山东省潍坊市奎文区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份山东省潍坊市奎文区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市奎文区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．函数y＝中自变量的取值范围（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
2．下列说法正确的是( )
A．“概率为0．0001的事件”是不可能事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
D．“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件
3．如图，的半径为3，为弦，若，则的长为（ ）

A． B．1 C．1.5 D．
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）

A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．9月份该厂利润达到200万元 D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
7．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）

A．65° B．60° C．58° D．50°
8．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
9．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
10．如图，、分别是的边、上的点，，且、分别为、边上靠近点的三等分点，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
11．如图，是正八边形的外接圆，则下列四个结论中正确的是（ ）

A．的度数为
B．
C．为等边三角形
D．
12．二次函数（，，为常数，）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，给出的四个结论中正确的有（ ）

A． B．
C． D．时，方程有解

三、填空题
13．已知平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为，点的对应点为点，则点的坐标为_______________．（写出一个即可）

14．若，是一元二次方程的两个实数根，则__________．
15．如图，为了测量河宽，先在A处测得对岸点在其北偏东方向，然后沿河岸直行100米到点，在点测得对岸点在其北偏西方向，则河宽是__________米．（结果保留根号）

16．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为___．

17．如图，A、分别是反比例函数图象上的两点，连接OA，，分别过点A、作轴的垂线，垂足分别为、，且交于点，若，则的值为__________．

18．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.


四、解答题
19．已知二次函数（为常数）．
（1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）求其图象与直线交点的横坐标．
20．某市为了解八年级学生数学学习状况，以的比例随机抽取了八年级部分学生进行了数学测试（满分100分），测试后将成绩绘制成两幅不完整的统计图表，如下图表所示，测试成绩中没有满分和低于20分的成绩．请根据统计图表中的信息解决下列问题：
八年级数学频数、频率分布表
分数段
频数
频率

2
0.008

8
0.032




85
0.340


0.260

48
0.192

5
0.020

2
0.008

（1）直接写出表中，的值，并补全频数分布直方图；
（2）若把成绩在范围内的学生视为数学“特长生”，估计该市八年级学生中有多少名数学“特长生”？
（3）在“”和“”分数段的4名同学中，男女各有2名，现从中随机选取两人进行座谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，，且点的横坐标是该点纵坐标的2倍．该一次函数与轴交于点，与轴交于点．

（1）求点的坐标及一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
22．如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
23．某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元/个）之间满足一次函数关系．销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表：
销售单价（元/个）
60
65
70
75
日销售量（个）
180
130
80
30
日销售利润（元）
1800
1950
1600
750
注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）
（1）求关于的函数表达式；
（2）该产品的成本价是__________元/个，求日销售利润的最大值；
（3）直接写出单价满足什么条件时，销售利润不低于1920元．
24．如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影区域的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与轴交于点，连接．点是位于轴上方抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
利用二次根式的性质得到x﹣1≥0，求解即可得到答案.
【详解】
解：由题意的x﹣1≥0，
解得x≥1.
故选B.
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质：被开方的数大于等于0.
2．D
【分析】
根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可．
【详解】
在一定条件下，不可能发生的事件叫不可能事件；一定会发生的事件叫必然事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
A、“概率为的事件”是随机事件，此项错误
B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，此项错误
C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此项错误
D、“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查了不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义，掌握理解相关定义是解题关键．
3．A
【分析】
连接和，根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】
解：连接、，
∵，
∴，
∵的半径为3，
∴的长为，
故选：A．

【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长的计算，注意：①如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为，②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
4．D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可．
【详解】
根据题意得且，
解得且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5．D
【分析】
求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【详解】
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵的对称点为，且，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．
6．D
【分析】
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】
解：A、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．
D、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
7．B
【分析】
连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．

【点睛】
本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．C
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案．
【详解】
解：、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率为，故此选项不符合题意；
．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为，故此选项符合题意；
．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率为，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
9．B
【分析】
先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：①当双曲线在二、四象限时，
则﹣k＜0，
∴k＞0，
∴抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上；
②当双曲线在一、三象限时，
则﹣k＞0，
∴k＜0，
∴抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；
故选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
10．AC
【分析】
先由判断，，再用对应边成比例以及、分别为、边上靠近点的三等分点，即可判断A、B，再用等高三角形面积之比等于底边之比、相似三角形面积比等于相似比的平方即可判断C、D．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∵、分别为、边上靠近点的三等分点，
∴，，，
∴．
故答案为：AC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，清楚等高三角形面积之比等于底边之比，相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．
11．BD
【分析】
连接，，求出正八边形的中心角，得到，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到A错误；由勾股定理求得，可得B正确；由，可得C错误；由于，可得，于是得到D正确．
【详解】
解：连接，

