福建省龙岩市上杭县2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份福建省龙岩市上杭县2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限B．第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省龙岩市上杭县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．要使二次根式有意义，a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
2．下列各点中，在直线y＝2x上的点是（　　）
A．（1，1） B．（2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）
3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
4．下列根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
6．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．校园歌手赛中，7位评委打分得到了一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，那么对比原数据，下列结论一定正确的是（　　）
A．新数据的中位数一定不变
B．新数据的平均数一定变大
C．新数据的方差一定变小
D．新数据的众数一定不变
8．一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线经过（　　）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
9．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
10．a＝2019×2021﹣2019×2020，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．化简：＝　 　．
12．已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x图象上的两个点，则y1　 　y2（填＞，＜或＝）．
13．已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　 　．
14．如图是一次函数y＝kx+b的图象，则关于x的方程kx+b＝0的解是 　 　．

15．某组数据方差的计算公式是：S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]，则该组数据的总和为 　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE、CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCG的面积为　 　．

三、解答题：本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）×+|﹣1|+（3﹣π）0；
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．
求证：四边形AECF是平行四边形．

19．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

20．（8分）贫困户马大爷家，在村干部的帮助下办起了一个养鸡场，办场时买来的一批小鸡，经过一段时间的精心饲养全部成活为商品鸡，可以出售了．为按质定价，将这些商品鸡按质量等次分成A（1.0kg），B（1.2kg），C（1.5kg），D（1.8kg），E（2.0kg）五个等次（各等次按该等次的平均重量统计），下图是这些商品鸡出售时重量数据的部分统计图．

（1）求马大爷家办场时买的小鸡只数；
（2）补全直方图；
（3）求马大爷家这一批商品鸡的平均重量．
21．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．

22．（10分）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了30桶A，B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学，已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式；
（2）在现有资金不超过8200元的情况下，求可消杀的最大面积．
23．（10分）若一次函数y＝a1x+b1（a1≠0，a1、b1是常数）与y＝a2x+b2（a2≠0，a2、b2是常数），满足a1+a2＝0且b1+b2＝0，则称这两函数是对称函数．
（1）当函数y＝mx﹣2与y＝3x+n是对称函数，求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+5图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于x轴对称，过点A，C的直线解析式是y＝kx+b，求证：函数y＝﹣3x+5与y＝kx+b是对称函数．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE
（1）求证：CE＝AD
（2）若D为AB的中点，则∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．

25．（14分）如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．

（1）求出A，B，C三点的坐标．
（2）求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年福建省龙岩市上杭县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．要使二次根式有意义，a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的范围，结合选项解答即可．
【解答】解：由题意得：a+1≥0，
解得：a≥﹣1，
四个选项中的数据，只有﹣1符合题意，
故选：A．
2．下列各点中，在直线y＝2x上的点是（　　）
A．（1，1） B．（2，1） C．（2，﹣2） D．（1，2）
【分析】把四个选项代入y＝2x，选择满足条件的选项．
【解答】解：把（1，2），（2，1），（2，﹣2），（1，1）代入y＝2x上，只有（1，2）满足条件．
故选：D．
3．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可．
【解答】解：A.32+42＝52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+122＝132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.92+122＝152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．下列根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，可得答案．
【解答】解：A.，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
B.，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
C.，与的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
D.，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
故选：C．
5．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝2．
故选：D．
6．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，所以该四边形是正方形．
【解答】解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
7．校园歌手赛中，7位评委打分得到了一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，那么对比原数据，下列结论一定正确的是（　　）
A．新数据的中位数一定不变
B．新数据的平均数一定变大
C．新数据的方差一定变小
D．新数据的众数一定不变
【分析】根据中位数、平均数、方差和众数的概念进行判断，即可得出结论．数据排序后，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数不变．
【解答】解：A．新数据的中位数一定不变，故本选项说法正确，符合题意；
B．新数据的平均数不一定变大，故本选项说法错误，不合题意；
C．新数据的方差不一定变小，故本选项说法错误，不合题意；
D．新数据的众数不一定不变，故本选项说法错误，不合题意；
故选：A．
8．一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣5，kb＝6，那么该直线经过（　　）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】首先根据k+b＝﹣5、kb＝6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．
【解答】解：∵k+b＝﹣5、kb＝6，
∴k＜0，b＜0
∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限，
故选：D．
9．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
10．a＝2019×2021﹣2019×2020，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【解答】解：a＝2019×2021﹣2019×2020
＝2019（2021﹣2020）
＝2019；
∵20222﹣4×2021
＝（2021+1）2﹣4×2021
＝20212+2×2021+1﹣4×2021
＝20212﹣2×2021+1
＝（2021﹣1）2
＝20202，
∴b＝2020；
∵＞，
∴c＞b＞a．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．化简：＝　5　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：＝5．
故答案为：5．
12．已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x图象上的两个点，则y1　＞　y2（填＞，＜或＝）．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到函数图象的变化趋势，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1，
∴y随x的增大而减小，
∵P1（﹣2，y1）、P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x+1图象上的两个点，﹣2＜1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
13．已知菱形的两条对角线的长分别是8和6，则该菱形的周长是　20　．
【分析】根据菱形对角线平分且垂直的性质及勾股定理求得其边长，则其周长就不难求得了．
【解答】解：如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且BD＝8，AC＝6，求菱形的周长．
∵菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，AO＝CO＝3，
∴AB＝5，
∴菱形的周长＝5×4＝20．
故答案为：20．

