江苏省南通市海安市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份江苏省南通市海安市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南通市海安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．正比例函数y＝2x的图象所过的象限是（　　）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
2．如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194
4．如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．初二年级某班参加体检的6名同学的体重（单位：千克）分别是：76，54，59，63，57，66．这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．61 C．62 D．63
6．已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+4m的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2019 D．﹣2020
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
8．已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P，且y随x增大而减小，则P的坐标不可能是（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，0）
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使CD与AB平行且相等，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若四边形ABCD是矩形，则∠BAC＝90°
C．若△ABC是等腰三角形，则四边形ABCD是菱形
D．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，与对角线BD分别交于点G，H，连接EH．若∠EAF＝45°，则下列判断错误的是（　　）

A．BE+DF＝EF
B．BG2+HD2＝GH2
C．E，F分别为边BC，CD的中点
D．AH⊥EH
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算：＝　 　．
12．若函数y＝2x+（1﹣m）是正比例函数，则m的值是　 　．
13．（4分）车间生产同一种产品，某一星期日产量的情况如下：有2天是154件，有3天是152件，有2天是146件，那么车间这个星期日产量的众数是 　 　．
14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝28，AB＝10，则△OCD的周长为 　 　．

15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若∠EFG＝125°，那么∠FBG的度数为 　 　．

16．（4分）关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 　 　．
17．（4分）如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，点A在边DE上，若DE＝23，AD＝8，则AC＝　 　．

18．（4分）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（2）2x2+x＝3．
20．（10分）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下：

（1）填表：

平均数
中位数
众数
方差
甲
　 　
7.5
8
　 　
乙
7
　 　
　 　
1.2
（2）如果你是教练，你会选择谁参加正式比赛？请说明理由．
21．（10分）已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）求此函数图象与x轴的交点坐标；
（2）平移一次函数y＝2x﹣4的图象后经过点（﹣2，1），求平移后的函数表达式．

22．（11分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，若∠AFC＝90°，求证：AD＝AE．

23．（11分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．
（1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
（2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．

24．（12分）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是0.5cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），y与x的对应关系如图②所示．
（1）在图①中，AB＝　 　cm，矩形ABCD的周长为 　 　cm；
（2）判断图②中原点O，点M以及点N是否在同一直线上，并说明理由．

25．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点H为DF中点．
（1）若∠BAE＝30°，求DH的长；
（2）作CG⊥AE，垂足为G，当CG＝时，求∠BAE的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线GH交CD于M，求CM的长．

26．（13分）已知，平面直角坐标系xOy中，以A（3，0），B（0，4），O（0，0）为顶点的三角形被直线l：y＝mx﹣2m分成两部分．设靠近原点部分的面积为S．
（1）若m＝﹣1，求S的值；
（2）设直线l分别与x轴、直线AB交于P、Q两点，当S＝5时，求线段PQ的长；
（3）求S关于m的函数解析式．

2020-2021学年江苏省南通市海安市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．正比例函数y＝2x的图象所过的象限是（　　）
A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝2x中，k＝2＞0，
∴此函数的图象经过一、三象限．
故选：A．
2．如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”，列不等式求解．
【解答】解：根据题意，得
5﹣2x≥0，解得x≤．
故选：D．
3．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194
【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，
根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．
故选：C．
4．如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝7，CD＝AB＝5，AD∥BC，得∠ADE＝∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE＝∠DEC，根据等角对等边，可得EC＝CD＝5，所以求得BE＝BC﹣EC＝2，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝7，CD＝AB＝5，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴EC＝CD＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝2．
故选：A．
5．初二年级某班参加体检的6名同学的体重（单位：千克）分别是：76，54，59，63，57，66．这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．61 C．62 D．63
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后取中间的两个数，求出它们的平均数，即是这组数据的中位数．
【解答】解：数据76，54，59，63，57，66按照从小到大排列是：54，57，59，63，66，76，
故这组数据的中位数是（59+63）÷2＝122÷2＝61（千克），
故选：B．
6．已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+4m的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2019 D．﹣2020
【分析】把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m＝﹣1，再把2020﹣m2+4m变形为2020﹣（m2﹣4m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m+1＝0，
所以m2﹣4m＝﹣1，
所以2020﹣m2+4m＝2020﹣（m2﹣4m）＝2020﹣（﹣1）＝2021．
故选：B．
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
8．已知一次函数y＝kx+1的图象经过点P，且y随x增大而减小，则P的坐标不可能是（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，0）
【分析】由点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值，结合y随x的增大而减小即可求解．
【解答】解：A、当点P的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2k+1＝﹣5，
解得k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A符合题意；
B、当点P的坐标为（﹣1，6）时，﹣k+1＝6，
解得k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；
C、当点P的坐标为（﹣2，6）时，﹣2k+1＝6，
解得k＝﹣2.5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当点P的坐标为（1，0）时，k+1＝0，
解得k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意，
故选：A．
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使CD与AB平行且相等，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若四边形ABCD是矩形，则∠BAC＝90°
C．若△ABC是等腰三角形，则四边形ABCD是菱形
D．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，

