2020-2021学年辽宁省高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年辽宁省高二（上）期中数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1. 已知椭圆方程为4x2+2y2＝1，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.

2. 已知平面α上三点A(3, 2, 1)，B(−1, 2, 0)，C(4, −2, −1)，则平面α的一个法向量为（ ）
A.(4, −9, −16)B.(4, 9, −16)C.(−16, 9, −4)D.(16, 9, −4)

3. 若直线x−y=2被圆(x−a)2+y2=4所截得的弦长为22，则实数a的值为( )
A.−1或3B.1或3C.−2或6D.0或4

4. 当a为任意实数，直线(a−1)x−y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（ ）
A.(x+1)2+(y+2)2=5B.(x−1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y−2)2=5D.(x−1)2+(y−2)2=5

5. 已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则•等于（ ）
A.1B.−1C.4D.−4

6. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线3x+6y+3=0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x−c)2+y2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ）
A.4B.2C.5D.25

7. 已知椭圆x29+y25=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0, 23)，则△APF的周长最大值等于（ ）
A.10B.12C.14D.15

8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=2，当阳马B−ACC1A1体积的最大值为43时，堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积为( )

A.43πB.823πC.323πD.6423π

9. 已知双曲线x2a2−y22=1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为（ ）
A.2B.3C.263D.233
二.多选题（10-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分）

已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为y23+x2=1B.椭圆C的方程为x23+y2=1
C.|PQ|=233D.△PF2Q的周长为43

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.A1C1 // 平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.CE→=12DA→+DD→1−DC→
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等

古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A(−2, 0)，B(4, 0)，点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A.C的方程为(x+4)2+y2＝9
B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得
C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D.在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
三．填空题（每小题5分）

已知直二面角α−l−β的棱l上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB＝4，AC＝3，BD＝5，则CD的长是________．

设双曲线与椭圆x227+y236=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15, 4)，则此双曲线的标准方程是________．

已知向量＝(1, −3, 2)，＝(−2, 1, 1)，点A(−3, −1, 4)，B(−2, −2, 2)．则|2+3|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得⊥，则点E的坐标为________．

已知点A，B分别是椭圆+＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，椭圆上的点到点M的距离d的最小值为________．
四、解答题

当k为何值时，直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0：
（1）相交；

（2）垂直；

（3）平行；

（4）重合．

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(−1, 0)，B(1, 0)，一个顶点为H(2, 0)．
（1）求椭圆E的标准方程；

（2）对于x轴上的点P(t, 0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

如图，设四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=EC=2，AE=BE=2．
（1）证明：平面EAB⊥平面ABCD；

（2）求四棱锥E−ABCD的体积．

①圆心C在直线l:2x−7y+8＝0上，且B(1, 5)是圆上的点；
②圆心C在直线x−2y＝0上，但不经过点(4, 2)，并且直线4x−3y＝0与圆C相交所得的弦长为4
③圆C过直线l:2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x−4y−16＝0的交点，
在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6, 0)，且_____．
（1）求圆C的标准方程；