14．如图是一次函数y＝kx+b的图象，则关于x的方程kx+b＝0的解是 　x＝﹣2　．

【分析】一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程kx+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣2．
故答案为x＝﹣2．
15．某组数据方差的计算公式是：S2＝[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]，则该组数据的总和为 　40　．
【分析】样本方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
【解答】解：由S2＝×[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x10﹣4）2]知共有10个数据，这10个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为：10×4＝40，
故答案为：40．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE、CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCG的面积为　2　．

【分析】△BCG的面积＝S正方形ABCD﹣S阴影﹣S四边形FDEG，计算出正方形的面积，再由比例求出阴影部分的面积，最后证明两个三角形全等求出S△BCG＝S四边形FDEG，即可求出△BCG的面积．
【解答】解：如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴SABCD＝4×4＝16，
又∵S阴影：S正方形ABCD＝3：4，
∴S阴影＝×S正方形ABCD＝×16＝12，
∴S空白＝16﹣12＝4，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴S△BCE＝S△CDF，
又∵S△BCE＝S△BCG+S△CGE
S△CDF＝S四边形FDEG+S△CGE，
∴S△BCG＝S四边形FDEG，
又∵S空白＝S△BCG+S四边形FDEG＝4，
∴S△BCG＝×4＝2．
故答案为2．
三、解答题：本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）×+|﹣1|+（3﹣π）0；
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3
＝；

（2）原式＝3+﹣1+1
＝4．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．
求证：四边形AECF是平行四边形．

【分析】在▱ABCD中，AD＝BC，又BE＝DF，可得AF＝EC，得出AF平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形
∴AD＝BC．
又∵BE＝DF，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）填空：线段AB＝　　，BC＝　2　，AC＝　5　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：（1），，AC＝5．
故答案为：，2，5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
20．（8分）贫困户马大爷家，在村干部的帮助下办起了一个养鸡场，办场时买来的一批小鸡，经过一段时间的精心饲养全部成活为商品鸡，可以出售了．为按质定价，将这些商品鸡按质量等次分成A（1.0kg），B（1.2kg），C（1.5kg），D（1.8kg），E（2.0kg）五个等次（各等次按该等次的平均重量统计），下图是这些商品鸡出售时重量数据的部分统计图．

（1）求马大爷家办场时买的小鸡只数；
（2）补全直方图；
（3）求马大爷家这一批商品鸡的平均重量．
【分析】（1）根据等次C的频数和所占的百分比，可以求得马大爷家办场时买的小鸡只数；
（2）根据直方图中的数据和（1）中的结果，可以求得等次D的频数，然后即可将直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出马大爷家这一批商品鸡的平均重量．
【解答】解：（1）马大爷家办场时买的小鸡有：400÷40%＝1000（只），
即马大爷家办场时买的小鸡有1000只；
（2）等次D有：1000﹣120﹣200﹣400﹣80＝200（只），
补全的直方图如右图所示；
（3）×（120×1.0+200×1.2+400×1.5+200×1.8+80×2.0）＝1.48（kg），
即马大爷家这一批商品鸡的平均重量是1.48kg．

21．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．

【分析】（1）利用角平分线的性质，作∠BAC的平分线交BC于P点，则P点满足条件；
（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到PB＝PE，利用正方形的性质得到AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，所以AC＝4，接着证明Rt△ABP≌Rt△AEP得到AE＝AB＝4，所以CE＝4﹣4，然后利用∠PCE＝45°得到PE＝CE＝4﹣4，从而得到BP的长．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；

