2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是（ ）
A.∃x0>4，lg2x0≤2B.∀x>4，lg2x≤2
C.∃x0≤4，lg2x0≤2D.∀x≤4，lg2x≤2

2. 抛物线y=116x2的准线方程是( )
A.y=4B.y=8C.y=−4D.y=−8

3. 已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且y​=0.6x+a​，则a​=( )
A.4.2B.4.6C.4.7D.4.9

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin2A−2asinAcsB＝0，则△ABC的形状为（ ）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形

5. 已知{an}是等差数列，且a1+a2＝4，a8+a9＝6，则这个数列的前9项和等于（ ）
A.45B.452C.55D.552

6. 已知正数m，n满足25m−1＝0.2n，则1m+2n的最小值为（ ）
A.2B.4C.8D.12

7. 已知平面向量m→=(1, λ+1)，n→=(λ+2, 2)，则“λ>−43”是“m→，n→的夹角为锐角”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率为3的直线交C的右支于点A，若∠F1AF2=2π3，则双曲线的离心率为（ ）
A.3B.3+1C.23+102D.32+102
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，点M(x0, y0)在抛物线C上，若|MF|＝4，则（ ）
A.x0＝3B.y0＝23
C.|OM|=21D.F的坐标为(0, 1)

已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）
A.a与c相交，且b与c也相交B.a // β，且b // α
C.a // c，且b与c相交D.a⊥c，且b⊥c

已知点P(1, −1)是角α终边上的一点，则（ ）
A.函数f(x)＝sin(2x+α)的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)
B.函数f(x)＝sin(2x+α)的对称轴方程为x=π8+kπ2(k∈Z)
C.函数g(x)=cs(3x+α+5π4)是奇函数
D.函数g(x)=cs(3x+α+5π4)是偶函数

已知lnx>lny，x≠1，y≠1，01
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上

在等差数列{an}中，已知a1＝−3，a4＝1，则a7＝________．

已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是________．

已知函数f(x)=x−1,x≤0,lnx,x>0, 若函数g(x)＝f(x)+a恰有一个零点，则a的取值范围是________．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过函数y=x3x−1图象的对称中心，若椭圆C的离心率e∈(12,33)，则C的长轴长的取值范围是________2219,103） ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

在①AB＝2BD＝12，②sin∠BAD=2sin∠ABD，D为BC的中点，③∠DAB=π6，AB=103这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，在△ABC中，∠ACB=π4，点D在线段BC上，AD＝10，_____？

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C为锐角，且ab＝3，△ABC的面积为334．
（1）求角C；

