安徽省安庆市望江县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年安徽省安庆市望江县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母在Ⅱ卷相对应题号下的字母涂黑．）

1．已知＝（a≠﹣2），则的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．不能确定

2．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．2

3．如图，BD∥CE，AB＝BC，若BD＝3，则CE的长是（　　）

A． B．2 C． D．5

4．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

则m、n的大小关系为（　　）

A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定

5．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°

7．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝25°，则∠ACB的大小为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°

8．已知直线y＝kx（k＞0，k是常数）与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　）

A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10

9．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法中正确的是（　　）

A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2 

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

10．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。请把你的答案填写在Ⅱ卷对应题号下的横线上。）

11．（5分）△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，则△ABC的外接圆半径长是　       　．

12．（5分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝　     　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259）

13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为　                　．

14．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0．

其中正确的有　   　．

三、解答题（本大题共8小题，共70分）解答应写明文字说明和运算步骤。

15．（7分）计算：sin245°+cos30°sin30°﹣tan60°．

16．（7分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．

（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标是　       　；

（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝，点A2的坐标是　       　．

17．（8分）图1是室内篮球机，图2是篮球机的侧面图．已知BF∥B1F1，A1D⊥B1F1，CB1⊥B1F1，EE1⊥B1F1，在E处测得点D的仰角为50°，在A处测得篮筐C的仰角为40°，BB1＝EE1＝70cm，B1E1＝196.8cm，A1D＝215cm，求篮筐C距地面B1F1的高度．（参考数据：sin50°＝cos40°≈0.766，cos50°＝sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）

18．（8分）如图在锐角三角形OAB中，点M，N分别在边OB，OA上，OG⊥AB于点G，OH⊥MN于点H，∠NOH＝∠GOB．

（1）求证：△OMN∽△OAB；

（2）若OM＝3，OA＝7，求的值．

19．（8分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v＝at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图所示，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分，求：

（1）二次函数和反比例函数的关系式；

（2）弹珠离开轨道时的速度．

20．（10分）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；

（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；

（3）求劣弧BC的长．

21．（10分）世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个；每个定价每增加1元，销售量将减少6个．

（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）

（2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？

（3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？

22．（12分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

2020-2021学年安徽省安庆市望江县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母在Ⅱ卷相对应题号下的字母涂黑．）

1．已知＝（a≠﹣2），则的值为（　　）

A． B．1 C．2 D．不能确定

【分析】根据已知条件求出a＝2b，再求出答案即可．

【解答】解：∵＝，

∴a＝2b，

∴＝＝＝，

故选：A．

2．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．2

【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，

由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，

所以cosA＝＝＝，

故选：A．

3．如图，BD∥CE，AB＝BC，若BD＝3，则CE的长是（　　）

A． B．2 C． D．5

【分析】证明△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．

【解答】解：∵BD∥CE，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵BD＝3，

∴，

∴CE＝5．

故选：D．

4．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

则m、n的大小关系为（　　）

A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题．

【解答】解：由表格可得，

二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝＝，

∵二次函数y＝﹣x2+bx+c

∴该函数图象开口向下，

∵﹣1＝，3﹣＝，

∴m＞n，

故选：B．

5．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣x+k2的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．

【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝＜0，

即对称轴在y轴的左边．

故选：D．

6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°

【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，

∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．

故选：D．

7．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝25°，则∠ACB的大小为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°

【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．

【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝25°，

∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝130°，

∴∠ACB＝∠AOB＝65°，

故选：C．

8．已知直线y＝kx（k＞0，k是常数）与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　）

A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10

【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2＝﹣x1，y2＝﹣y1．由A（x1，y1）在双曲线y＝上可得x1•y1＝5，然后把x2＝﹣x1，y2＝﹣y1代入2x1y2﹣x2y1的就可解决问题．

【解答】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝都是以原点为中心的中心对称图形，

∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，

∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1．

∵A（x1，y1）在双曲线y＝上，

∴x1•y1＝5，

∴2x1y2﹣x2y1＝2x1•（﹣y1）﹣（﹣x1）•y1＝﹣x1•y1＝﹣5．

故选：C．

9．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法中正确的是（　　）

A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2 

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

【分析】由于抛物线y＝x2﹣1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1＝y2，则x1＝﹣x2；若x1＝﹣x2，则y1＝y2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2．

【解答】解：A、若y1＝y2，则x1＝﹣x2；

B、若x1＝﹣x2，则y1＝y2；

C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；

D、正确．

故选：D．

10．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．

【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．

把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是，；

同理可得：B的横坐标是：﹣．

则AB＝﹣（﹣）＝．

则S▱ABCD＝×b＝5．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。请把你的答案填写在Ⅱ卷对应题号下的横线上。）