∴四边形ABCD是平行四边形，
A、若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，原命题是假命题；
B、若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，原命题是假命题；
C、若△ABC是等腰三角形，若AC＝AB，则四边形ABCD不是菱形，原命题是假命题；
D、若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，是真命题；
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，与对角线BD分别交于点G，H，连接EH．若∠EAF＝45°，则下列判断错误的是（　　）

A．BE+DF＝EF
B．BG2+HD2＝GH2
C．E，F分别为边BC，CD的中点
D．AH⊥EH
【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，由旋转的性质可得AB＝AD，BM＝DF，∠DAF＝∠BAM，∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AF，由“SAS”可证△AME≌△AFE，可得EF＝ME，则EF＝BE+DF，故选项A不合题意；
将△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，此时AB与AD重合，可得AN＝AH，∠BAN＝∠DAH，∠ADH＝∠ABN＝45°，DH＝BN，由“SAS”可证△ANG≌△AHG，可得GH＝NG，由勾股定理可得DH2+BG2＝GH2，故B选项不合题意；
由∠EAF＝∠DBC＝45°，可证点A，点B，点E，点H四点共圆，可证AH⊥HE，故D选项不合题意，利用排除法可求解．
【解答】解：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，

由旋转可得：AB＝AD，BM＝DF，∠DAF＝∠BAM，∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AF，
∴∠ABM+∠ABE＝90°+90°＝180°，
∴点M，B，E在同一条直线上．
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAE＝90°﹣45°＝45°．
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAE＝45°．
即∠MAE＝∠FAE．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴EF＝BE+DF，故A选项不合题意，
如图2，将△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，此时AB与AD重合，

∴△ADH≌△ABN，
∴AN＝AH，∠BAN＝∠DAH，∠ADH＝∠ABN＝45°，DH＝BN，
∴∠NBG＝90°，
∴BN2+BG2＝NG2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAN+∠BAE＝45°＝∠NAE，
∴∠NAE＝∠EAF，
又∵AN＝AH，AG＝AG，
∴△ANG≌△AHG（SAS），
∴GH＝NG，
∴BN2+BG2＝NG2＝GH2，
∴DH2+BG2＝GH2，故B选项不合题意；
∵∠EAF＝∠DBC＝45°，
∴点A，点B，点E，点H四点共圆，
∴∠AHE＝∠ABE＝90°，
∴AH⊥HE，故D选项不合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．计算：＝　5　．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出即可．
【解答】解：原式＝3+2＝5．
故答案为：5．
12．若函数y＝2x+（1﹣m）是正比例函数，则m的值是　1　．
【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝2x+（1﹣m）是正比例函数，
∴1﹣m＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
13．（4分）车间生产同一种产品，某一星期日产量的情况如下：有2天是154件，有3天是152件，有2天是146件，那么车间这个星期日产量的众数是 　152件　．
【分析】根据众数的定义和题目的数据，可以直接写出车间这个星期日产量的众数．
【解答】解：∵有2天是154件，有3天是152件，有2天是146件，
∴车间这个星期日产量的众数是 152件，
故答案为：152件．
14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝28，AB＝10，则△OCD的周长为 　24　．

