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    2020-2021学年湖北省十堰市高二(上)期末调研考试数学试卷人教A版

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    2020-2021学年湖北省十堰市高二(上)期末调研考试数学试卷人教A版

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    这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二(上)期末调研考试数学试卷人教A版,共11页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 已知命题p:∀n∈N,n3+1>3n,则p的否定是( )
    A.∃n∈N,n3+1>3nB.∃n∈N,n3+1≤3n
    C.∀n∈N,n3+1≤3nD.∀n∈N,n3+1lg3b”是“a23>b23”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件

    5. 下表为随机数表的一部分:
    08015 17727 45318 22374 21115 78253
    77214 77402 43236 00210 45521 64237
    已知甲班有60位同学,编号为00∼59号,规定:利用上面的随机数表,从第1行第4列的数开始,从左向右依次读取2个数,则抽到的第8位同学的编号是( )
    A.11B.15C.25D.37

    6. 直线3x+4y+1=0被圆x2+y2−x+y=0所截得的弦长为( )
    A.710B.57C.75D.145

    7. 如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,D是OG的中点,则( )

    A.OD→=13OA→+16OB→+16OC→
    B.OD→=16OA→+16OB→+16OC→
    C.OD→=12OA→+13OB→+13OC→
    D.OD→=13OA→+13OB→+13OC→

    8. 已知曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离比点P到直线x=−2的距离小1,M,N是曲线C上不同的两点,若|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点Q到y轴的距离为( )
    A.5B.4C.3D.2
    二、多选题

    下列说法中正确的有( )
    A.直线l:mx+4y+4=0恒过点0,−1
    B.若平面α,β的法向量分别为n1→=0,1,3,n2→=1,3,−1,则α//β
    C.已知F1,F2分别是椭圆3x2+2y2=1的两个焦点,过点F1的直线与该椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为22
    D.已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为2−1

    某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图1所示.该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查,得到的数据如图2所示.下列说法错误的是( )

    A.总体中对平台一满意的消费人数约为36
    B.样本中对平台二满意的消费人数为300
    C.若样本中对平台三满意的消费人数为120,则m=50%
    D.样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54

    已知圆C:x+52+y+122=36和点A−2,0,B2,0.若点P在圆C上,|PA|2+|PB|2=λ,则λ的取值不可能为( )
    A.105B.110C.725D.735

    已知F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点,|F1F2|=2b2a,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF 1=S△IPF 2+λ−1S△IF 1 F 2 成立,则下列说法正确的有( )
    A.△PF1F2可能为等腰三角形B.双曲线的离心率e=1+52
    C.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=45∘D.λ=5+12
    三、填空题

    已知直线x+my+m−3=0与直线mx+y−1=0平行,则m=________.

    若某单位拟从五位应届大学毕业生A,B,C,D,E中录用两人,这五人被录用的机会均等,则A或E被录用的概率m=________.

    若命题“∃x>0,x2+ax+9≤0”是真命题,则a的取值范围是________.

    已知三棱锥P−ABC的每个顶点都在球O的球面上,PA,PB,PC两两互相垂直,且2PB=PA=PC,若球O的表面积为36π,则球心O到平面ABC的距离为________.
    四、解答题

    在①被x轴,y轴所截得的弦长均为46,且圆C的圆心位于第四象限,②与直线4x−3y+18=0相切于点B−3,2,③过点B−2,−5,且圆心在直线x+y=0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.问题:已知圆C过点A−2,3,________,求圆C的方程.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

    已知集合A=x|x2−3ax+2a2≤0,集合B=x|x2−x−2≤0,p:x∈A,q:x∈B.
    (1)当a=1时,则p是q的什么条件?

    (2)若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.

    某蛋糕店推出新品蛋糕,为了解价格对新品蛋糕销售的影响,该蛋糕店对这种新品蛋糕进行了5天的试销,每种售价试销1天,得到如下数据:

    (1)求销量y关于售价x的回归直线方程;

    (2)预计在今后的销售中,销量与售价服从(1)中的回归直线方程,已知该新品蛋糕的成本是每个11元,求该新品蛋糕一天的利润的最大值及对应的售价.
    参考公式: b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯.

    某购物网站为优化营销策略,从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查,根据调查数据,按消费金额分成[0,200),[200,400),[400,600),[600,800),[800,1000]五组,得到的频率分布直方图如图所示.已知样本中网购者的平均消费金额是568元(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替).

    (1)求频率分布直方图中的x,y的值;

    (2)若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人的消费金额都在[200,400)内的概率.