11．（5分）△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，则△ABC的外接圆半径长是　20.5cm　．

【分析】由在△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，可判定△ABC是直角三角形，然后由直角三角形的斜边即是它的外接圆的直径，求得答案．

【解答】解：在△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，

∴△ABC的外接圆半径长为：AB＝20.5cm．

故答案为：20.5cm．

12．（5分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝　3.11　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259）

【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L＝24r•sin15°，d＝2r，进而得到π≈≈3.11．

【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，

作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°，

∵AO＝BO＝r，

∵Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，

∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，

∴L＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°，

又∵d＝2r，

∴π≈＝≈3.11，

故答案为：3.11

13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为　（，）　．

【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．

【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，

∴＝，

∵BG＝5，

∴AD＝BC＝，

∵AD∥BG，

∴△OAD∽△OBG，

∴＝，

∴＝，

解得：OA＝，

∴OB＝+＝，

∴C点坐标为：（，），

故答案为：（，）．

14．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0．

其中正确的有　②③　．

【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0；由于抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，得到2a+b＝0；由于x＝﹣1时，y＜0，于是有a﹣b+c＜0．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∴2a+b＝0，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴当x＝1时的函数值是最大值，

∴a+b+c＞ax+bx+c（x≠1），

∴a+b＞ax+bx，所以③正确；

∵x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④错误．

故答案为②③．

三、解答题（本大题共8小题，共70分）解答应写明文字说明和运算步骤。

15．（7分）计算：sin245°+cos30°sin30°﹣tan60°．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质计算得出答案．

【解答】解：原式＝×（）2+×﹣

＝×+﹣

＝﹣．

16．（7分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．

（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标是　（1，﹣3）　；

（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝，点A2的坐标是　（﹣2，﹣6）　．

【分析】（1）根据关于x轴对称的的点坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（1，﹣3）；

（2）如图，△A2B2C2为所作，A2（﹣2，﹣6）．

故答案为（1，﹣3），（﹣2，﹣6）．

17．（8分）图1是室内篮球机，图2是篮球机的侧面图．已知BF∥B1F1，A1D⊥B1F1，CB1⊥B1F1，EE1⊥B1F1，在E处测得点D的仰角为50°，在A处测得篮筐C的仰角为40°，BB1＝EE1＝70cm，B1E1＝196.8cm，A1D＝215cm，求篮筐C距地面B1F1的高度．（参考数据：sin50°＝cos40°≈0.766，cos50°＝sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）

【分析】首先由题意可求得AD的长，然后由在 Rt△ADE 中，求得AE的长，继而求得AB的长，然后在Rt△ACB中，求得CB的长，继而求得CB1的长，则可求得答案．

【解答】解：由题意得：AD＝A1D﹣AA1＝215﹣70＝145（cm），

在Rt△ADE中，

∵BF∥B1F1，A1D⊥B1F1，∠DEA＝50°，

∴∠D＝40°，

∴AE＝ADtan40°≈145×0.84＝121.8（cm），

∴AB＝BE﹣AE＝B1E1﹣AE＝196.8﹣121.8＝75（cm），

在Rt△ACB中，∠CAB＝40°，

∴CB＝ABtan40°≈75×0.84＝63（cm），

∴CB1＝CB+BB1＝63+70＝133（cm），

答：篮筐距地面的为133cm．

18．（8分）如图在锐角三角形OAB中，点M，N分别在边OB，OA上，OG⊥AB于点G，OH⊥MN于点H，∠NOH＝∠GOB．

（1）求证：△OMN∽△OAB；

（2）若OM＝3，OA＝7，求的值．

【分析】（1）证明△OHN∽△OGB，由相似三角形的性质得出∠ONH＝∠B，则可证明△OMN∽△OAB；

（2）由相似三角形的性质得出答案．

【解答】（1）证明：在△OHN和△OGB中，∵∠OHN＝∠OGB＝90°，∠NOH＝∠BOG，

∴△OHN∽△OGB，

∴∠ONH＝∠B，

∵∠AOB＝∠MON，

∴△OMN∽△OAB；

（2）解：由（1）得△OMN∽△OAB，

∵OM＝3，OA＝7，

∴．

19．（8分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v＝at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图所示，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分，求：