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝12，继而代入可求出△OCD的周长．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝14，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝14+10＝24．
故答案为：24．
15．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若∠EFG＝125°，那么∠FBG的度数为 　20°　．

【分析】由折叠的性质知：∠EFG＝∠EFC，∠DEF＝∠BEF，因为AD∥BC，那么∠EFC和∠DEF互补，可得出∠DEF的度数，进而可求得∠DEB的度数，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：由折叠的性质知，∠EFG＝∠EFC，∠DEF＝∠BEF，∠EBG＝∠D＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，
又∵∠EFG＝125°，
∴∠BEF＝∠DEF＝55°，
∴∠BED＝110°，
∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF＝180°，
∴∠EBF＝70°，
∴∠FBG＝90°﹣∠EBF＝20°．
故答案为：20°．
16．（4分）关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 　x1＝﹣2，x2＝3　．
【分析】可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，从而得到x+1＝﹣1，x+1＝4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
17．（4分）如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，点A在边DE上，若DE＝23，AD＝8，则AC＝　　．

【分析】连接BE，根据题意可以证明△AEB是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明AE2+AD2＝2AC2，即可求AC的值．
【解答】解：连接BE，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACE+∠ECB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠DCA＝∠ECB，且CE＝CD，CA＝CB，
在△DCA与△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，∠CEB＝∠CDA，
∴∠BEA＝∠CEB+∠CDA＝∠CEA+∠CDA＝90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴AE2+BE2＝AB2，
在Rt△ACB中，AC＝BC，AC2+BC2＝2AC2＝AB2，
∴2AC2＝AE2+BE2，
即AE2+AD2＝2AC2；
∵AD＝8，DE＝23，
∴AE＝DE﹣AD＝23﹣8＝15，
∴AC＝，
故答案为．
18．（4分）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为 　﹣6≤k≤1且k≠0　．
【分析】解不等式kx+3＞x﹣4，根据题意得出k﹣1＜0且﹣≥1且k≠0，解此不等式即可．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4，当x＜1时，y1＞y2，
∴kx+3＞x﹣4，
∴kx﹣x＞﹣7，
∴k﹣1＜0且﹣≥1且k≠0，
当k﹣1＜0时，﹣≥1时，k≥﹣6，
所以不等式组的解集为﹣6≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣6≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣6≤k≤1且k≠0．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（2）2x2+x＝3．
【分析】（1）移项后，左边提取公因式x﹣1，再进一步求解即可；
（2）移项后，左边利用十字相乘法因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝；
（2）∵2x2+x＝3，
∴2x2+x﹣3＝0，
则（x﹣1）（2x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1.5．
20．（10分）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下：

（1）填表：

平均数
中位数
众数
方差
甲
　7　
7.5
8
　2.2　
乙
7
　6.5　
　6　
1.2
（2）如果你是教练，你会选择谁参加正式比赛？请说明理由．
【分析】（1）先根据题意得出甲、乙10次的成绩，再根据平均数和方差、中位数及众数的概念求解即可．
（2）在平均数相等的情况下，从中位数、众数和方差的角度分析求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，甲10轮的成绩分别为：4、5、6、7、7、8、8、8、8、9，
乙10轮的成绩分别为：6、6、6、6、6、7、8、8、8、9，
∴甲的平均数为＝7，方差为×[（4﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+4×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.2，
乙成绩的中位数为＝6.5，众数为6，
补全表格如下：

平均数
中位数
众数
方差
甲
7
7.5
8
2.2
乙
7
6.5
6
1.2
（2）选择甲参加比赛，理由如下：
∵甲乙的平均成绩相同，而甲成绩的中位数大于乙，
∴甲成绩的高分次数多于乙．
∴选择甲参加比赛（答案不唯一，合理均可）．
21．（10分）已知一次函数y＝2x﹣4．
（1）求此函数图象与x轴的交点坐标；
（2）平移一次函数y＝2x﹣4的图象后经过点（﹣2，1），求平移后的函数表达式．

