山西省太原市2020_2021学年八年级下学期期末考试数学试题（word版含答案）

这是一份山西省太原市2020_2021学年八年级下学期期末考试数学试题（word版含答案），共28页。试卷主要包含了填空题把答案写在题中横线上．，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山西省太原市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置．
1．计算•的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．山西省教育厅官网是省教育厅在国际互联网上发布政务信息和提供在线服务的综合平台．下面是该官网上四个栏目的标志，其中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an B．m2+m＝m（m+1）
C．m2﹣1+m＝（m+1）（m﹣1）+m D．（m+1）2＝（m+1）（m+1）
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
5．已知﹣3a＞﹣3b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0
6．如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．180°
7．将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
9．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
10．学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　）

A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．30+（3﹣0.5）x≥300
C．﹣0.5≤3 D．0.5+≥3
二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上．
11．分式有意义的条件是 　 　．
12．学校内的一条小路是用不同的多边形地砖铺成的．其中一块地砖的形状是七边形，则其内角和是 　 　．

13．如图，△ABC中，AB＝BC＝8cm，将△ABC沿BC平移3cm得到△DEF，AC与DE相交于点G，则GE的长为 　 　cm．

14．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段a天内共接待游客m万人次，第二时段b天内共接待游客3m万人次，则这两个时段内平均每天接待游客 　 　万人次．
15．已知，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 　 　题．
A．如图1，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，则AD的长为 　 　．
B．如图2，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，连接AD，CD，若AD＝AC，则CD的长为 　 　．

三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
16．将下列各式分解因式：
（1）x2y﹣2xy2+y3；
（2）a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）．
17（1）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3；
（2）解方程：＝﹣1．
18如图，已知∠MON＝30°，点A是射线OM上的一点．
（1）求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中线段AB的延长线上取点C，使BC＝AB，连接OC．按要求补全图形并证明AC＝OC．

19如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣1），B（2，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）请在图中画出与△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1　　，B1　　，C1　　；
（2）将点A1，B1，C1的横坐标分别加5，纵坐标分别减2，依次得到点A2，B2，C2，请在图中画出△A2B2C2；
（3）若点P（m，n）是△ABC内的任意一点，点P经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为P2，则点P2的坐标为 　　（用含m，n的式子表示）．

20已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点B，D分别作对角线AC的垂线，垂足为点E，F．求证：BE＝DF．

21“我是宝剑，我是火花，我愿生如闪电之耀亮，我愿死如彗星之迅忽．”这是山西党团组织的创始人高君宇的一首言志诗．在中国共产党成立100周年之际，八年级全体师生前往位于娄烦县峰岭底村的高君宇故居纪念馆参观．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到高君宇故居纪念馆的路程是150km，2号车的平均速度是1号车平均速度的倍．
（1）求1号车从学校到目的地所用的时间；
（2）参观结束之后，同学们分组进行了党史小剧场展演活动．为鼓励大家，学校决定从当地购买A，B两种纪念品共40件奖励给参演同学．已知A种纪念品的单价为12元/件，B种纪念品的单价为10元/件，且A种纪念品数量不少于B种的．求购买A种纪念品多少件可使购买纪念品的总价最少．

22请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图
“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知：点P是线段AB的中点，分别以PA，PB为边在AB的同侧作△PAC与△PBD，其中CA＝CP，DP＝DB，∠ACP＝∠PDB．求作：线段PC的中点E．

按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点！（如图2）．证明如下：连接CD．
∵CA＝CP，∴∠CAP＝∠CPA．（依据1）
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP＝180°，∴∠CAP＝．
同理，∠DPB＝．
∵∠ACP＝∠PDB，∴∠CAP＝∠DPB，∴AC∥PD．
∵P是AB的中点，∴AP＝BP．
∴△APC≌△PBD，∴AC＝PD．
∴四边形APDC是平行四边形．（依据2）
∴CE＝PE，∴E是PC的中点．
任务：（1）写出上述证明过程中依据1与依据2的内容：
依据1：　　；
依据2：　　；
（2）如图3，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，请利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 　　题．
A．求作：△ABQ，使△ABQ的面积与平行四边形ABCD的面积相等．
B．求作：△ADQ，使△ADQ的面积与平行四边形ABCD的面积相等．
23综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB＝AC，DE＝DF，点A，D在EF的同侧，点B，C在线段EF上，连接DA并延长DA交EF于点O，已知DO⊥EF．将△DEF从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（△ABC保持不动），旋转角为α．
数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中BE＝CF，请证明这个结论；
操作探究：（2）如图2，当0°＜α＜180°时，“笃行小组”的同学连接线段AD，BE．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 　　题．
A．①猜想AD，BE满足的数量关系，并说明理由；
②若OE＝AB＝2，请直接写出α＝45°时，C，E两点间的距离；
B．①猜想AD，BE满足的位置关系，并说明理由；
②若OE＝AB＝2，请直接写出点F落在AC延长线时，C，F两点间的距离．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算•的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的乘法法则计算即可：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
【解答】解：，
故选：A．
2．山西省教育厅官网是省教育厅在国际互联网上发布政务信息和提供在线服务的综合平台．下面是该官网上四个栏目的标志，其中的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项合题意．
故选：D．
3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an B．m2+m＝m（m+1）
C．m2﹣1+m＝（m+1）（m﹣1）+m D．（m+1）2＝（m+1）（m+1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A．从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形是幂的意义，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝2.5，
故选：C．
5．已知﹣3a＞﹣3b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：∵﹣3a＞﹣3b，
∴a＜b，
∴a﹣b＜0，
故选：C．
6．如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（　　）

