2020-2021学年北京高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年北京高二（上）期中数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 圆x2+y2+2y=1的半径为（ ）
A.1B.2C.2D.4

2. 如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则用向量a→，b→，c→可表示向量BD1→为（ ）
A.a→+b→+c→B.−a→+b→+c→C.a→−b→+c→D.−a→+b→−c→

3. 直线x+y−3=0的倾斜角为（ ）
A.45∘B.60∘C.120∘D.135∘

4. 关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是（ ）
A.若a // M，b // M，则a // bB.若a // M，b⊥a，则b⊥M
C.若b⊂M，且b⊥a，则a⊥MD.若a⊥M，a // N，则 M⊥N

5. 椭圆x2m−2+y2m+5=1的焦点坐标是（ ）
A.(±7, 0)B.(0, ±7)C.(±7, 0)D.(0, ±7)

6. 已知直线l1:ax+y+2=0和直线l2:x+ay+2=0平行，则实数a的值为（ ）
A.1B.−1C.−1和1D.23

7. “a=−3”是“圆x2+y2=1与圆(x+a)2+y2=4相切”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8. 在正方体ABCD−A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45∘的点P的个数为（ ）

A.0B.3C.4D.6
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

在空间直角坐标系中点A＝(−1, 1, −2)关于x轴的对称点的坐标是________．

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=43x，那么该双曲线的离心率为________．

三棱锥P−ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1V2=________．

已知直线y＝kx+2k−1过定点，则定点的坐标为________．

由直线y=x上一点向圆(x−4)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为________．

数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：(x2+y2)3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：
①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2+y2)3＝16x2y2(xyb>0)长轴长是短轴长的2倍，M(3,12)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；

（2）若过椭圆的左焦点的直线l与椭圆C相交所得弦长为2，求直线l的斜率；

（3）过点P(1, 0)的任意直线与椭圆C交于A、B两点，设点A、B到直线l0:x＝x0(x0>2)的距离分别为dA、dB，若dAdB=|PA||PB|，求x0的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年北京某校高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
【解析】
把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
【解答】
解：圆x2+y2+2y=1化为标准方程为x2+(y+1)2=2，
故半径等于2，
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用空间向量的平行六面体法则即可得出．
【解答】
解：BD1→=BA→+BC→+BB1→=−AB→+AD→+AA1→=−a→+b→+c→．
故选：B．
3.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．
【解答】
由直线x+y−3=0，可得直线的斜率为k＝−1，
设其倾斜角为α，(0∘≤α=m→⋅n→|m→||n→|=12×3=66
所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值66．
(Ⅲ)在棱DC上存在一点N，
设N(x, y, z)且DN→=λDC→，0≤λ≤1，
x=2−2λ,y=2λ,z=2−2λ，
MN→=(2−2λ,2λ,2−2λ)
若直线MN与平面EMC所成的角为60∘，则cs⟨MN→,m→>=2−2λ+2(2−2λ)32(1−λ)2+2λ2+4(1−λ)2=sin60=32
解得：λ=12，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．
四、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
【答案】
−6或12
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
A(3, 2)和B(−1, 4)两点到直线mx+y+3＝0的距离相等，可得|3m+2+3|m2+1=|−m+4+3|m2+1，化简解出即可得出．
【解答】
∵ A(3, 2)和B(−1, 4)两点到直线mx+y+3＝0的距离相等，
∴ |3m+2+3|m2+1=|−m+4+3|m2+1，
化为：(2m−1)(m+6)＝0，
解得m=12或m＝−6．
【答案】
12
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
根据正方体的平面展开图，画出它的直观图，然后根据∠EFB是异面直线EF与MN所成的角，求出cs∠EFB即可．
【解答】
根据正方体的平面展开图，画出它的直观图如图所示，
连接BF，BE，由MN // BF，得∠EFB是异面直线EF与MN所成的角，
则△EFB是正三角形，∴ ∠EFB＝60∘，
∴ cs∠EFB=12．
∴ 异面直线EF与MN所成角的余弦值为12．
【答案】
4,1
【考点】
椭圆的定义
【解析】
|PF1|⋅|PF2|=(a−ex)(a+ex)=a2−e2x2，根据二次函数，由此可求出|PF1|⋅|PF2|的最大值和最小值．
【解答】
解：由焦半径公式|PF1|=a−ex，|PF2|=a+ex
|PF1|⋅|PF2|=(a−ex)(a+ex)=a2−e2x2=−34x2+4
∵ x∈[−2, 2]
∴ 当x=0时，|PF1|⋅|PF2|的最大值是4
当x=2或−2时，|PF1|⋅|PF2|的最小值是1
答案：4，1．
【答案】
5
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可知，有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，
【解答】
解：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，
故答案为 5
【答案】
118
【考点】
平面向量在解析几何中的应用
三角形的面积公式
棱柱的结构特征
【解析】
根据面面平行的性质确定P的轨迹边界，从而得出轨迹图形．
【解答】
解：∵ D1P→=xD1F→+yD1E→(x≥0, y≥0)，
∴ D1，E，F，P四点共面，
设D1，E，F，P四点确定的平面为α，则α与平面BCC1B1的交线与D1F平行，
①当F与D重合时，取BC的中点M，连接EM，DM，则EM // D1F，
则此时P的轨迹为折线D1−D−M−E，
②当F与A重合时，EB // D1F，
此时P的轨迹为折线D1−A−B−E，
∴ 当F在棱AD上运动时，符合条件的P点在正方体表面围成的图形为Rt△D1AD，直角梯形ABMD，Rt△BME．
∴ S=12×1×1+12×(12+1)×1+12×12×12=118．
故答案为：118.
【答案】
[
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
实数x，y满足的方程为优弧，求2x+y的取值范围，利用线性规划的思想可以直接解决．
【解答】
由2(x2+y2)−2(x+y)−1＝0，(x≥0, y≥0)，
可得：(x−12)2+(y−12)2=1(x≥0, y≥0)，圆心(12, 12)，半径为1，
由图
由图象可知：
设t＝2x+y，则：1=|1+12−t|5，
∴ t=32+5或t=32−5，
所以2x+y∈[32−5,32+5]．
五、解答题（本大题共2小题，共26分）
【答案】
∵ x2+y2−2x−4y+m＝0，
∴ (x−1)2+(y−2)2＝5−m，
又∵ 曲线C表示圆，
∴ 5−m>0，即m