在直线2x+3y+25=0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的方程为x24−y2=1B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.F点到双曲线C的渐近线距离为2D.k1⋅k2为定值14

如图，已知在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为AD1上的动点．则下列结论正确的有（ ）

A.当P运动到AD1中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为55
B.当P在直线AD1上运动时，三棱锥A1−BPC1的体积不变
C.当P在直线AD1上运动到某一点时，直线B1C与平面BPC1所成角为π3
D.当P在直线AD1上运动时，△A1PB1的面积存在最小值2

已知函数fx是奇函数，当x>0时， f′x−fx>1， f1=3，则（ ）
A.f4>ef3B.f−4>e2f−2C.f4>4e3−1D.f−40，则实数a的取值范围是________.


已知： fx=x−alnx−1，若fx有最值，则a的取值范围为________若当x∈(e,e2)时，fx≥0，则a的取值范围为________.
四、解答题

设p:2≤x0的焦点为F， M1,2是抛物线C上的点．
(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点2,0的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，且|AF|⋅|BF|=13，求直线l的方程．

某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a元，预计当每件产品的售价为x元3≤x≤8时，年销量为9−x2万件．若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元.
(1)试求每件产品的成本a的值；

(2)当每件产品的售价定为多少元时？年利润y（万元）最大，并求最大值．

如图①，在等腰梯形ABCD中，BC//AD， AB=3，BC=1，AD=3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A−BCDP，其中M为AD的中点.

(1)试在线段CD上找一点N，使得MN//平面ABC，并说明理由；

(2)求二面角M−PC−D的余弦值．

已知离心率为32的椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1,F2．过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若过点Pm,0m>1作圆O:x2+y2=1的切线l，交椭圆E于M，N两点，求△MNO面积的最大值．

已知函数fx=ex−ax−1a∈R，gx=xlnx.
(1)求函数fx的单调区间；

(2)若直线y=x−1是函数y=fx图象的切线，求证：当x>0时， fx≥gx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省南平市高二（上）期末质量检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由iz=2+4i，得：
z=2+4ii=(2+4i)⋅(−i)−i2=−2i+4，
∴ 复数z对应的点的坐标为(4,−2)，即在第四象限.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为lg2 1=0，cs 0=1，2x>0，
所以选项A、C、D均为真命题，
02=0，选项B为假命题.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充要条件的定义分充分性和必要性分别判断即可．
【解答】
解：若a=0，则f(x)=sinx，为奇函数，充分性成立；
若f(x)为奇函数，则f(0)=0，所以0+a=0，a=0，必要性成立；
故“a=0“是“f(x)为奇函数”的充要条件．
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由题意可知a与c的关系，再由椭圆的性质，可得a与b的关系，进而确定椭圆的方程．
【解答】
解：由椭圆C的离心率为12,可得：a=2c，
∵ a2=b2+c2，可得：b2=34a2，
再由abπ=23π，解得：ab=23，
∴ a=2，b=3，
∵ 椭圆的焦点在x轴上，
∴ 椭圆方程为：x24+y23=1.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
对fx求导，根据x=1是fx的极小值点，得到f′1=0，再求出a的值，进一步得到fx的极小值．
【解答】
解：由fx=ax3−3x2，得f′x=3ax2−6x，
∵ x=1是fx的极小值点，
∴ f′1=0，
∴ 3a−6=0，
∴ a=2，经检验a=2时，符合题意，
∴ a=2，
∴ fx=2x3−3x2，
∴ fx极小值=f1=−1.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知a→⋅n→=1−1=0，
则a→与n→垂直，可知l⊂β或l//β.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
求出函数的导数，根据函数f(x)有2个零点，则fx不单调，求出a>0，解关于导函数的不等式，求出函数fx的单调区间，求出f(x）的最小值，根据fxmin0，
令f′x>0，解得：x>1a，
令f′x