2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：解直角三角形（解析卷）

这是一份2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：解直角三角形（解析卷），共59页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（三角形）
----解直角三角形
一、选择题
1. （2021•深圳）计算的值为（ ）【解答】C
A． B．0 C． D．
2. （2021•湖北省宜昌市）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，再利用余弦的定义可得cos∠ABC＝＝＝．
【解答】解：法一、如图，

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．

3. （2021•山东省泰安市）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）

A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【分析】作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，在Rt△ADH中求出DH，再在Rt△EFB中求出EF，在Rt△EFC中求出CF即可解决问题．
【解答】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．

在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50米，
在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
故选：A
4（2021•湖北省随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
.
5. （2021•株洲市） 某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确个数为（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C


6. （2021•浙江省金华市）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）

A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC,
∴BD＝DC,
∴cosα＝＝,
∴DC＝2cosα(米），
∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。
故选：A．


7. （2021•浙江省温州市）．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　）

A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝,可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2,代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1,
在Rt△OAB中，sinα＝,
∴OB＝,
在Rt△OBC中，
OB3+BC2＝OC2,
∴OC6＝()2+22＝．
故选：A．

8. （2021•重庆市B）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长．
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50，
∴CE＝120，
∵BC＝150，
∴BE＝150﹣120＝30，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7．
故选：D．

9. （2021•重庆市A）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）

A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m
【答案】C
【解析】
【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可．
【详解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
故选：C．

10. （2021•湖北省十堰市）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD•tan30°＝15×＝5，
∴CE＝CD＋DE＝．
故选：D．

11. ．（2021•福建省）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）

A．2km B．3km C．km D．4km

12. （2021•云南省）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（　　）
A． B． C．60 D．80

13. （2021•吉林省长春市）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

14. （2021•山东省威海市） 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin3618＇，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据计算器按键顺序计算即可．
【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为D选项，
故选：D．

15. 2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）【解答】C

A． B． C． D．
16. （2021•湖南省衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）

A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
故选：D．

二．填空题
1. （2021•浙江省杭州）计算：sin30°＝　　．
【分析】根据sin30°＝直接解答即可．
【解答】解：sin30°＝．
2.（2021•甘肃省定西市）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝　6　cm．

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，再根据矩形的性质得出AD∥BC,∠B＝90°,然后解直角三角形ABE即可．
【解答】解：∵∠AED＝90°F是AD边的中点，EF＝4，
∴AD＝2EF＝8,
∵∠EAD＝30°,
∴AE＝AD•cos∠30°＝8×＝4,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,∠B＝90°,
∴∠BEA＝∠AED＝30°,
在Rt△ABE中，
BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6(cm),
故答案为：6．

3. （2021•湖北省武汉市）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【分析】过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据正弦的定义求出AE即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，
由题意得，∠CBA＝60°，
∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝AB＝12nmile，
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，
∴AE＝AD•sin∠ADE＝6≈10.5（nmile），
故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，
故答案为10.4．


4. （2021•山西）太原地铁 2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于 2020 年 12 月 26 日开通.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 AB 的坡度i = 5 :12 （ i 为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端 A 以 0.5 米/ 秒的速度用时 40 秒到达扶梯顶端 B，则王老师上升的铅直高度 BC 为 米





5. （2021•广东省）如题图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．

【答案】
【解析】作，在中，
由等积法可得
易得，,,
∴
∴


6. （2021•四川省乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可
【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD=米
故答案为：
7. 2021•湖北省荆州市）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．


8. （2021•四川省广元市）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

【答案】
【解析】
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．

9. （2021•四川省乐山市）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．
【答案】或或2
【解析】
【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．
详解】解：情形1：，则，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
情形2：，则，，，

∵，
∴，
∴，解得；
情形3：，则，，，

∵，
∴；
故答案为：或或2．

10. （2021•新疆）如图，已知正方形ABCD边长1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分別交BD，CD于点M，N．若，则__________．

【答案】

11.（2021•湖北省黄冈市）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，则建筑物BC的高约为 　24.2　m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）

【分析】根据正切的定义列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x+8＝x•tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.7（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
故答案为：24.2．
12. （2021•广西玉林市）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．

【答案】北偏东50°（或东偏北40°）

13. （2021•浙江省宁波市）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________．

【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．
【详解】解： 与关于直线对称，矩形













矩形


为的中点，



如图， 四边形都是矩形，






设 则

解得：
经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去，


故答案为：

14. （2021•湖北省黄石市）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）

【答案】10.5

【解析】
【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．
【详解】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，CF=＝2，
由题意得∠E=45°，
∴EF=DF=2，
∴BE=BC+CF+EF=5+2+2=7+2，
∴AB=BE×tanE=（7+2）×1≈10.5米，
故答案为：10.5．
15. （2021•湖北省江汉油田） 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是_______（，结果保留整数）