A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】连接OA、OB、OF，由正六边形的性质得出∠AOB＝∠AOF＝60°，进而即可求解．
【解答】解：连接OA、OB、OF，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF＝＝60°，
∴将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转60°，BA与AF重合，
∴旋转角的最小度数为60°，
故选：A．

7．将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＜3，
由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：

故选：D．
8．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
【分析】依据角平分线的性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
9．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
【分析】由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB＝CD，OA＝OC，不能证明△AOB≌△COD，
因此不能得出OB＝OD，故选项A符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
同选项B得：△OAD≌△COB（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项D不符合题意；
故选：A．
10．学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　）

A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．30+（3﹣0.5）x≥300
C．﹣0.5≤3 D．0.5+≥3
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时得出不等式解答即可．
【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，根据题意可得：30+（3﹣0.5）x≥300，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．分式有意义的条件是 　x≠2　．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式有意义，
则x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案是：x≠2．
12．学校内的一条小路是用不同的多边形地砖铺成的．其中一块地砖的形状是七边形，则其内角和是 　900°　．

【分析】根据多边形内角和公式即可求解．
【解答】解：七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900°．
13．如图，△ABC中，AB＝BC＝8cm，将△ABC沿BC平移3cm得到△DEF，AC与DE相交于点G，则GE的长为 　5　cm．

【分析】根据平移的性质得BE＝3cm，AB∥DE，从而得到∠EGC＝∠BCA，进而即可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC平移3cm得到△DEF，
∴BE＝3cm，AB∥DE，
∴∠A＝∠EGC，
∵AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝∠BCA，
∴∠EGC＝∠BCA，
∴GE＝EC＝BC﹣BE＝5cm．
故答案为：5．
14．今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段a天内共接待游客m万人次，第二时段b天内共接待游客3m万人次，则这两个时段内平均每天接待游客 　　万人次．
【分析】分别表示出两个时间段的人数，相加除以总天数即可；
【解答】解：两个时间段接待游客总人数为：am+2bm，
两个时间段平均每天接待游客人数为：，
故答案为：．
15．已知，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 　A　题．
A．如图1，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，则AD的长为 　4﹣3　．
B．如图2，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，连接AD，CD，若AD＝AC，则CD的长为 　　．

【分析】A、由旋转的性质可得BD＝BC，∠DBC＝60°，可证DA是BC的中垂线，可得BE＝EC＝4，DE⊥BC，∠BDE＝∠CDE＝30°，由勾股定理和直角三角形的性质可求解；
B、由旋转的性质可得BD＝BC，可证BA是CD的中垂线，利用勾股定理列出等式，即可求解．
【解答】解：选择A，如图1，连接DC，延长DA交BC于E，

∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB＝DC，
又∵AB＝AC，
∴DA是BC的中垂线，
∴BE＝EC＝4，DE⊥BC，∠BDE＝∠CDE＝30°，
∴DE＝BE＝4，AE＝＝＝3，
∴AD＝4﹣3，
故答案为：A，4﹣3；
选择B，如图2，延长BA交CD于F，