（1）二次函数和反比例函数的关系式；

（2）弹珠离开轨道时的速度．

【分析】（1）由图象可知前一分钟过点（1，2），后三分钟时过点（2，8），分别利用待定系数法可求得函数解析式；

（2）把t＝5代入（1）中反比例函数的解析式即可．

【解答】解：（1）v＝at2的图象经过点（，），

∴a＝2．

∴二次函数的解析式为：v＝2t2，（0≤t≤2）；

设反比例函数的解析式为v＝，

由题意知，图象经过点（2，8），

∴k＝16，

∴反比例函数的解析式为v＝（2＜t≤5）；

（2）由图象知，弹珠在第5分钟末离开轨道，速度为＝3.2（米/分）．

20．（10分）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．

（1）求证：∠ACO＝∠BCD；

（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；

（3）求劣弧BC的长．

【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．

（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径；

（3）求得圆心角的度数，利用弧长公式写出答案即可．

【解答】解：（1）∵CE＝ED，

∴∠BCD＝∠BAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠ACO＝∠BCD；

（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，

CE＝CD＝×10＝5cm，

在Rt△CEO中，由勾股定理可得：

OC2＝OE2+CE2，

即R2＝（R﹣5）2+（5）2，

解得R＝10．

∴圆O的直径2R＝20cm；

（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，

∴∠OCE＝30°，

∴∠EOC＝60°，

∴劣弧BC的长是＝cm．

21．（10分）世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个；每个定价每增加1元，销售量将减少6个．

（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）

（2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？

（3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？

【分析】（1）根据当每个售价定为45元时可售出360个；每个定价每增加1元，销售量将减少6个，可得答案；

（2）根据利润7200元等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的一元二次方程，求得方程的解，再根据使进货量较少，可得答案；

（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）∵定价每增加1元，销售量将减少6个，

∴设每个定价增加x元，此时的销售量是（360﹣6x）个；

（2）由题意可得：（45﹣35+x）（360﹣6x）＝7200，

整理得：x2﹣50x+600＝0，

解得x1＝20，x2＝30，

∵使进货量较少，

∴x1＝20（舍去），

∴每个定价75元；

（3）由题意可知，所获利润y＝（45﹣35+x）（360﹣6x）＝﹣6x2+300x+3600，

∴当时，，

∴每个定价为70元时，获得的最大利润为7350元．

22．（12分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【分析】（1）先证明∠A＝∠1，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；

（2）作EH⊥AF于点H，如图1，利用勾股定理计算出AB＝2，利用△EFG∽△AEG得到＝＝，再证明Rt△AEF∽Rt△ACB得到＝＝，所以＝＝＝，则EG＝2x，AG＝4x，AF＝3x，EF＝x，AE＝x，接着利用相似比表示出EH＝x，AH＝x，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利用CF＝4﹣3x可确定x的范围；

（3）先表示CG＝4x﹣4，GH＝x，讨论：当ED＝EF＝x时，如图1，则BD＝DE＝x，所以DC＝2﹣x；当DE＝DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM＝EF＝x，证明△DEM∽△BAC，利用相似比表示DE＝x，则BD＝DE＝x，所以CD＝2﹣x；当FE＝FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN＝DN，证明△NEF∽△CAB，利用相似比表示出EN＝x，则DE＝2EN＝x，所以BD＝DE＝x，CD＝2﹣x，然后利用△GCD∽△GHE，根据相似比得到关于x的方程，再分别解方程求出定义的x的值即可．

【解答】（1）证明：∵ED＝BD，

∴∠B＝∠2，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠A＝90°．

∵EF⊥AB，

∴∠BEF＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠A＝∠1，

∵∠EGF＝∠AGE，

∴△EFG∽△AEG；

（2）解：作EH⊥AF于点H，如图1，在Rt△ABC中，AB＝＝2，

∵△EFG∽△AEG，

∴＝＝，

∵∠EAF＝∠CAB，

∴Rt△AEF∽Rt△ACB，

∴＝＝，即＝＝，

∴＝＝＝，

∴EG＝2x，AG＝4x，

∴AF＝AG﹣FG＝3x，

∴EF＝x，AE＝x，

∵EH∥BC，

∴＝＝，即＝＝，

∴EH＝x，AH＝x，

∴y＝FG•EH＝•x•x＝x2（0＜x≤），

（3）解：CG＝AG﹣AC＝4x﹣4，GH＝AG﹣AH＝4x﹣x＝x，

当ED＝EF＝x时，如图1，则BD＝DE＝x，

∴DC＝2﹣x，

∵CD∥EH，

∴△GCD∽△GHE，

∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；

当DE＝DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM＝EF＝x，

∵∠DEM＝∠A，

∴△DEM∽△BAC，

∴＝，即＝，解得DE＝x，

∴BD＝DE＝x，

∴CD＝2﹣x，

∵CD∥EH，

∴△GCD∽△GHE，

∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；

当FE＝FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN＝DN，

∵∠NEF＝∠A，

∴△NEF∽△CAB，

∴＝，即＝，解得EN＝x，

∴DE＝2EN＝x，

∴BD＝DE＝x，

∴CD＝2﹣x，

∵CD∥EH，

∴△GCD∽△GHE，

∴＝，即（2﹣x）：x＝（4x﹣4）：x，解得x＝；

综上所述，FG的长为或或．