2021学年第一章 常用逻辑用语练习题

第一章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+(n≥3),则a5等于(　　)

A. B. C.4 D.5

答案A

解析a3=a2+=3+1=4,a4=a3+=4+,a5=a4+.

2.公比为3的等比数列{an}的各项都是正数,且a3·a11=36,则a5等于(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析∵a3·a11==36,∴a7=6,∴a5=.

3.等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数也为定值的是(　　)

A.S7 B.S8 C.S13 D.S15

答案C

解析∵a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3a1+18d=3(a1+6d)为常数,

∴a1+6d为常数.

∴S13=13a1+d=13(a1+6d)也为常数.

4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11等于(　　)

A.58 B.88 C.143 D.176

答案B

解析S11==88.

5.数列{(-1)n·n}的前2 019项的和S2 019为(　　)

A.-2 017 B.-1 010

C.2 017 D.1 010

答案B

解析S2019=-1+2-3+4-5+…+2018-2019=(-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2018-2019)=(-1)+(-1)×1009=-1010.

6.若{an}是等比数列,其公比是q,且-a5,a4,a6成等差数列,则q等于(　　)

A.1或2 B.1或-2

C.-1或2 D.-1或-2

答案C

解析由题意得2a4=a6-a5,即2a4=a4q2-a4q,而a4≠0,∴q2-q-2=0,即(q-2)(q+1)=0.∴q=-1或q=2.

7.一个首项为23,公差为整数的等差数列,从第7项开始为负数,则它的公差是(　　)

A.-2 B.-3 C.-4 D.-6

答案C

解析由题意,知a6≥0,a7<0.

∴

∴-≤d<-.

∵d∈Z,∴d=-4.

8.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(　　)

A.55 986只 B.46 656只

C.216只 D.36只

答案B

解析设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则数列{an}是公比为6的等比数列,故a6=a1q5=6×65=46656.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知数列{an}满足a1=-,an+1=,则下列各数是{an}的项的有(　　)

A.-2 B. C. D.3

答案BD

解析∵数列{an}满足a1=-,an+1=,

∴a2=,

a3==3,

a4==-,

∴数列{an}是周期为3的数列,且前3项为-,3.故选BD.

10.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是(　　)

A.a10=0

B.当n=9或10时,Sn取最大值

C.|a9|<|a11|

D.S6=S13

答案AD

解析∵a1+5a3=S8,

∴a1+5(a1+2d)=8a1+d,

∴a1=-9d,

故a10=a1+9d=0,故A正确;

该数列的前n项和Sn=na1+d=n2-dn,它的最值还跟d有关,

不能推出当n=9或10时,Sn取最大值,故B错误;

∵|a9|=|a1+8d|=|-d|=|d|,|a11|=|a1+10d|=|d|,故有|a9|=|a11|,故C错误;

由于S6=6a1+d=-39d,S13=13a1+d=-39d,故S6=S13,故D正确.故选AD.

11.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,则下列说法正确的是(　　)

A.数列{an}的前n项和为Sn=

B.数列{an}的通项公式为an=

C.数列{an}为递增数列

D.数列为递增数列

答案AD

解析∵an+4Sn-1Sn=0(n≥2),

∴Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0(n≥2),

∵Sn≠0,∴=4(n≥2),

∴数列是以=4为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D正确;

∴=4+4(n-1)=4n,

∴Sn=,即A正确;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-,

所以an=即BC不正确.故选AD.

12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a6a7>1,<0,则下列结论正确的是(　　)

A.0<q<1 

B.0<a6a8<1

C.Sn的最大值为S7 

D.Tn的最大值为T6

答案ABD

解析∵a1>1,a6a7>1,<0,

∴1<a6,0<a7<1.∴=q∈(0,1),a6a8=∈(0,1),Sn没有最大值,Tn的最大值为T6.

故选ABD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),则S2n+3=　　　　. 

答案1-

解析由题意,得S2n+3=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+2+a2n+3)=1++…+1-.

14.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1+2Sn+1Sn=0,则a3=　　　　,Sn=　　　　. 

答案-

解析数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1+2Sn+1Sn=0,

则Sn+1-Sn=-2SnSn+1(n∈N+),

可得=2,

所以是等差数列,首项为1,公差为2,

所以=1+2(n-1)=2n-1,

Sn=,n∈N,

a3=S3-S2==-.

15.数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 017=　　　　. 

答案1 008

16.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500 m以外的公路边埋栽,在500 m处埋栽1根,然后沿公路一侧每隔50 m埋栽1根.已知运输车辆每次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车辆总的行程最少为　　　　 m. 

答案14 000

解析由近往远运送,第一次运2根,以后每次运3根,这种运法运输车辆总的行程最少.由近往远运送,每次来回行驶的距离构成一个等差数列,记为{an},其前n项和为Sn,则a1=1100,d=300,n=7,所以S7=7×1100+×300=14000.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N+.

(1)求证:an-是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明由已知得

an+1-an-an-.

∵a1=,∴a1-.

∵an-是以为首项,为公比的等比数列.

(2)解由(1)知,an-是以为首项,为公比的等比数列,

∴an-·n-1,

∴an=·n-1+.

18.(12分)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=21,S15=-75,Tn为数列的前n项和,求Tn的最大值.

解设等差数列{an}的公差为d,

则Sn=na1+n(n-1)d.

∵S7=21,S15=-75,

∴

解得

∴Sn=na1+d=9n-(n2-n)=10n-n2,

∴=10-n.

∵=-1,

∴数列是以9为首项,-1为公差的等差数列,

∴Tn==-n2+n

=-n-2+(n∈N+).

故当n=9或n=10时,Tn有最大值45.

19.(12分)已知{an}是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:

(1)原数列的第12项是新数列的第几项?

(2)新数列的第29项是原数列的第几项?

解因为数列{an}中,a1=2,a2=3,d=a2-a1=3-2=1,

所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.

设新数列为{bn},公差为d',

据题意知b1=2,b5=3,

则d'=,

所以bn=2+(n-1)×.

(1)a12=12+1=13,令=13,得n=45,

故原数列的第12项是新数列的第45项.

(2)b29==9,令n+1=9,得n=8,

故新数列的第29项是原数列的第8项.

20.(12分)已知{an}是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和.

(1)求通项an及Sn;

(2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.

解(1)因为{an}是首项a1=19,公差d=-2的等差数列,所以an=19-2(n-1)=-2n+21,

Sn=19n+·(-2)=-n2+20n.

(2)由题意知bn-an=3n-1,

所以bn=3n-1+an=3n-1-2n+21,

所以Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+.

21.(12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N+)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.

解(1)设{an}的公比为q.

由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.

解得q=(舍去),q=2.

因为a1q2=8,所以a1=2.

所以{an}的通项公式为an=2n.

(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.

所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.

22.(12分)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.

(1)求等差数列{an}的通项公式;

(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.

解(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,

由题意得

解得

所以等差数列的通项公式为an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.

故数列{an}的通项公式为an=-3n+5或an=3n-7.

(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;

当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.

故|an|=|3n-7|=

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n=1时,S1=|a1|=4;

当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;

当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|

=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)

=5+

=n2-n+10.

当n=2时,满足上式;当n=1时,不满足上式.

综上,Sn=