【答案】20
【解析】
【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，

由题意得：，，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．

16. （2021•江苏省无锡市））一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．

17. （2021•浙江省衢州卷）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，．
（1）椅面CE的长度为_________cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）

【答案】 (1). 40 (2). 12.5

三、解答题
1.(2021·安徽省)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．

【答案】53.76cm2
【解析】
【分析】首先证明，通过解和，求出AE，BE，CF，BF，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图，

四边形AEFD为矩形， ，
∴EF//AB，

∵，
∴，
∵
∴

在中，．


又

同理可得，



答：零件的截面面积为53.76cm2
2. （2021•岳阳市）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．

（1）求山脚到河岸的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）
（参考数据：，，）
【答案】（1）24m；（2）53.3m

3. （2021•江苏省连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边的距离为．

4. （2021•江苏省南京市）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）

【答案】52m
【解析】
【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，
根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．
【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．
∵∠FCD=90°，
∴四边形CEBF是矩形，
∵BE⊥CD，，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∴矩形CEBF是正方形．
设CE=BE=xm，
在Rt△BDE中，
m，
∵，
∴，
解得x=48，
∴CE=BE=48m，
∵四边形CEBF是正方形，
∴CF=BF=48m，
∵在Rt△ACD中，m，
∴AF=CF-AC=20m，
∴在Rt△ABF中，m，
∴A，B两点之间的距离是52m．

5. （2021•宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

【答案】无人机飞行的高度约为14米．
【解析】
【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．
【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，

由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝，
∵∠APE＝30°，
∴sin30°＝，
解得：x＝≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米．
6. （2021•湖南省常德市）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为，已知小明目高米，距旗杆的距离为15.8米，小刚目高米，距小明24.2米，求国旗的宽度是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：）

【答案】国旗的宽度是1.6米．
【解析】
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．解直角三角形DME得DM的长，即可求出DG，再解三角三角形CNF得CN的长，即可求出CG，利用CG-DG即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，
∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米），
在Rt△DME中，
∴
∴（米），
∴（米）；
在Rt△CNF中，
∴，即（米），
∴（米），
∴（米）
答：国旗的宽度是1.6米．
7. （2021•怀化市）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈

【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：

则FC＝AD＝20米，AF＝DC，
在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50（米），
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan∠ABD＝＝tan22°≈，
∴BD≈AD＝（米），
∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），
即大桥BC的长约为41.7米．

8. 2021•江西省）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

【分析】(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,根据解直角三角形cos∠BMH＝＝＝0.4,即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．
【解答】解：(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,过点M作MI⊥FG,垂足为I，过点P作PK⊥DE,垂足为K,
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝0.4,
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP,
∴∠BMH+∠ABC＝180°,
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
(2)∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．
∵∠BMN＝68.6°,∠BMH＝66.4°,
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°,
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝,
∴MI≈19.74cm，
∵KI＝50cm,
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

9. （2021•山东省聊城市） 时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【答案】420米
【解析】
【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．
【详解】解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．
由题意得，＝37°．
在R△CDE中
∵，
，．
，
．
∴四边形 BEDF 是矩形，
∴BE＝DF，BF＝DE＝160，
∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
在Rt△ADF中，，
∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.
∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．
所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．


10. （2021•山东省临沂市）（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．
【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，
∴OM＝＝4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，
∴△COM∽△BOD，
∴，即，
∴BD＝＝2.25（m），
∴tan∠AOD＝tan70°＝，
即≈2.75（m），
解得：AB＝6m，
∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．
11. （2021•陕西省）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线（结果保留根号）

【分析】本题设AD＝x,在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度．
【解答】解：在△ADC中，设AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
在△ADB中，AD⊥BD，
∴AD＝BD•tan30°，
即x＝(16+x)，
解得：x＝2+8，
∴AB＝7AD＝2×（8）＝16，
∴钢索AB的长度约为（16）m．

12. （2021•上海市）已知在中，，，为边上的中线．

（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．

13. （2021•山西省中考）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）．



【分析】
过点作于点，交直线于点；过点B作于点，于点，此时构造出两个矩形和，根据矩形的性质可得，，，进而求得的度数，在，中，利于三角函数即可求得，的长度，最终求得AH的值即为指示牌最高点到地面的距离．
【详解】
解：过点作于点，交直线于点；
过点作于点，于点；


