湖北省襄阳市樊城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份湖北省襄阳市樊城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
4．如图，已知点P在反比例函数y＝上，PA⊥x轴，垂足为点A，且△AOP的面积为4，则k的值为（　　）

A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
5．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
6．已知半径为9的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（　　）
A．18π B．27π C．36π D．54π
7．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
8．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．
9．一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本（　　）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．若，则点P（x+1，2﹣y）关于原点的对称点P'坐标为　 　．
12．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为　 　．

13．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V的范围是　 　．

14．实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　 　．
15．在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝AB，则AF：BC＝　 　．

16．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是　 　．

三.解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）；
（2）2x2﹣5x﹣2＝0．
18．（7分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为　 　；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β
（1）求m的取值范围；
（2）若α+β+αβ＝0．求m的值．
20．（7分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

21．（7分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
22．（7分）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B，C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CBF＝，BE＝8，求BC的长．

23．（9分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：
方案一：每件商品涨价a元；
方案二：每件商品的利润为24元．
请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由．
24．（9分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM　 　△BND（填相似或全等关系）；
（2）类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝　 　．

25．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点，点F（a，0）是x轴上一动点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）当S△ACD取最大值时，判断点D是否为抛物线顶点；
（3）若点D为抛物线顶点，连接DF，把线段DF绕点D旋转90°，使得旋转后的线段DF与线段BC有交点，请求出a的取值范围．


2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
【分析】需要大量重复实验，才能得出结论．
【解答】解：需要大量重复实验，才能得出结论．本题无法估计盒中红球和白球的个数．
故选：D．
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、Δ＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B、Δ＝16+4＝20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、Δ＝16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、Δ＝25﹣4×3×2＝25﹣24＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
4．如图，已知点P在反比例函数y＝上，PA⊥x轴，垂足为点A，且△AOP的面积为4，则k的值为（　　）

A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【分析】根据反比例函数k的几何意义，可得|k|＝4，再根据k＜0，求出k的值．
【解答】解：∵点P在反比例函数y＝上，PA⊥x轴，且△AOP的面积为4，
∴|k|＝4，
∴k＝8或k＝﹣8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：C．
5．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x+2，
∴当k＝0时，函数y＝kx2﹣4x+2是一次函数，与x轴有一个交点为（，0），
当k≠0时，函数y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，
综上所述，k的取值范围是 k≤2．
故选：C．
6．已知半径为9的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（　　）
A．18π B．27π C．36π D．54π
【分析】直接根据扇形的面积公式S扇形＝lR进行计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
S扇形＝lR＝×6π×9＝27π．
故选：B．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【解答】解：如图

在RtACD中，tanC＝，
故选：B．
8．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
9．一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本（　　）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
【分析】设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为1000（1﹣x）元，再经过一次下降后成本变为1000（1﹣x）（1﹣x）元，根据两次降低后的成本是810元列方程求解即可．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：
1000（1﹣x）（1﹣x）＝810，
解得：x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）
即：x＝10%
故选：D．
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．若，则点P（x+1，2﹣y）关于原点的对称点P'坐标为　（0，0）　．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴x+1＝0，2﹣y＝0，
∴点P（x+1，2﹣y），即（0，0）关于原点的对称点P'坐标为：（0，0）．
故答案为：（0，0）．
12．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为　　．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的有4种情况，
∴随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的概率为：＝．
故答案为：．
13．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V的范围是　V≥　．

【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.5，64）故P•V＝96；故当P≤160，可判断V的范围．
【解答】解：设气球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过点（1.5，64），
∴k＝96，
即P＝，在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤160时，V＝≥．
故答案为：V≥．
14．实数p，q用符号min（p，q）表示p，q，两数中较小的数，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，则x＝　　．
【分析】先判断出x2﹣1＜x2，从而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣1＜x2，
∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，
则x2＝2，
∴x＝，
故答案为：．
15．在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝AB，则AF：BC＝　2：3　．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得AB∥DE，进而可得△BAF～EDF，再由DE＝AB，得出＝，即可得到AF：BC．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠E，∠A＝∠EDF，
∴△BAF～EDF，
∴，
∵DE＝AB，
∴＝，
∴，
∴AF：BC＝2：3，
故答案为：2：3．
16．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是　　．