∵，
∴，
∴的度数为，
∴A错误；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴B正确；
∵，
∴C错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴D正确；
故答案为：B，D．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
12．BCD
【分析】
根据抛物线与轴有两个交点，可知，即可判断A选项；根据时，，即可判断B选项；根据对称轴，即可判断C选项；D．根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大即可判定D．
【详解】
解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的负半轴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，即，故A错误；
由图象可知，时，，
∴，故B正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，故C正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为，
∴（为任意实数），即时，方程有解．故D正确．
故选BCD．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像等知识点，掌握二次函数的性质与解析式的关系是解答本题的关键．
13．或
【分析】
利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点坐标．
【详解】
解：∵平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以为位似中心，点的对应点为点，位似图形与原图形的位似比为，
∴点的坐标为：或即或．
故答案为：或．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及平行四边形的性质，正确得出C点坐标是解题关键．
14．2021
【分析】
利用一元二次方程的根与系数的关系求得，的值，并将其代入所求的代数式求值即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：2021．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
15．
【分析】
设，由，，，进而得到△BCD为等腰直角三角形，△ACD为30°，60°，90°三角形，由三边之比分别为和结合AB=100即可求出AD和BD，进而求解．
【详解】
解：设米，
由题意得：，，，
∴，
∴米，米，
∵米，
∴，
解得：，
即河宽是米，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、方位角等相关知识点，属于基础题，计算过程中细心即可．
16．
【分析】
正方形的面积减去两个半圆等于S1+S3或S2+S4，然后再用正方形面积减去(S1+S3+S2+S4)，即可得阴影部分面积，再除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】
如图所示，设空白部分面积分别为S1，S2，S3，S4

S1+S3=S正方形ABCD-2S半圆=
同理可得S2+S4=
∴S阴影=S正方形ABCD-(S1+S3+S2+S4)=
则落在阴影部分的概率P=
故答案为：
【点睛】
本题考查求概率，采用面积差的方法求出阴影部分面积是解题的关键．
17．
【分析】
设，根据可表示出点坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式求出点横坐标和纵坐标，再用含的式子分别表示出和的长，即可求出的值．
【详解】
设，，
∵且轴，
∴，
设直线的解析式为：，
将点代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵点为直线与反比例函数的交点，
联立方程得：，
解得：（舍去），，
∴点B横坐标为，
∴点B纵坐标为，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查反比例函数与正比例函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征及待定系数法求函数解析式是解题关键．
18．.
【分析】
A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】
连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．

根据垂径定理，得到BE=


∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
【点睛】
正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
19．（1）；（2）5或-1．
【分析】
（1）根据题意得，，即可求解；
（2）根据题意得，，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得，，
∴；
（2）根据题意得，，
解得，，，
∴图象与直线交点的横坐标为5或-1．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20．（1）0.14，35，图见解析；（2）400；（3）．
【分析】
（1）用整体1减去其它分数段的频率求出，根据的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数乘以各自的频率求出，的值，最后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以“特长生”所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出选中一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1），
抽取的总人数为：（人），
（人），
（人）．
补全统计图如下：

（2）（人），
答：该市八年级学生中有400名数学“特长生”．
（3）用、表示两名男生，用、表示两名女生，画树状图如图：

共有12种等可能的情况，恰好一男一女的种类有8种，
所以恰好选中一男一女的概率是．
【点睛】
本题考查的是列举法（树形图法）求概率和频数分布直方图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
21．（1）点的坐标为，一次函数的解析式为；（2）；（3）或．
【分析】
（1）根据点的横坐标是点的纵坐标的2倍，且，结合勾股定理，即可求出点的坐标，代入从而求出的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，由直线求得的坐标为，根据求得即可；
（3）观察函数图象，根据、点的坐标即可求得．
【详解】
解：（1）如图，过点作轴于点，在中，设，，
，
，
点的坐标为，
把代入得，，
设一次函数的解析式为：，把代入得：，
一次函数的解析式为；
（2）由得点坐标为，
由直线可知，点坐标为，，
，
；
（3）由图象可知，不等式的解集为．

【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形求面积法求出的面积；（3）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．
22．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由四边形是矩形，可得，即可证明；
（2）由可表示出的长度，再由矩形的面积，即可求出与之间的函数表达式．
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，设，AN⊥HG
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出的长度是解决本题的关键．
23．（1）；（2）50，最大为1960元；（3）当时，销售利润不低于1920元．
【分析】
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可找出关于的函数表达式；
（2）利用产品的成本单价＝销售单价﹣每个的利润可求出产品的成本单价，由日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）列出函数解析式，根据函数的性质求最值；
（3）根据销售利润不低于1920元列出关于的一元二次不等式，解不等式即可．
【详解】
解：（1）设关于的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴关于的函数表达式为；
（2）由表中数据知，当时，，，
∴该产品的成本价为（元/个），
故答案为：50；
根据题意得，，
∴，
∴当时，最大为1960元；
（3）由题意得：，
即，
解得：，
∴当时，销售利润不低于1920元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用以及一元二次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出二次函数解析式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次不等式．
24．（1）直线与相切，理由见解析；（2）6；（3）．
【分析】
（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解；
（2）由是直径得出，进而得到，，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，求出，在根据锐角三角函数定义求出，即得，再根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可根据求解；
（3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可．
【详解】
（1）证明：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴是的切线；

（2）解：∵是直径，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
这道题考查的是平行的性质和判定、相似的性质和判定、切线的判定、圆的相关概念以及扇形的面积等．综合运用以上概念是解题的关键 ．
25．（1）；（2）存在，或；（3）存在，的坐标为．
【分析】
（1）把、代入求出、的值即可求出该函数表达式；
（2）设，表示出、的长，分或两种情况讨论即可找到的坐标；
（3）连接交于点，把四边形分成两部分，表示出即可根据二次函数最值找到的坐标．
【详解】
解：（1）把、代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）∵，，，
∴，，
∴设，
∴，，
若，则有，
即：，
解得：，（舍去），
∴，
若，则有，
即：，
解得：，（舍去），
∴，
综上，点坐标为或．
（3）连接交于点，

由，得直线的表达式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点的坐标为．
【点睛】
本题属于二次函数综合大题，考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．