    如图,在底面为平行四边形的四棱锥A−BCDE中,AE⊥AD,AE:EB:BC=1:2:2,∠AED=∠CDE,AC=DC,点O为DE的中点.

    (1)证明:CO⊥平面ADE;

    (2)求平面ABE与平面AOC所成锐二面角的余弦值.

    已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦点分别为F1,F2,点A22,1在椭圆C上,且AF1⊥AF2.
    (1)求椭圆C的标准方程.

    (2)点H在圆x2+y2=b2上,且H在第一象限,过点H作圆的切线交椭圆C于P,Q两点,PQ不经过F2,证明:△F2PQ的周长为定值.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年湖北省十堰市高二(上)期末调研考试数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    B
    【考点】
    全称命题的否定
    【解析】
    根据全称命题的否定是特称命题,即可求出.
    【解答】
    解:命题p:∀n∈N,n3+1>3n的否定是:∃n∈N,n3+1≤3n.
    故选B.
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    直线的一般式方程与直线的垂直关系
    【解析】

    【解答】
    解:因为l1与l2垂直,所以34b+4−9b+2=0,
    解得b=2,
    则l2的方程为12x+9y−36=0,即x3+y4=1.
    故选C.
    3.
    【答案】
    D
    【考点】
    关于点、直线对称的圆的方程
    直线与圆的位置关系
    【解析】

    【解答】
    解:圆x−12+y−12=5关于直线y=kx+2对称,
    所以圆心1,1在直线y=kx+2上,
    解得,k=1−2=−1.
    故选D.
    4.
    【答案】
    A
    【考点】
    必要条件、充分条件与充要条件的判断
    【解析】
    根据对数函数的图象和性质,可由lg3a>lg3b得到a>b>0,结合指数函数的单调性可得“2a>2b”成立;反之当“2a>2b”时,可得a>b,此时lg3a与lg3b可能无意义,结合充要条件的定义,可得答案.
    【解答】
    解:∵ 函数y=lg3x在(0, +∞)上单调递增,
    ∴ 当“lg3a>lg3b”时,a>b>0,此时“a23>b23”成立;
    当“a23>b23”时,a>b,a,b可能小于0,
    此时lg3a与lg3b不一定有意义,故“lg3a>lg3b”不一定成立;
    综上,“lg3a>lg3b”是“a23>b23”的充分而不必要条件.
    故选A.
    5.
    【答案】
    A
    【考点】
    简单随机抽样
    【解析】
    【解答】
    解:从第1行第4列的数开始,从左向右依次读取2个数,读取的有效编号为15,17,53,18,22,37,42,11.
    故选A.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    点到直线的距离公式
    直线和圆的方程的应用
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:圆x2+y2−x+y=0的圆心坐标为12,−12,半径r=22,
    则圆心到直线的距离为:
    d=|3×12+4×−12+1|32+42=110,
    即弦长为2r2−d2=75.
    故选C.
    7.
    【答案】
    B
    【考点】
    向量在几何中的应用
    向量加减混合运算及其几何意义
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:记点E为BC的中点,连接AE,
    所以OE→=12OB→+OC→.
    又因为G是△ABC的重心,
    所以AG=23AE,
    所以AG→=23AE→=23OE→−OA→,
    因为OD=12OG,
    所以OD→=12OG→=12OA→+AG→
    =12OA→+13OE→−OA→
    =16OA→+13OE→
    =16OA→+16OB→+OC→
    =16OA→+16OB→+16OC→.
    故选B.
    8.
    【答案】
    D
    【考点】
    抛物线的定义
    抛物线的标准方程
    中点坐标公式
    【解析】
    由抛物线的定义可得曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=−1为准线的抛物线
    【解答】
    解:曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离比点P到直线x=−2的距离小1,即曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离与点P到直线x=−1的距离相等,则曲线C为抛物线,
    设曲线C的方程为y2=2px,
    p2=1,解得p=2,
    所以y2=4x.
    MF+NF=xM+p2+xN+p2
    =xM+xN+2=6,
    解得xM+xN=4,
    所以xQ=xM+xN2=2.
    故选D.
    二、多选题
    【答案】
    A,C,D
    【考点】
    直线恒过定点
    椭圆的离心率
    平面向量共线(平行)的坐标表示
    椭圆中的平面几何问题
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:直线l:mx+4y+4=0,当x=0时y=−1,
    故直线l恒过点0,−1,A正确:
    法向量n1→与n2→不平行,所以α//β不成立,B错误;
    椭圆的标准方程为x213+y212=1,该椭圆的焦点在y轴,其长半轴长为a=22,
    所以,△ABF2的周长为4a=22,C正确;
    设正方形ABCD的边长为2c,
    则|BD|=2|AB|=22c,
    设椭圆的长轴长为2a,
    则2a=|AD|+|BD|=2c+22c=21+2c,
    所以该椭圆的离心率e=ca=12+1=2−1,D正确.
    故选ACD.
    【答案】
    A,B,C
    【考点】
    分层抽样方法
    扇形统计图
    用样本的数字特征估计总体的数字特征
    【解析】