【分析】当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，即可求解．
【解答】解：令y＝（x+2）（x﹣4）＝0，则x＝4或﹣2，
故点B（4，0），点A（﹣2，0），则AB＝6，即OA＝AB，
∵Q是线段PA上靠近点A的三等分点，即QA＝AP，连接PB，
∵∠QAO＝∠PAB，且OA：AB＝QA：AP＝1：3，
则△AQO∽△APB，
∴OA：AB＝QA：AP＝OQ：PB＝1：3，
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PC，BC，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝，
故答案为．

三.解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）；
（2）2x2﹣5x﹣2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x＝1或x＝3，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝41＞0，
∴x＝＝，
∴．
18．（7分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为　　；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【解答】解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
故答案为；

（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：

第1部
第2部
A
B
C
D
A

BA
CA
DA
B
AB

CB
DB
C
AC
BC

DC
D
AD
BD
CD

由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P（M）＝＝．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）＝＝．
19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β
（1）求m的取值范围；
（2）若α+β+αβ＝0．求m的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＞0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；

（2）由根与系数的关系得：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝0，
∴﹣（2m+3）+m2＝0，
解得：m1＝﹣1，m1＝3，
由（1）知m≥﹣，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为3．
20．（7分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1；

（2））∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2．
∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0），
∴其图象为：

21．（7分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
22．（7分）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B，C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CBF＝，BE＝8，求BC的长．

【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OCB＝∠BCF，得到∠OBC＝∠BCF，求得∠ABO＝∠AEC＝90°，于是得到结论；
（2）过O作OM⊥CE于M，连接OF，则四边形OBEM为矩形，由矩形的性质得出OM＝BE＝8，得出∠COM＝∠CBF，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，

∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB平分∠ACE，
∴∠OCB＝∠BCF，
∴∠OBC＝∠BCF，
∴∠ABO＝∠AEC＝90°，
∴OB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：过O作OM⊥CE于M，连接OF，

则四边形OBEM为矩形，
∴OM＝BE＝8，
∵OM⊥CE，
∴∠COM＝∠COF，
∵∠CBF＝∠COF，
∴∠COM＝∠CBF，
在Rt△OCM中，cos∠COM＝，
∴，
∴OC＝10，
∴CM＝＝＝6，
又∵ME＝OB＝OC＝10，
在Rt△CBE中，BC＝＝．
23．（9分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：
方案一：每件商品涨价a元；
方案二：每件商品的利润为24元．
请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）设该商品的进价a元，售价为b元，由题意得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值即可；
（2）根据利润等于每件的销售利润乘以销售量列出函数关系式并配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
（3）由二次函数的对称性，可得x＝18与x＝16函数值相等，依据该二次函数的图像和性质即可求解．
【解答】解：（1）设该商品的进价a元，售价为b元，由题意得：
，
解得，，
∴该商品的进价24元，售价为30元；
（2）w＝（30+x﹣24）（200﹣5x）＝﹣5（x﹣17）2+2645，
∵﹣5＜0，
∴当x＝17时，y最大＝2645，
∴售价为30+17＝47（元），
所以，销售价为47元/件时，每天的销售利润最大；最大利润是2645元；
（3）方案二：x＝24+24﹣30＝18元
由（2）知：w＝﹣5（x﹣17）2+2645；
依据该二次函数的图像和性质，x＝18与x＝16函数值相等，
∴当0＜a＜16和a＞18时，方案二的销售最大利润更高；
当a＝16和a＝18时，两种方案的销售最大利润一样；
当16＜a＜18时，方案一的销售最大利润更高．
24．（9分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，∠B＝∠A＝∠EDF．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，判断：△ADM　∽　△BND（填相似或全等关系）；
（2）类比探究：如图②，当AC＝BC时，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）延伸拓展：如图③，在（2）的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，则DN＝　　．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和∠B＝∠A＝∠EDF证明两组对应角相等，从而证明△ADM∽△BND，得出填空题要求的结果；
（2）与（1）的方法相同，证明△ADM∽△BND仍然成立；
（3）作CG⊥AB于点G，设S△CDN＝m，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方及等高三角形面积的比等于底的比，求出AB、BN、BC的长，得到DG的长，再由勾股定理求出CG、CD的长，最后可求出DN的长．
【解答】解：（1）如图①，
∵△ABC是等边三角形，∠B＝∠A＝∠EDF，
∴∠B＝∠A＝∠EDF＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣60°﹣∠ADM＝120°﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣60°﹣∠ADM＝120°﹣∠ADM，
∴∠AMD＝∠BDN，
∴△ADM∽△BND，
故答案为：∽．
（2）成立，如图②，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠B＝∠A＝∠EDF，
设∠B＝∠A＝∠EDF＝x，
∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠ADM＝180°﹣x﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣∠EDF﹣∠ADM＝180°﹣x﹣∠ADM，
∴∠AMD＝∠BDN，
∴△ADM∽△BND．
（3）如图③，作CG⊥AB于点G，设S△CDN＝m，则∠CGD＝∠CGB＝90°，
设∠CBA＝∠CAB＝∠EDF＝x，
∵∠DCA＝∠CAB﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，∠NDB＝∠EDF﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，
∴∠DCA＝∠NDB；
∵∠CAD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣x，∠DBN＝180°﹣∠CBA＝180°﹣x，
∴∠CAD＝∠DBN，
∴△ADC∽△BND，
∴＝＝；
∵点M与点C重合，S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，
∴S△ADC：S△BND＝1：2，BN：BC＝1：3，
∴S△BND＝S△CDN＝，
∴S△ADC＝S△BND＝×＝m，
∴S△ABC＝m﹣﹣m＝m，
∴＝＝＝5，
∵AD＝1，
∴AB＝5AD＝5，
∵AC＝BC，
∴AG＝BG＝AB＝，
∴DG＝1+＝；
∵＝＝，
∴＝，
∴DN＝CD，BN＝AD＝，
∴BC＝3BN＝，
∴CG2＝BC2﹣BG2＝（）2﹣（）2＝，
∴CD＝＝＝，
∴DN＝×＝，
故答案为：．