【分析】（1）求出直线与x轴的交点，画出函数图象，进而解答即可；
（2）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（﹣2，1）代入求出b的值即可得出结论．
【解答】解：（1）令y＝0，解得x＝2，
∴直线与x轴交点坐标为（2，0）；
（2）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，
将（﹣2，1）代入得：﹣4+b＝1，
∴b＝5．
∴平移后的直线函数表达式为y＝2x+5．

22．（11分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，若∠AFC＝90°，求证：AD＝AE．

【分析】（1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的性质得出AE＝BE＝DE，即可得出四边形AEBF是菱形；
（2）连接EF，由菱形的性质得出AE＝BE＝AF＝BF，证出△AEF和△BEF是等边三角形，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BD，BF∥AC，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC＝BD，
∴AE＝BE＝DE，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）连接EF，

∵四边形AEBF是菱形，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∵∠AFG＝90°，AE＝EC，
∴EF＝AE＝EC，
∴AE＝EF＝AF＝EB＝BF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠BEF＝60°，
∴∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE．
23．（11分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．
（1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
（2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．

【分析】（1）设三角点阵中前x行的点数和是276，根据前x行的点数和是276，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值；
（2）根据前n行的点数和是600，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值，再结合n为正整数，即可得出各n值均不符合题意，即这个三角点阵中前n行的点数和不能是600．
【解答】解：（1）设三角点阵中前x行的点数和是276，
依题意得：1+2+3+……+x＝276，
即＝276，
整理得：x2+x﹣552＝0，
解得：x1＝23，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．
答：三角点阵中前23行的点数和是276．
（2）不能，理由如下：
依题意得：1+2+3+……+n＝600，
即＝600，
整理得：n2+n﹣1200＝0，
解得：n1＝，n2＝．
又∵n为正整数，
∴n1＝，n2＝均不符合题意，
∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是600．
24．（12分）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是0.5cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），y与x的对应关系如图②所示．
（1）在图①中，AB＝　3　cm，矩形ABCD的周长为 　18　cm；
（2）判断图②中原点O，点M以及点N是否在同一直线上，并说明理由．

【分析】（1）过点E作EH⊥BC于H，根据函数图象各点实际意义得出BE，EH，ED及BC边长然后求解．
（2）先由点N的实际意义求出点N坐标，再通过待定系数法求解出MN的直线解析式，再将（0，0）代入即可判断是否在同一直线上．
【解答】解：（1）从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10秒，y＝7.5cm2，
如图所示：过点E作EH⊥BC于H，此时，BE＝BQ＝0.5×10＝5cm，

由三角形面积公式得：y＝BQ•EH＝×5•EH＝7.5cm2，
解得：EH＝AB＝3cm，
∴AE＝＝＝4cm，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，此时DE＝0.5×4＝2cm，
∴AD＝AE+DE＝4+2＝6（cm），
∴矩形的周长为2×（6+3）＝18；
故答案为：3，18；
（2）原点O、点M以及点N在同一直线上．理由如下：
Q运动到C所用时间为6÷0.5＝12s，
此时△BPQ的面积为：BC•CD＝12×6×3＝9cm2，
∴点N坐标为（12，9）．
设MN所在直线解析式为y＝kx+b，
将M（10，7.5），N（12，9）代入解析得：
，
解得：k＝0.75，b＝0，
∴y＝0.75x，
当x＝0时，y＝0，
∴y＝0.75x．
∴原点O、点M以及点N在同一直线上．
25．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点H为DF中点．
（1）若∠BAE＝30°，求DH的长；
（2）作CG⊥AE，垂足为G，当CG＝时，求∠BAE的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线GH交CD于M，求CM的长．

【分析】（1）如图1中，证明点F与C重合，可得结论．
（2）如图2中，连接AC．证明△ACG是等腰直角三角形，可得结论．
（3）如图3中，证明∠DHM＝30°，∠HDM＝15°过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT＝DH，连接HT（见左边图），求出DM，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC＝CD＝AD＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE⊥BC，此时点F与C重合，
∴DH＝CD＝1．

（2）如图2中，连接AC．

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∵CG⊥AE，CG＝，
∴AG＝＝，
∴AG＝CG＝，
∴∠CAG＝45°，
∴∠BAE＝∠∠CAG＝60°﹣45°＝15°．