（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，则PB＝PE，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△ABP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），
∴AE＝AB＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣4，
在Rt△PCE中，∵∠PCE＝45°，
∴PE＝CE＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4．
22．（10分）“群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了30桶A，B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学，已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式；
（2）在现有资金不超过8200元的情况下，求可消杀的最大面积．
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据现有资金不超过8200元，可以求得x的取值范围，再根据题意，可以得到消杀面积与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到可消杀的最大面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝300x+200（30﹣x）＝100x+6000，
即y与x之间的关系式为y＝100x+6000（0＜x＜30且x为整数）；
（2）∵现有资金不超过8200元，
∴100x+6000≤8200，
解得，x≤22，
设可消杀的面积为S米2，
S＝2000x+1000（30﹣x）＝1000x+30000，
∴S随x的增大而增大，
∴当x＝22时，S取得最大值，此时S＝52000，
即可消杀的最大面积是52000米2．
23．（10分）若一次函数y＝a1x+b1（a1≠0，a1、b1是常数）与y＝a2x+b2（a2≠0，a2、b2是常数），满足a1+a2＝0且b1+b2＝0，则称这两函数是对称函数．
（1）当函数y＝mx﹣2与y＝3x+n是对称函数，求m和n的值；
（2）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+5图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于x轴对称，过点A，C的直线解析式是y＝kx+b，求证：函数y＝﹣3x+5与y＝kx+b是对称函数．
【分析】（1）根据题中对称函数的定义，得到m+2＝0，﹣3+n＝0，即可求出m与n的值；
（2）对于一次函数y＝﹣3x+5，令x＝0求出y的值，确定出B的坐标；令y＝0求出x的值，确定出A的坐标，再由C与B关于x轴对称，求出C的坐标，将A与C的坐标代入y＝kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k＝3，b＝﹣5，确定出直线AC的解析式为y＝3x﹣5，根据题中对称函数的定义，即可得证．
【解答】解：（1）∵函数y＝mx﹣2与y＝3x+n是对称函数，
∴由题意可知，
解得；
（2）对于一次函数y＝﹣3x+5，
令x＝0，解得y＝5；令y＝0，解得x＝，
∴A（，0），B（0，5），
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，﹣5），
将A与C的坐标代入y＝kx+b中得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝3x﹣5，
∵﹣3+3＝0，5+（﹣5）＝0，
∴函数y＝﹣3x+5与y＝kx+b是对称函数．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE
（1）求证：CE＝AD
（2）若D为AB的中点，则∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．

【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）当∠A＝45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
25．（14分）如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上．

（1）求出A，B，C三点的坐标．
（2）求直线CD的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，联立直线l1，l2的解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标；
（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，则△ACF≌△CDO，利用全等三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分OC为对角线及OC为边两种情况考虑：①若OC为对角线，由菱形的性质可求出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②若OC为边，设点P的坐标为（m，2m+6），分CP＝CO和OP＝OC两种情况，利用两点间的距离公式可得出关于m的方程，解之取其负值，再将其代入点P的坐标中即可得出点P2，P3的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）；
当y＝0时，﹣x+6＝0，解得：x＝12，
∴点B的坐标为（12，0）；
联立直线l1，l2的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点A的坐标为（6，3）．
（2）过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，如图1所示．
∵四边形ACDE为正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°．
∵∠ACF+∠DCO＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠DCO＝∠CAF．
在△ACF和△CDO中，，
∴△ACF≌△CDO（ASA），
∴CF＝DO．
∵A（6，3），C（0，6），
∴CF＝6﹣3＝3，
∴点D的坐标为（﹣3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将C（0，6），D（﹣3，0）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝2x+6．
（3）存在，分两种情况考虑（如图2）：
①若OC为对角线，PQ，OC互相垂直平分，
∴此时点P的纵坐标为OC＝3，
当y＝3时，2x+6＝3，解得：x＝﹣，
∴点P1的坐标为（﹣，3）；
②若OC为边，设点P的坐标为（m，2m+6），
当CP＝CO时，m2+（2m+6﹣6）2＝62，
解得：m1＝﹣，m2＝（舍去），
∴点P2的坐标为（﹣，6﹣）；
当OP＝OC时，m2+（2m+6）2＝62，
解得：m3＝﹣，m4＝0（舍去），
∴点P3的坐标为（﹣，﹣）．
综上所述：在平面内存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（﹣，3），（﹣，6﹣）或（﹣，﹣）．