（2）若△ABC外接圆的半径为433，求△ABC的周长．

记Sn是正项数列{an}的前n项和，an+32是6和Sn+124的等比中项，且a1≠2．
（1）求{an}的通项公式；

（2）若等比数列{bn}的公比为12，且1b1，1b2，1b3−2成等差数列，求数列{anbn}的前n项和Tn．

2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本f(x)=12x2+20x,00)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为22，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S​△F1MP:S​△F1NQ=3:2，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x>4，lg2x>2”的否定是∃x0>4，lg2x0≤2．
2.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
【解答】
解：化为标准方程为x2=16y，
故p=8，
其准线方程为y=−4.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据样本中心点在线性回归直线方程上即可得解．
【解答】
由表中数据可知，x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=5.5+6+7+7+85=6.7，
因为样本中心点(3, 6.7)在线性回归方程上，所以6.7＝0.6×3+a​，
所以a​=4.9．
4.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
【解析】
利用二倍角公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得bcsA＝acsB，进而由余弦定理可得a＝b，即可判断△ABC的形状为等腰三角形，即可得解．
【解答】
因为bsin2A−2asinAcsB＝0，
所以2bsinAcsA＝2asinAcsB，
因为sinA≠0，
所以bcsA＝acsB，
由余弦定理可得b⋅b2+c2−a22bc=a⋅a2+c2−b22ac，整理可得a＝b，
所以△ABC的形状为等腰三角形．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的性质和前n项和公式求解．
【解答】
∵ a1+a2＝4，a8+a9＝6，
∴ a1+a2+a8+a9＝10，
∴ 2a1+2a9＝10，
∴ a1+a9＝5，
∴ S9=9(a1+a9)2=452，
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合指数的运算性质可得，2m+n＝2，1m+2n=12(1m+2n)(2m+n)，然后结合基本不等式可求．
【解答】
因为正数m，n满足25m−1＝0.2n，
所以52m−2＝5−n，即2m−2＝−n，
所以2m+n＝2，m>0，n>0，
则1m+2n=12(1m+2n)(2m+n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2nm⋅4mn)=4，
当且仅当nm=4mn且2m+n＝2即m=12，n＝1时取等号．
7.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
当m→,n→的夹角为锐角时，可得出λ>−43且λ≠0，然后可看出λ>−43得不出λ>−43且λ≠0，而λ>−43且λ≠0可得出λ>−43，从而可得出正确的选项．
【解答】
m→,n→的夹角为锐角时，m→⋅n→>0且m→,n→不共线，
∴ λ+2+2(λ+1)>02−(λ+1)(λ+2)≠0 ，解得λ>−43，且λ≠0，
∵ λ>−43得不出λ>−43且λ≠0，而λ>−43且λ≠0能得出λ>−43，
∴ λ>−43是m→,n→的夹角为锐角的必要不充分条件．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
画出图形，通过三角形相似，结合余弦定理求出2a，2c，然后求解离心率即可．
【解答】
由题意可知∠F1OA=2π3，易得△F1OA∽△F1AF2，
所以|F1O||F1A|=|F1A||F1F2|，可得|F1A|=2c．
在△F1AF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF3|cs2π3，
解得|AF2|=10−22c．
双曲线的离心率为：2c2c−10−22c=32+102．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的焦点坐标判断D；利用抛物线的定义，求出x0，判断A；求出y0判断B，求解|OM|判断C．
【解答】
抛物线C:y2＝4x的焦点为F，可得F(1, 0)，所以D不正确；
点M(x0, y0)在抛物线C上，
所以x0＝3，所以A正确；x0＝3代入抛物线方程可得y0＝±23．所以B不正确；
|OM|=32+(23)2=21．所以C正确；
【答案】
A,C,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由题意画出图形，由图可知，ACD可能成立；利用直线与平面平行的性质及平行公理说明B不可能成立．
【解答】
如图，
若a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则a与c相交，且b与c也相交可能成立，故A正确；
若a // β，由直线与平面平行的性质，可得a // c，又b // α，同理可得b // c，则a // b，这与a，b异面矛盾，故B错误；
当直线a处于图中d的位置时，a // c，且b与c相交，故C正确；
当图中a与c相交垂直，b与c相交垂直时，D正确．
∴ 说法可能成立的是ACD．
【答案】
A,D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得α＝2kπ−π4，k∈Z，再利用三角函数的图象的对称性、函数的奇偶性，得出结论．
【解答】
∵ 点P(1, −1)是角α终边上的一点，∴ α为第四象限角，且tanα＝−1，α＝2kπ−π4，k∈Z．
故函数f(x)＝sin(2x+α)＝sin(2x−π4)，令2x−π4=nπ+π2，可得x=nπ2+3π8，n∈Z，
故f(x)的图象的对称轴方程为x=nπ2+3π8，n∈Z，故A正确，B不正确．
函数g(x)=cs(3x+α+5π4)=cs(3x−π4+5π4)＝−csx，故g(x)为偶函数，故D正确、C错误，
【答案】
A,B
【考点】
对数的运算性质
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
指数函数、对数函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
∵ 已知lnx>lny，x≠1，y≠1，∴ x>y>0，
∵ 0y+1>1，∴ lg（x+1）m>lg（y+1）m，
∴ (x+1)lg（x+1）m>(y+1)lg（y+1）m，故B正确；
∵ xm>ym>0，∴ xym 和yxm 的大小关系不确定，
例如 x＝4，y＝2，m=12，显然 xym=44，yxm=28，此时，xym=yxm，故C不对；
∵ lgxm⋅lgmy=lgmlgx⋅lgylgm=lgylgx=lgxy，当x>1，00，∴ an−an−1＝3，n≥2，
又当n＝1时，有(a1+32)2＝6(S1+124)，又a1≠2，解得：a1＝1，
∴ 数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
由题设可得：2b2=1b1+1b3−2，又等比数列{bn}的公比为12，
∴ 212b1=1b1+114b1−2，解得：b1=12，
∴ bn＝(12)n，anbn=3n−22n，
∴ Tn=121+422+723+⋯+3n−22n，
又12Tn=122+423+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式相减得：12Tn=12+3(122+123+⋯+12n)−3n−22n+1=12+3×122[1−(12)n−1]1−12−3n−22n+1，
整理得：Tn＝4−3n+42n．
【答案】
当0