（3）如图3中，

由翻折可知，∠BAE＝∠EAF＝15°，
∴∠BAF＝30°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠FAD＝90°，
∵AD＝AB＝AF＝2，
∴DF＝2，
∵DH＝HF，
∴AH＝DF＝，∠FAH＝∠DAH＝45°，AH⊥DF，
∵AG＝，
∴AH＝AG＝，
∵∠EAF＝15°，
∴∠GAH＝60°，
∴∠AHG＝60°，
∵∠AHD＝90°，
∴∠DHM＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ADC＝60°，∠ADH＝45°，
∴∠HDM＝60°﹣45°＝15°
过点H作HQ⊥DM交DM的延长线于Q，在DM上取一点T，使得DT＝DH，连接HT（见左边图），
∵∠QMH＝∠D+∠MHD＝45°，
∴HQ＝QM，
设HQ＝QM＝m，
∵TH＝TD，
∴∠D＝∠THD＝15°，
∴∠HTQ＝∠D+∠THD＝30°，
∴TH＝DT＝2m，QT＝m，
∵HQ2+DQ2＝DH2，
∴m2+（2m+m）2＝2，
∴m＝，
∴DQ＝，QM，
∴DM＝DQ﹣QM＝1，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣1＝1．
26．（13分）已知，平面直角坐标系xOy中，以A（3，0），B（0，4），O（0，0）为顶点的三角形被直线l：y＝mx﹣2m分成两部分．设靠近原点部分的面积为S．
（1）若m＝﹣1，求S的值；
（2）设直线l分别与x轴、直线AB交于P、Q两点，当S＝5时，求线段PQ的长；
（3）求S关于m的函数解析式．
【分析】（1）将m＝﹣1代入直线l：y＝mx﹣2m得y＝﹣x+2，求出y＝﹣x+2与两坐标轴的交点坐标，即可求解；
（2）根据题意可得直线定过点（2，0），可得点P的坐标；根据面积的和差，可得△PQA的面积，根据三角形的面积公式，可得Q点的坐标，可得答案；
（3）分两种情况讨论①与线段OB相交，②与线段AB相交，分别求出即可．
【解答】解：（1）如图：

若m＝﹣1，则直线l：y＝mx﹣2m＝﹣x+2，
∴直线l：y＝﹣x+2与两坐标轴的交点坐标为：（0，2），（2，0），
∴S＝×2×2＝2；

（2）y＝mx﹣2m，
x＝2时，y＝0，即（2，0）
∴直线y＝mx﹣2m经过一定点P（2，0）；
∵A（3，0），B（0，4），
∴直线AB：y＝﹣x+4，

设直线y＝mx﹣2m交直线AB：y＝﹣x+4于Q，由题知，
△PQA的面积＝×3×4﹣5＝1，
即S△PQA＝yQ•PA＝×1•yQ＝1，
解得yQ＝2，
当yQ＝2时，﹣x+4＝2，解得x＝，即Q（，2），
∴PQ＝＝；

（3）∵直线AB的方程为y＝﹣x+4（0≤x≤3），
直线y＝mx﹣2m经过一定点P（2，0），分两种情况讨论：
①直线y＝mx﹣2m与线段OB相交，设交点为E，则靠近原点O一侧的图形是三角形．

在方程y＝mx﹣2m中，令x＝0，得y＝﹣2m＞0，
所以S＝×OE×Op＝×（−2m）×2＝−2m，
由0＜OE≤4，所以﹣2≤m＜0，
∴S＝−2m（−2≤m＜0）；
②直线y＝mx﹣2m与线段BA相交，设交点为D，则靠近原点O一侧的图形是四边形．

由解得D点坐标为（，），
所求四边形面积为S＝S△OAB﹣S△DPA，
S＝×3×4−×1×＝，
由D在线段BA上，所以，解得m＜﹣2或m＞0，
所以S＝（m＜﹣2或m＞0），
综上得S＝−2m（−2≤m＜0）或S＝（m＜﹣2或m＞0）．