∵将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，
∴BD＝BC，
又∵AD＝AC，
∴BA是DC的中垂线，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∵CF2＝BC2﹣BF2，CF2＝AC2﹣AF2，
∴BC2﹣（AB+AF）2＝AC2﹣AF2，
∴AF＝，
∴CF＝，
∴CD＝，
故答案为．
三．解答题
16．将下列各式分解因式：
（1）x2y﹣2xy2+y3；
（2）a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）．
【分析】（1）先提公因式y，再利用完全平方公式即可；
（2）先提公因式（a﹣b），再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；
（2）原式＝（a﹣b）（a2﹣b2）
＝（a﹣b）（a﹣b）（a+b）
＝（a+b）（a﹣b）2．
17（1）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3；
（2）解方程：＝﹣1．
【考点】分式的化简求值；解分式方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；（2）x＝﹣．
【分析】（1）先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值；
（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：（1）原式＝[]
＝
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝；
（2）去分母，得：2x＝﹣3﹣（x﹣1），
去括号，得：2x＝﹣3﹣x+1，
移项，合并同类项得：3x＝﹣2，
系数化1，得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣1≠0，
∴x＝﹣是原分式方程的解．
18如图，已知∠MON＝30°，点A是射线OM上的一点．
（1）求作：直线l，使l经过点A，且l⊥ON于点B（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中线段AB的延长线上取点C，使BC＝AB，连接OC．按要求补全图形并证明AC＝OC．

【考点】作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画图；
（2）先利用OB垂直平分AC得到OA＝OC，再根据等腰三角形的性质得到OB平分∠AOC，所以∠AOC＝60°，然后判断△AOC为等边三角形，从而得到AC＝OC．
【解答】解：（1）如图，直线l为所作；

（2）如图，∵AB⊥ON，AB＝BC，
∴OB垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB平分∠AOC，
∴∠COB＝∠AOB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC＝OC．
19如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，﹣1），B（2，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）请在图中画出与△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1　　，B1　　，C1　　；
（2）将点A1，B1，C1的横坐标分别加5，纵坐标分别减2，依次得到点A2，B2，C2，请在图中画出△A2B2C2；
（3）若点P（m，n）是△ABC内的任意一点，点P经过（1）（2）中的两次变换后的对应点为P2，则点P2的坐标为 　　（用含m，n的式子表示）．

【考点】作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（﹣3，1），（﹣2，4），（﹣6，3）；
（2）见解答；
（3）（﹣m+5，﹣n﹣2）．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据坐标的变化规律写出点A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
（3）先写出点P关于原点对称的对应点P1的坐标，然后把点P1的横坐标分别加5，纵坐标分别减2得到点P2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（﹣3，1），B1（﹣2，4），C1（﹣6，3）；
故答案为（﹣3，1），（﹣2，4），（﹣6，3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）点P（m，n）关于原点对称的对应点P1的坐标为（﹣m，﹣n），把点P1的横坐标分别加5，纵坐标分别减2得到点P2的坐标为（﹣m+5，﹣n﹣2）．
故答案为（﹣m+5，﹣n﹣2）．
20已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点B，D分别作对角线AC的垂线，垂足为点E，F．求证：BE＝DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】答案见证明．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得出∠DAF＝∠BCE，由AAS证明△BCE≌△DAF，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC＝∠DFA，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（AAS），
∴BE＝DF．
21“我是宝剑，我是火花，我愿生如闪电之耀亮，我愿死如彗星之迅忽．”这是山西党团组织的创始人高君宇的一首言志诗．在中国共产党成立100周年之际，八年级全体师生前往位于娄烦县峰岭底村的高君宇故居纪念馆参观．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到高君宇故居纪念馆的路程是150km，2号车的平均速度是1号车平均速度的倍．
（1）求1号车从学校到目的地所用的时间；
（2）参观结束之后，同学们分组进行了党史小剧场展演活动．为鼓励大家，学校决定从当地购买A，B两种纪念品共40件奖励给参演同学．已知A种纪念品的单价为12元/件，B种纪念品的单价为10元/件，且A种纪念品数量不少于B种的．求购买A种纪念品多少件可使购买纪念品的总价最少．

【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】行程问题；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】（1）2.5小时；（2）18件．
【分析】（1）设1号车的平均速度是xkm/h，则2号车的平均速度是xkm/h，根据“1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地”列出方程，求解即可；
（2）设购买A种纪念品a件，则购买B种纪念品（40﹣a）件，购买纪念品的总价为w元．根据A种纪念品数量不少于B种的列出不等式a≥（40﹣a），求出a的范围．根据购买纪念品的总价＝A种纪念品的单价×A种纪念品的件数+B种纪念品的单价×B种纪念品的件数，得出w关于a的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设1号车的平均速度是xkm/h，则2号车的平均速度是xkm/h，
根据题意得，＝+0.5，
解得：x＝60．
经检验，x＝20是原方程的解．
则＝2.5（小时）．
答：1号车从学校到目的地所用的时间为2.5小时；