25．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点，点F（a，0）是x轴上一动点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）当S△ACD取最大值时，判断点D是否为抛物线顶点；
（3）若点D为抛物线顶点，连接DF，把线段DF绕点D旋转90°，使得旋转后的线段DF与线段BC有交点，请求出a的取值范围．

【分析】（1）将点B（1，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数解析式；
（2）求出直线AC解析式为y＝x+3，过点D作DE⊥x轴交直线AC于点E，设D（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，﹣t+3），则S△ACD＝×ED×AO＝﹣（t+）2+，则，即可判断D点不是抛物线的顶点；
（3）先求出DF'线段BC两个端点的边界情况时a的取值，经过当DF'经过点C时，a＝﹣5，当DF'经过点B时，a＝﹣9，则可求a的取值范围为﹣9≤a≤﹣5．
【解答】解：（1）将点B（1，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
如图1，过点D作DE⊥x轴交直线AC于点E，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，﹣t+3），
∴S△ACD＝×ED×AO＝（﹣t2﹣t）×3＝﹣（t+）2+，
∵，
∴当t＝﹣时，S△ACD取最大值，此时，
由（1）知顶点坐标为（﹣1，4），
∴此时，D点不是抛物线的顶点；
（3）如图2，当DF'经过点C时，
过点F作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线交y轴于点N，两垂线相交于点M，
∵∠FDF'＝90°，
∴∠MDF+∠MFD＝90°，∠MDF+∠NDC＝90°，
∴∠NDC＝∠MFD，
∵DF＝DF'，∠M＝∠CND＝90°，
∴Rt△DFM∽Rt△CDN（AAS），
∴，即，
∴a＝﹣5，
如图3，当DF'经过点B时，
过点F作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，相交于点M，
过点B作x轴的垂线，交DM于点N，
∵∠FCF'＝90°，
∴∠MDF+∠NDB＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠MFD＝∠NDB，
∵DF＝DF'，∠DMF＝∠DNB＝90°，
∴Rt△DFM∽Rt△BDN（AAS），
∴，即，
∴a＝﹣9，
∴﹣9≤a≤﹣5．