则四边形和四边形均为矩形．
∴，，，
∴．
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∴．
∴．
答：指示牌最高点到地面的距离为．
14. （2021•山东省菏泽市）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．



15. （2021•绥化市）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据）

【答案】点到水平地面的距离约为．
【解析】
【分析】过作交于，过作交延长线于，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案．
【详解】解：过作交于，过作交延长线于，如下图所示：

在中，，
由30°所对直角边等于斜边的一半可知，，
，
，
，
，
，
在中：，代入数据：
，

∴四边形是矩形，
，
，
，
又已知，
在中：，
，
，
故点到水平地面的距离约为．

16. （2021•四川省达州市）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

【分析】过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，根据正弦、余弦的定义求出CE、BE，可得DG的值，根据正切的定义求出AG，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，

在Rt△CEG中，∠BEC＝30°，
∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米）≈24×1.73≈41.52（米），
∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），
在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.5×0.70＝48.44（米），
∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），
答：桥墩AB的高约为72.2米．

17. （2021•四川省广元市） 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．

（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
【答案】（1）米；（2）秒
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；
（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．
【详解】解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，


可知四边形EHBC为矩形，
∴EH=CB，CE=HB，
∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，
∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，
∴∠CDE=∠ECD=45°，
∴CE=DE，
设CE=DE=HB=x，
∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，
在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，
即，
解得：x=30，
∴DH=
∴此时无人机的高度为米；
（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，
过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），


∴；
∵，
∴
∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠CAB=30°，
∴,
∴,
因为无人机速度为5米/秒，
所以所需时间（秒）；
所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

18. （2021•四川省眉山市））“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）

【分析】过C作CF⊥AD于F，则AF＝CE，证△BCE是等腰直角三角形，得BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，再由锐角三角函数定义得AE＝x米，然后由AE﹣BE＝AB得x﹣x＝20，解方程，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则AF＝CE，
由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，
∴AE＝x米，
∵AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x≈16.4，
∴AF≈16.4（米），
∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），
即这栋建筑物的高度为43.6米．


19. （2021•青海省）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）

【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，

∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，
∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB•cos∠A＝1×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，
∴CF＝CD•sin∠D＝1×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD•cos∠D＝1×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝EM，
∴四边形BEMC是平行四边形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝.05，
∴EM＝＝≈1.4，
答：B与C之间的距离约为1.4米．


20. （2021•泸州市）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里．

（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时．
【解析】
【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）过C作CE⊥AB于E，
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25，
在Rt△ACE中，
AE=CE=AC=25=25(海里)，
在Rt△BCE中，
BC=2CE=50(海里)，BE==25 (海里)，
∴观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，
∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，
∴四边形BFCE为矩形，
∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)，
在Rt△CDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)，
∴CD=70(海里)，
救援船到达C点需要的最少时间为(小时)．
．
21. （2021•浙江省嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为＝π；
（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即点D到直线EF的距离为7.3cm,
【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D转动到点D′的路径长为＝π；
（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，如图：

Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,
Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,
∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,
∵BD'∥EF,
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm,
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
22. （2021•浙江省宁波市） 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．

（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
【答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【解析】
【分析】（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵B为中点，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点B作于点E．

∵，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．
23. （2021•浙江省绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，C是转动点，且AB
（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．
（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．

【分析】（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°，再根据DE＝CP＝CQ+PQ可得答案；
（2）当B,C,D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断．
【解答】解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q

∵∠ABC＝143°，
∴∠CBQ＝53°，
在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，
∵CD∥l，
∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．
（2）当B,C,D共线时

BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，
在Rt△ABD中，AB²+AD²＝BD²，
∴AD＝120cm＞110cm．
∴手臂端点D能碰到点M．
24.. （2021•湖北省荆门市）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．


25. （2021•江苏省盐城市）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】（1）利用锐角三角函数可求CF的长，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求CN的长，由线段和差关系可求MN的长，CM的长，由锐角三角函数可求CD的长．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，

∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，

∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD＝＝≈58（cm），
答：CD的长为58cm．
26. （2021•北京市）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．


【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
27. （2021•海南省）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．
（1）填空：∠BCD＝　 　度，∠AEC＝　 　度；
（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．

【分析】（1）根据平行线的性质即可求得，通过2个角的差即可求出；
（2）延长交于点F，通过解直角三角形，分别求出、的长度即可求解．
【详解】（1）



（2）如图，延长交于点F，则，过点C作，垂足为G．
则，




在中，
，



在中，
，


答：信号塔的高度为米．