（2）设购买A种纪念品a件，则购买B种纪念品（40﹣a）件，购买纪念品的总价为w元．
根据题意得，a≥（40﹣a），
解得，a≥17，
由题意，w＝12a+10（40﹣a）＝2a+400，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a取最小值18时，w有最小值．
答：购买A种纪念品18件可使购买纪念品的总价最少．
22请阅读下列材料，完成相应的任务：
无刻度直尺作图
“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．
如图1，已知：点P是线段AB的中点，分别以PA，PB为边在AB的同侧作△PAC与△PBD，其中CA＝CP，DP＝DB，∠ACP＝∠PDB．求作：线段PC的中点E．

按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点！（如图2）．证明如下：连接CD．
∵CA＝CP，∴∠CAP＝∠CPA．（依据1）
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP＝180°，∴∠CAP＝．
同理，∠DPB＝．
∵∠ACP＝∠PDB，∴∠CAP＝∠DPB，∴AC∥PD．
∵P是AB的中点，∴AP＝BP．
∴△APC≌△PBD，∴AC＝PD．
∴四边形APDC是平行四边形．（依据2）
∴CE＝PE，∴E是PC的中点．
任务：（1）写出上述证明过程中依据1与依据2的内容：
依据1：　　；
依据2：　　；
（2）如图3，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，请利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 　　题．
A．求作：△ABQ，使△ABQ的面积与平行四边形ABCD的面积相等．
B．求作：△ADQ，使△ADQ的面积与平行四边形ABCD的面积相等．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—尺规作图的定义．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）等边对等角；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）A、B；图见解答．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行四边形的判定方法求解；
（2）如图3，延长AE交BC的延长线于E，证明△ADE≌△QCE得到S△ADE＝S△QCE，从而得到△ABQ的面积与平行四边形ABCD的面积相等；如图4，利用对角线的交点O与E点确定AB的中点F，再利用同样方法确定BC的中点H，延长DH交AB的延长线于Q，则△ADQ满足条件．
【解答】解（1）依据1：等边对等角；
依据2：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
故答案为等边对等角；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）选择A题．
如图3，△ABQ为所作．

如图4，△ADQ为所作．

故答案为A、B．
23综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，AB＝AC，DE＝DF，点A，D在EF的同侧，点B，C在线段EF上，连接DA并延长DA交EF于点O，已知DO⊥EF．将△DEF从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（△ABC保持不动），旋转角为α．
数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中BE＝CF，请证明这个结论；
操作探究：（2）如图2，当0°＜α＜180°时，“笃行小组”的同学连接线段AD，BE．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 　　题．
A．①猜想AD，BE满足的数量关系，并说明理由；
②若OE＝AB＝2，请直接写出α＝45°时，C，E两点间的距离；
B．①猜想AD，BE满足的位置关系，并说明理由；
②若OE＝AB＝2，请直接写出点F落在AC延长线时，C，F两点间的距离．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）A①AD＝BE，理由见解析，②；B①AD⊥BE，理由见解析，B②．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可证OB＝OC，OE＝OF，则OE﹣OB＝OF﹣OC即可证明；
（2）若选A，①通过SAS证明△OBE≌△OAD即得；②过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，在△COE中，已知两边一角，解三角形即可；
若选B，①如图，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，通过SAS证明△OBE≌△OAD即得；②过O点作OQ⊥AF于点Q，则△OCQ为等腰直角三角形，QO＝QC＝1，在Rt△OQF中，利用勾股定理即可．
【解答】（1）证明：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵AO⊥BC，
∴OB＝OC＝OA，
同理可证明OE＝OF＝0D，
∴OE﹣OB＝OF﹣OC，
∴BE＝CF，
（2）A①：AD＝BE，理由如下：
∵∠AOB＝∠EOD＝90°，
∴∠BOE＝∠AOD，
在△OBE和△OAD中，

∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴AD＝BE，
A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，
当旋转角α＝45°时，∠BOE＝45°，∠COE＝135°，
∵AB＝AC＝2
由勾股定理得：，
∴OC＝，
如图所示，在Rt△EHO中，OE＝2，
∴HE＝HO＝，

在Rt△EHC中，由勾股定理得：
CE＝＝＝；
B①：AD⊥BE，
如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，
∵∠AOB＝∠EOD＝90°，
∴∠BOE＝∠AOD，
在△OBE和△OAD中，

∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴∠BEO＝∠ADO，
∵∠EQP＝∠AQO，

∴∠EPQ＝∠QOD，
∴AD⊥BE，
B②：过O点作OQ⊥AF于点Q，

则△OCQ为等腰直角三角形，QO＝QC＝1，
在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ＝＝，
∴CF＝．