    【解答】
    解:A,样本中对平台一满意的人数为2000×6%×30%=36,故A错误;
    B,总体中对平台二满意的人数约为1500×20%=300,故B错误;
    C,对平台三的满意率为1202500×6%=80%,所以m=80%,故C错误;
    D,样本中对平台一和平台二满意的总人数为
    2000×6%×30%+1500×6%×20%=36+18=54,故D正确.
    故选ABC.
    【答案】
    A,D
    【考点】
    圆的标准方程
    两点间的距离公式
    点与圆的位置关系
    圆与圆的位置关系及其判定
    【解析】

    【解答】
    解:设Px,y,由|PA|2+|PB|2=λ,
    可得x2+y2=λ−82,即此时点P在圆M:x2+y2=λ−82上.
    又因为点P在圆C上,故圆C与圆M有公共点,
    故得到λ−82−6≤52+122≤λ−82+6,
    解得7≤λ−82≤19,即106≤λ≤730.
    故选AD.
    【答案】
    A,B,D
    【考点】
    双曲线的标准方程
    双曲线的定义
    双曲线的应用
    双曲线的离心率
    【解析】

    【解答】
    解:根据题意画出图形:
    A,因为P在双曲线右支上,那么若△PF1F2是等腰三角形,可能F1F2=PF2或F1F2=PF1,所以A正确;
    B,因为|F1F2|=2b2a,所以2c=2b2a=2c2−2a2a,整理得e2−e−1=0,因为e>1,所以e=1+52,所以B正确;
    C,当PF2⊥x轴时,|PF2|=b2a=c=12|F1F2|,此时tan∠PF1F2=12,所以C错误;
    D,设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
    S△IPF1=12|PF1|⋅r,S△IPF2=12|PF2|⋅r,S△IF1F2=12⋅2cr=cr,
    因为S△IPF1=S△IPF2+λ−1S△IF1F2,
    所以12|PF1|⋅r=12|PF2|⋅r+λ−1cr,
    解得λ=|PF1|−|PF2|2c+1=ac+1=11+52+1=5+12,所以D正确.
    故选ABD.
    三、填空题
    【答案】
    −1或1
    【考点】
    直线的一般式方程与直线的平行关系
    【解析】

    【解答】
    解:∵ 两直线平行,m1=1m≠−1m−3,
    可得m=−1或m=1.
    故答案为:−1或1.
    【答案】
    710
    【考点】
    列举法计算基本事件数及事件发生的概率
    【解析】

    【解答】
    解:从A,B,C,D,E中任取两人有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种情形,
    A或E被录用的有AB,AC,AD,AE,BE,CE,DE,共7种,所以m=710.
    故答案为:710.
    【答案】
    (−∞,−6]
    【考点】
    全称命题与特称命题
    一元二次不等式的解法
    【解析】

    【解答】
    解:由x2+ax+9≤0,得a≤−x2+9x.
    因为x>0,所以−x2+9x=−x+9x≤−6(当且仅当x=3时等号成立),
    故a≤−6.
    故答案为:(−∞,−6].
    【答案】
    63
    【考点】
    球的表面积和体积
    球内接多面体
    点、线、面间的距离计算
    【解析】

    【解答】
    解:因为在三棱锥中PA,PB,PC两两互相垂直,所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分,此长方体内接于球O,长方体的体对角线为球的直径,球心O为长方体对角线的中点.
    设球O的半径为R,S球=4πR2=36π,
    解得R=3.
    设PB=x,
    则x2+2x2×22=3,解得x=2.
    建立如图所示的空间直角坐标系M−xyz,
    则O2,2,1,A4,0,0,C(0,4,0),P(4,4,0),B(4,4,2),
    设平面ABC的法向量为n→=x,y,z,
    则n→⋅AB→=4y+2z=0,n→⋅AC→=−4x+4y=0,
    令x=1,得n→=1,1,−2.
    设球心O到平面ABC的距离为d,则d=|OA→⋅n→||n→|=63.
    故答案为:63.
    四、解答题
    【答案】
    解:选①:
    设圆C:x−a2+y−b2=r2a>0,b0,b0时,A={x|a≤x≤2a},
    所以a≥−1,2a≤2,
    所以−1≤a≤1,故0

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