2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知在等差数列{an}中，a1=2，公差d=1，则a3=（ ）
A.3B.4C.5D.6

2. 已知抛物线y2=8x，那么其焦点到准线的距离是（ ）
A.2B.4C.6D.8

3. 命题“若x=1，则x2b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.ac>bcB.a−bc2>0C.1a2b

5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=45∘， B=60∘，a=2，则b=( )
A.6B.2C.3D.26

6. 椭圆x22+y2=1的焦点坐标是（ ）
A.±1,0B.0,±1C.±3,0D.0,±3

7. 已知变量x，y满足约束条件 x+y≥0，x≤1，y≤0， 则目标函数z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3

8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，c=3，B=π6，则△ABC的面积为（ ）
A.32B.34C.32或3D.32或34

9. 已知命题p:∀x∈R，x>sinx，则（ ）
A.¬p:∃x∈R，x2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

12. 等比数列{an}的各项均为正数且a4a7+a5a6=18，则lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=( )
A.12B.10C.8D.2+lg35
二、填空题

若x∈0,+∞，则x+4x的最小值是________.

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2，b=3，c=4，则csA=________．

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an−2，则数列{an}的通项公式an=________．

已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于b23，则双曲线的离心率为________.
三、解答题

在各项均为正项的等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和，求Sn．

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2csinA．
(1)求角C；

(2)若c=7，且△ABC的面积为332，求a+b的值．

已知a∈R，命题p:∀x∈−2,−1， a≤x2，命题q:∃x∈R，x2+2ax−a−2=0.
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．设房屋的总造价为y元．
(1)求y用x表示的函数关系式；

(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

设数列{an}满足a1+3a2+...+(2n−1)an=2n．
(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{an2n+1}的前n项和．

已知点A(0, −2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．
(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省桂林市高二（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式直接求解．
【解答】
解：在等差数列{an}中，a1=2，公差d=1，
∴ a3=a1+2d=2+2×1=4．
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
本题主要考查抛物线的基本性质．
【解答】
解：∵2p=8，∴p=4，∴ 抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题．
【解答】
解：命题"若x=1，则x2≤2”的否命题是："若x≠1，则x2≥2".
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
【解答】
解：∵ a，b，c∈R且a>b，
∴ 取c=0，ac=bc=0，(a−b)c2=0，可排除A，B；
取a=1，b=−1，1>−1，1a>1b，可排除C；
由不等式的性质知当a>b时，2a>2b，故D正确．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由A，B的度数求出sinA与sinB的值，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
【解答】
解：∵ A=45∘，B=60∘，a=2，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：
b=asinBsinA=2×3222=6．
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由椭圆的标准方程，得基本量，求得c，得焦点坐标..
【解答】
解：由题意，椭圆焦点在x轴上，
a2=2，b2=1,
∴c2=a2−b2=1，
即c=1，
∴焦点坐标为±1,0.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
（1）画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合进行求解即可.
【解答】
解：画出不等式组表示的平面区域如下图所示：
由z=2x+y得y=−2x+z，
平移直线y=−2x+z，
由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
联立y=0，x=1，解得A(1,0)，
则zmax=2×1+0=2.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
由已知利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：因为a=1，c=3，B=π6，
所以S△ABC=12acsinB=12×1×3×12=34.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案．
【解答】
解：∵ p:∀x∈R，x>sinx，
∴ p的否定形式为∃x∈R，x≤sinx.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为x2−y28=1，
则其渐近线方程为x2−y28=0，
化简可得22x±y=0．
故x2−y28=1的渐近线方程为：y=±22x．
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
（1）根据题目所给信息进行解题即可.
【解答】
解：已知|a|>2 ，解得a2，
则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
对数的运算性质
等比数列的性质
【解析】
由a4a7+a5a6=18，利用等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=9=an⋅a11−n，再利用对数的运算法则即可得出．
【解答】
解：∵ a4a7+a5a6=18，由等比数列的性质可得：
a4a7=a5a6=9=an⋅a11−n(n∈N∗, n≤10)，
∴ lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10
=lg3(a1a2⋅⋯a10)=lg395=10．
故选B．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
直接利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：∵ x∈0,+∞，
∴ x+4x≥2x⋅4x=4，
当且仅当x=4x，即x=2时取等号，
∴ x+4x的最小值为4.
故答案为：4.
【答案】
78
【考点】
余弦定理
【解析】
由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案．
【解答】
解：在△ABC中，
csA=b2+c2−a22bc=9+16−42×3×4=78.
故答案为：78.
【答案】
2n
【考点】
数列递推式
【解析】
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．
【解答】
解：∵Sn=2an−2 ，当n=1 时，S1=2a1−2 ，
∴a1=2．
当n≥2时，Sn=2an−2，Sn−1=2an−1−2，
两式相减得，an=2an−2an−1(n≥2)，
∴an=2an−1，n≥2，
∵a1=2≠0，
∴anan−1=2，n≥2．
∴{an}是以首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=2n．
故答案为：2n.
【答案】
3
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
设Px0,y0 ，根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等b23，可得a与c的关系，即可求出离心率．
【解答】
解：设Px0,y0 ，则x02a2−y02b2=1，
即b2x02−a2y02=a2b2，
双曲线两条渐近线的方程为bx±ay=0，
则点P到两条渐近线的距离乘积为：
|bx0+ay0|a2+b2⋅|bx0−ay0|a2+b2
=|b2x02−a2y02|a2+b2=a2b2c2=b23，
故e=ca=3．
故答案为：3．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 在各项均为正项的等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3，
∴ 1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=−2（舍去），
∴ {an}的通项公式为an=2n−1.
(2)∵ a1=1，q=2，
∴ Sn=1×(1−2n)1−2=2n−1．
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
（1）利用等比数列通项公式列方程求出公比q，由此能求出{an}的通项公式；
（2）由a1＝1，q＝2，能求出{an}的前n项和Sn．
【解答】
解：(1)∵ 在各项均为正项的等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3，
∴ 1×q4=4×(1×q2)，
解得q=2或q=−2（舍去），
∴ {an}的通项公式为an=2n−1.
(2)∵ a1=1，q=2，
∴ Sn=1×(1−2n)1−2=2n−1．
【答案】
解：(1)由3a=2csinA及正弦定理得：ac=2sinA3=sinAsinC，
∵ sinA≠0，∴ sinC=32，
在锐角△ABC中，C=π3．
(2)∵ c=7，C=π3，
由面积公式得12absinπ3=332，即ab=6，①
由余弦定理得a2+b2−2abcsπ3=7，即a2+b2−ab=7，②
由①②得(a+b)2=25，故a+b=5．
【考点】
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．
（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2−ab，最后联立变形求得a+b的值．
【解答】
解：(1)由3a=2csinA及正弦定理得：ac=2sinA3=sinAsinC，
∵ sinA≠0，∴ sinC=32，
在锐角△ABC中，C=π3．
(2)∵ c=7，C=π3，
由面积公式得12absinπ3=332，即ab=6，①
由余弦定理得a2+b2−2abcsπ3=7，即a2+b2−ab=7，②
由①②得(a+b)2=25，故a+b=5．
【答案】
解：(1)若命题p: ∀x∈−2,−1， a≤x2为真，
∴ 则令fx=x2， a≤fxmin.
又∵ fxmin=f−1=1，
∴ a≤1，∴ a的取值范围为(−∞,1].
(2)因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
所以命题p与q一真—假，
当命题q为真命题时， Δ=4a2+4a−2≥0，解得a≤−2或a≥1，
当命题p为真，命题q为假时，有a≤1,−20，
∴ △OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±72x−2．