云南省昆明市盘龙区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份云南省昆明市盘龙区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若点P（3，﹣1）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是 ．
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有2个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复实验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ACB的度数为 ．
4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为 ．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）其部分图象如图所示，下列结论：
①2a+b＝0；
②b2﹣4ac＜0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；
④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2+bx+c的图象；
⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
其中正确的结论是 ．（填序号）
二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）
7．（4分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的
C．“367 人中至少有2人生日相同”是必然事件
D．“垂直于弦的直径平分这条弦”是不确定事件
9．（4分）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）
A．P＝96VB．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝
10．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿AC所在直线旋转一周，则所得几何体的侧面积是（ ）
A．12πB．15πC．20πD．36π
11．（4分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
12．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
13．（4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
14．（4分）如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）
A．23.1B．21.9C．27.5D．30
三、解答题（本大题共9个小题，满分0分.解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.）
15．计算：2sin30°+cs45°﹣+（π﹣3.14）0．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m＝﹣12，求此一元二次方程的根．
17．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
18．复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．
（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．
19．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF＝AE．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）在（1）的条件下，把△ADE绕点D逆时针旋转 °后与△CDF重合；
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．若AB＝4，求EG的长．
21．某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天获利最多，那么每千克应涨价多少元？
22．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2．若S2＝5S1，求tan∠BAC的值．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
2020-2021学年云南省昆明市盘龙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．若点P（3，﹣1）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是 （﹣3，1） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（3，﹣1）与点Q关于原点对称，
则点Q的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有2个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复实验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 10 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，，
解得，a＝10．
故答案为：10．
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ACB的度数为 70° ．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ADB即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝60°
∵∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ACB＝∠ADB＝70°，
故答案为：70°．
4．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比，进而得出答案．
【解答】解：∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，OD：OA＝1：2，
∴S△DEF：S△ABC＝1：4，
∵△ABC的面积为5，
∴△DEF的面积为：．
故答案为：．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为 3 ．
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到∴S△AOC＝S△AOB＝，再根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC＝|k|＝，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△AOB＝，
而S△AOC＝|k|＝，
又∵k＞0，
∴k＝3．
故答案为：3．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）其部分图象如图所示，下列结论：
①2a+b＝0；
②b2﹣4ac＜0；
③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；
④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2+bx+c的图象；
⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
其中正确的结论是 ①⑤ ．（填序号）
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，得﹣＝1，即可判断①正确；由抛物线与x轴有两个交点，可判断②不正确；根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），可判断③不正确；由抛物线y＝ax2顶点为（0，0），将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线顶点为（1，4），可判断④不正确；根据当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，可判断⑤正确．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，故②不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③不正确；
∵抛物线y＝ax2顶点为（0，0），将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线顶点为（1，4），
而由已知不能得出抛物线y＝ax2+bx+c顶点是（1，4），故④不正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，
∴y＞0，故⑤正确，
故答案为：①⑤．
二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）
7．（4分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③不是中心对称图形，故本选项不合题意；
④是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的
C．“367 人中至少有2人生日相同”是必然事件
D．“垂直于弦的直径平分这条弦”是不确定事件
【分析】利用随机事件和必然事件的定义对A、C进行判断；利用比较两事件的概率的大小判断游戏的公平性对B进行判断；利用垂径定理和概率公式对D进行判断．
【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故此选项错误；
B、通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故此选项错误；
C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，故此选项正确；
D、垂直于弦的直径平分这条弦”是确定事件，故此选项错误．
故选：C．
9．（4分）当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）
A．P＝96VB．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝
【分析】观察表格发现VP＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．
【解答】解：观察发现：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，
故P与V的函数关系式为P＝，
故选：D．
10．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿AC所在直线旋转一周，则所得几何体的侧面积是（ ）
A．12πB．15πC．20πD．36π
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：Rt△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体为圆锥，母线AB的长＝＝＝5，
所以圆锥的侧面积＝•2π•4•5＝20π．
故选：C．