（2）求过点A的圆C的切线方程．

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

（1）求证：MN // 平面ABCD；

（2）求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；

（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为22，直线EF与圆x2+y2=12相切．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段A，B的垂直平分线交x轴于点P，试判断|PF||AB|是否为定值？并说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省高二（上）期中数学试卷
一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
平面的法向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
D
【考点】
直线与圆相交的性质
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】
由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由d2+(l2)2=r2求解．
【解答】
解：∵ 圆(x−a)2+y2=4，
∴ 圆心为：(a, 0)，半径为：2，
圆心到直线的距离为：d=|a−2|2，
∵ d2+(222)2=r2，
解得a=4，或a=0.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
圆的标准方程
直线系方程
【解析】
直线即 a(x+1)−(x+y−1)=0，由x+1=0x+y−1=0 求得圆心C的坐标，再根据半径为5，求得圆的标准方程．
【解答】
解：直线(a−1)x−y+a+1=0 ，
即 a(x+1)−(x+y−1)=0，
由x+1=0x+y−1=0 求得x=−1y=2，
故圆心C的坐标为(−1, 2)，
再根据半径为5，
可得圆的方程为 (x+1)2+(y−2)2=5.
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据渐近线和直线垂直，得到a，b的关系，结合渐近线和圆相切得到a，b，c的方程，进行求解即可．
【解答】
解：直线3x+6y+3=0的斜率k=−36=−62，
双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
∵ 双曲线C的一条渐近线与直线3x+6y+3=0垂直，
∴ −62⋅ba=−1，
即a=62b，
∵ C的右焦点F为圆心的圆(x−c)2+y2=2与它的渐近线相切，
∴ 圆心F(c, 0)到渐近线bx−ay=0的距离d=|bc|a2+b2=bcc=b=2，
即a=62b=62×2=3，
则c=a2+b2=3+2=5，
则双曲线的焦距为2c=25，
故选：D
7.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|=22+(23)2=4＝|AF′|，|PF|+|PF′|＝2a＝6，利用|PA|−|PF′|≤|AF′|，即可得出．
【解答】
如图所示设椭圆的左焦点为F′，
|AF|=22+(23)2=4＝|AF′|，
则|PF|+|PF′|＝2a＝6，
∵ |PA|−|PF′|≤|AF′|，
∴ △APF的周长＝|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+6−|PF′|≤4+6+4＝14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．
∴ △APF的周长最大值等于14．
8.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
设AC＝x，BC＝y，由阳马B−A1ACC1体积求得xy＝2，把堑堵ABC−A1B1C1补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵ABC−A1B1C1的外接球的半径的最小值，代入球的面积公式得答案．
【解答】
解：设AC=x，BC=y，
则阳马B−A1ACC1的体积V=13×2xy=43，
∴ xy=2.
把堑堵ABC−A1B1C1补形为长方体，
则长方体的对角线长L=x2+y2+4≥2xy+4=22，
当且仅当x=y=2时上式取等号，
∴ 堑堵ABC−A1B1C1的外接球的体积为43π×(2)3=82π3．
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
双曲线x2a2−y22=1(a>2)的渐近线方程是y=±2ax，由题设条件可知2a=tanπ6=33，从而求出a的值，进而求出双曲线的离心率．
【解答】
∵ 双曲线x2a2−y22=1(a>2)的渐近线方程是y=±2ax
∴ 由双曲线x2a2−y22=1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3可知2a=tanπ6=33，
∴ a2＝6，c2＝8，∴ 双曲线的离心率为233，
二.多选题（10-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分）
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及△PF2Q的周长判断得答案．
【解答】
解：由已知得，2b=2，b=1，ca=63，
又a2=b2+c2，解得a2=3．
∴ 椭圆方程为x2+y23=1，故A正确，B不正确；
如图：
c=2，F1(0,−2)，
把y=−2代入椭圆方程x2+y23=1，
解得：x=±33，
∴ |PQ|=2×33=233，故C正确；
△PF2Q的周长为4a=43，故D正确.
故选A，C，D.
【答案】
A,C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
A，由线面平行的判定定理可判断；
B，反证法，假设B1D⊥平面CEF，∵ B1D⊥平面ACC1A1，∴ 平面CEF // 平面ACC1A1，与平面CEF∩平面ACC1A1＝C相矛盾；
C，由空间向量的线性运算可判断；
D，用等体积法，分别求出三棱锥B1−CEF和三棱锥D−CEF的体积即可得解．
【解答】
如图所示，
对于A，∵ E，F分别是A1D1和C1D1的中点，∴ EF // A1C1，
∵ EF⊂平面CEF，且A1C1⊄平面CEF，∴ A1C1 // 平面CEF，即A正确；
对于B，若B1D⊥平面CEF，∵ B1D⊥平面ACC1A1，∴ 平面CEF // 平面ACC1A1，而平面CEF∩平面ACC1A1＝C，∴ B1D不可能与平面CEF垂直，即B错误；
对于C，12DA→+DD1→−DC→=12DA→+CD1→=D1E→+CD1→=CE→，即C正确；
对于D，设点B1和点D到平面CEF的距离分别为ℎ1，ℎ2，正方体的棱长为1，
则VB1−CEF=13⋅ℎ1⋅S△AEF=VC−B1EF=18；
VD−CEF=13⋅ℎ2⋅S△CEF=VE−CDF=112；
∴ ℎ1≠ℎ2，即D错误；
【答案】
B,C
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三．填空题（每小题5分）
【答案】
5
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
y24−x25=1
【考点】
双曲线的特性
椭圆的定义
【解析】
由题意可得椭圆的焦点坐标，再由双曲线的定义可得a值，进而由b2=c2−a2可得b值，结合焦点位置可得双曲线的方程．
【解答】
解：由题意可知椭圆x227+y236=1的焦点在y轴上，
且c2=36−27=9，故焦点坐标为(0, ±3)
由双曲线的定义可得2a=|(15−0)2+(4−3)2−(15−0)2+(4+3)2|=4，
故a=2，b2=32−22=5，故所求双曲线的标准方程为y24−x25=1
故答案为：y24−x25=1
【答案】
,（-，-，）
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
空间中的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题
【答案】
解：（1）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0相交，
满足3k≠−k−22k−3，解得k≠1，k≠−9．
所以k≠1，k≠−9．时两条直线相交．
（2）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0垂直，
满足2×k−(k+2)(2k−3)=0，解得k=1±132时，两条直线垂直．
（3）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0平行
满足3k=−k−22k−3≠k+52，解得k=1，k=−9，
所以k=−9时，两条直线平行．
（4）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0重合，
满足3k=−k−22k−3=k+52，解得k=1，
所以k=1时两条直线重合．
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
直接利用，（1）两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0相交⇔am≠bn(m≠0, n≠0)；
（2）两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直⇔am+bn=0．求解即可．
（3）两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行⇔am=bn≠cd(m≠0, n≠0, d≠0)；
（4）两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0重合⇔am=bn=cd(m≠0, n≠0, d≠0)；
【解答】
解：（1）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0相交，
满足3k≠−k−22k−3，解得k≠1，k≠−9．
所以k≠1，k≠−9．时两条直线相交．
（2）直线3x−(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k−3)y+2=0垂直，
满足2×k−(k+2)(2k−3)=0，解得k=1±132时，两条直线垂直．
（3）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0平行
满足3k=−k−22k−3≠k+52，解得k=1，k=−9，
所以k=−9时，两条直线平行．
（4）直线 3x−(k+2)y+k+5=0和 kx+(2k−3)y+2=0重合，
满足3k=−k−22k−3=k+52，解得k=1，
所以k=1时两条直线重合．
【答案】
解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=3
故所求的椭圆标准方程为x24+y23=1；
（2）设M(x0, y0)(x0≠±2)，则x024+y023=1 ①
又由P(t, 0)，H(2, 0)．则MP→=(t−x0,−y0)，MH→=(2−x0,−y0)
由MP⊥MH可得MP→⋅MH→=0，即(t−x0, −y0)•(2−x0, −y0)=(t−x0)⋅(2−x0)+y02=0
由①②消去y0，整理得t(2−x0)=−14x02+2x0−3 ②
∵ x0≠2，∴ t=14x0−32
∵ −2