11．（4分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）＝80．
故选：A．
12．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限
B．在每个象限内y随x的增大而增大
C．若x＞1，则﹣3＜y＜0
D．若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合图象上点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：A．y＝﹣，由﹣3＜0，则双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故此选项不合题意；
B．y＝﹣，由﹣3＜0，则在每一象限内y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C．y＝﹣，若x＞1，则﹣3＜y＜0，故此选项不合题意；
D．y＝﹣，若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＞y2，故此选项符合题意；
故选：D．
13．（4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．
故选：A．
14．（4分）如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）
A．23.1B．21.9C．27.5D．30
【分析】直接利用坡度的定义得出BN的长，进而利用锐角三角函数关系得出BM的长，进而得出CM的长即可得出答案．
【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分别为：N，M，
∵i＝1：2.4，AB＝26m，
∴设BN＝x，则AN＝2.4x，
∴AB＝2.6x，
则2.6x＝26，
解得：x＝10，
故BN＝DM＝10m，
则tan30°＝＝＝，
解得：BM＝10，
则tan35°＝＝＝0.7，
解得：CM≈11.9（m），
故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．
故选：B．
三、解答题（本大题共9个小题，满分0分.解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.）
15．计算：2sin30°+cs45°﹣+（π﹣3.14）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+﹣4+1
＝1+﹣4+1
＝﹣2．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m＝﹣12，求此一元二次方程的根．
【分析】（1）若一元二次方程有两等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的方程，求出m的取值．
（2）把m的值代入方程，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝16﹣4m，
∴16﹣4m＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m＝4，
即m＝4时，方程有两个相等的实数根．
（2）当m＝﹣12时，方程为x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
解得，x1＝6，x2＝﹣2．
17．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
【分析】（1）先利用点A、B的坐标建立直角坐标系，根据三角形外心的性质得到AC的中点为D；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A′、B′即可；
（3）先计算出CA的长，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；
（2）如图，△A'B'C为所作；
（3）CA＝＝2，
所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝＝π．
18．复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．
（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三个通道，分别是红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道），
∴从人工测温通道通过的概率是；
（2）根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况，
则甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率是．
19．如图，一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y＝x+b求出一次函数的解析式；
（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；
（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（4，1），
∴1＝，即k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝．
∵一次函数y＝x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），
∴1＝4+b，解得b＝﹣3，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣3；
（2）∵令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），即DO＝3．
解得或，
∴B（﹣1，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝；
（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），
∴不等式x+b＞的解集为：﹣1＜x＜0或x＞4．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF＝AE．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）在（1）的条件下，把△ADE绕点D逆时针旋转 90 °后与△CDF重合；
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．若AB＝4，求EG的长．
【分析】（1）由已知条件可用SAS直接证明；
（2）由（1）结论证明∠EDF＝90°即可；
（3）由中点性质及平移性质可得BH＝CF＝AE＝2，由勾股定理可得AH＝，再证明△AEG∽△AHB，推出＝，即可得到答案．
【解答】（1）证明：在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）由（1）可△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
即△ADE绕点D逆时针旋转 90°后与△CDF重合，
故答案为：90．
（3）∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝CF＝＝2．
又由平移性质可得CF＝BH，
∴AE＝BE＝CF＝BH＝2，
由平移可得DF∥AH，
由勾股定理得AH＝＝，
∴∠AGE＝∠EDF＝90°，
∴∠AGE＝∠B＝90°，
又∠EAG＝∠HAB，
∴△AEG∽△AHB，
∴＝＝，
∴EG＝．
21．某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天获利最多，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为m，（1﹣m）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设每次下降百分率为m，
根据题意，得50（1﹣m）2＝32，
解得m1＝0.2，m2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克涨价x元，利润为w，
由题意得：w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，w有最大值，
∵x≤8，
∴当x＝7.5（元）时，w最大值＝6125（元）．
答：每千克水果应涨价7.5元时，商场获得的利润w最大，最大利润是6125元．
22．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2．若S2＝5S1，求tan∠BAC的值．
【分析】（1）连接DO，由圆周角定理就可以得出∠ADB＝90°，可以得出∠CDB＝90°，根据E为BC的中点可以得出DE＝BE，就有∠EDB＝∠EBD，OD＝OB可以得出∠ODB＝∠OBD，由等式的性质就可以得出∠ODE＝90°就可以得出结论．
（2）由S2＝5S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍，可求得AD：CD＝2：1，可得AD：BD＝2：．则tan∠BAC的值可求出．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E为BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，
∵S2＝5S1，E为BC的中点，
∴S△ACE＝3S1，
∴S△ADE＝2S1，
∴，
∵△BDC∽△ADB，
∴，
∴DB2＝AD•DC，
∴，
∴tan∠BAC＝．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
【分析】（1）根据韦达定理即可求得a、b的值，即可解题；
（2）存在满足条件的点E，存在2种情况：①∠AEQ'＝90°；②∠AQ'E'＝90°；分类讨论即可求得点E坐标，即可解题；
（3）想办法求出直线AD的解析式，构建方程组即可解决问题；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴x1•x2＝＝c＝﹣3，x1+x2＝﹣＝﹣b＝2，
∴b＝﹣2，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）存在满足条件的点E，存在3种情况：
①∠AEQ'＝90°，
∵AQ'＝AB＝4，
∴AE＝2，
∴OE＝3﹣2，
∴点E坐标（3﹣2，0）；
②∠AQ'E'＝90°，
此时AE'＝AQ，
∴AE'＝4，
∴OE＝AE'﹣OA＝4﹣3，
∴点E'坐标（3﹣4，0）；
③当AE＝AQ时
E（﹣1，0）或E（7，0）
综上所述：点E坐标为（3﹣2，0）、（3﹣4，0）或（﹣1，0）或（7，0）；
（3）四边形APDQ为菱形；
理由：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AQ＝PD，AP＝DQ，
∴四边形APDQ为平行四边形，
∵AP＝AQ，
∴平行四边形APDQ为菱形，
∴AD平分∠BAC，设AD交OC于点M，作MN⊥AC于N．
∵MO⊥AB，
∴OM＝MN，设OM＝MN＝m，
∵AM＝AM，MO＝MN，
∴Rt△AMO≌Rt△AMN（HL），
∴OA＝AN＝3，
∵AC＝3，
∴m+3＝3，
∴m＝3﹣3，
∴M（0，3﹣3），
∴直线AD的解析式为y＝（﹣1）x﹣3+3，
由，
解得或，
∴D（﹣2，﹣6+7）．
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32
V（单位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（单位：kPa）
96
64
48
38.4
32