还剩7页未读，
继续阅读
2020-2021学年湖南省湘西市高二（上）期中考试数学试卷人教A版
展开
这是一份2020-2021学年湖南省湘西市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A={x||x|≤2, x∈Z}，B={x|x2−x−6<0}，则A∩B=( )
A.{−2, −1, 0, 1, 2, 3}B.{−2, −1, 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1}
2. 在复平面内，复数z共轭复数为z¯，且(1+i)z=|3+i|,则z¯对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3. 若点P(−3, 4)是角α的终边上一点，则sin2α= ( )
A.−2425B.−725C.1625D.85
4. 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是( )
A.∃x∈R，ax+b≤0B.∃x∈R，ax+b>0
C.∀x∈R，ax+b≤0D.∀x∈R，ax+b>0
5. 设a=lg123，b=0.30.1，c=lg425，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
6. 双曲线x2m−y2m2−m+4=1(m>0)的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为( )
A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=0
7. 已知{an}为等差数列，a1+a2+a3=165，a2+a3+a4=156，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是( )
A.19B.20C.21D.22
8. 现有四个函数：①y=x⋅sinx；②y=x⋅csx；③y=x⋅|csx|；④y=x⋅2x的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①
二、多选题
下列各组函数中是同一函数的是( )
A.fx=x与gx=x2B.fx=|x|x与gx=1,x>0,−1,x<0.
C.fx=x−1与gx=x2−1x+1D.fx=x2+1与gt=t2+1
已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A.若m//n，m⊥α，则n⊥αB.若m//α，α∩β=n，则m//n
C.若m⊥α，m⊥β，则α//βD.若m⊥α，m//n，n⊥β，则α//β
下列说法正确的是( )
A.x+1x(x>0)的最小值是2B.x2+2x2+2的最小值是2
C.x2+5x2+4的最小值是2D.2−3x−4x的最大值是2−43
已知fx=1−2cs2ωx+π3ω>0，下面结论正确的是（ ）
A.若fx1=1,fx2=−1，且|x1−x2|的最小值为π，则ω=2
B.存在ω∈1,3，使得fx的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C.若fx在0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是[4124,4724）
D.若fx在−π6,π4上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]
三、填空题
已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
四、解答题
在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，向量m→=3,−2sinB，向量n→=csB,cs2B，且m→//n→，角B为锐角．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．
已知数列an为首项a1=2，公比q=2的等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=n+1an，求数列bn的前n项和Tn.
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，且PA=PD=AD=2，BC=1，CD=3．
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若M是棱PC上的一点，且满足PM→=3MC→，求二面角M−BQ−C的大小．
2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内) ，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]，经统计得到了如图所示的频率分布直方图.
1求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
2若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x−y|>60，则这两个同学组成一个$``Team"$，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个$``Team"$的概率.
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=−3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．
已知函数fx=23x3−2x2+43 ，gx=ex−axx∈R.
(1)若fx在区间a−5,a−1上的最大值为43，求实数a的取值范围；
(2)设ℎx=32fx−x+1，F(x)=ℎ(x),ℎ(x)≤g(x)，g(x),ℎ(x)>g(x)， 记x1,x2,⋯xn为Fx从小到大的零点，当a≥e3时，讨论Fx的零点个数及大小．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省湘西市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵ A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={x|−2∴ A∩B={−1, 0, 1, 2}．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知(1+i)z=|3+i|，
则z=|3+i|1+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
故z¯=1+i，其对应的点为(1,1)在第一象限.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
任意角的概念
【解析】
由题意先求出|OP|，根据三角函数的定义求出sinθ和csθ的值，再由倍角的正弦公式求出sin2θ．
【解答】
解：∵ P(−3, 4)为角α的终边上一点，
∴ |OP|=42+(−3)2=5，
∴ sinα=45，csα=−35，
则sin2α=2sinαcsα=−2425.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题与特称命题的否定解答即可.
【解答】
解：∵ 全称命题的否定是特称命题，
∴ 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是
“∃x∈R，ax+b>0”.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
先求出a，b，c的范围，即可比较大小.
【解答】
解：∵ a=lg1230c=lg425>lg44=1，
∴ c>b>a.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
求得双曲线的a，b，c，可得离心率e的关于m的表达式，结合基本不等式可得e的最小值，以及m的值，即可得到所求双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：双曲线x2m−y2m2−m+4=1(m>0)的a=m，b=m2−m+4，
c=m+m2−m+4=m2+4，
可得e=ca=m2+4m=m+4m，
由m>0，可得m+4m≥2m⋅4m=4，当且仅当m=2时，取得等号，
则双曲线的离心率e的最小值为2，此时m=2，
即有a=2，b=6，
可得双曲线的渐近线方程6x±2y=0，
即为3x±y=0.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
数列与函数最值问题
等差数列的性质
【解析】
写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】
解：设{an}的公差为d，由题意得：
a1+a2+a3=165,①
a2+a3+a4=156,②
②−①得3d=156−165=−9,
∴ d=−3,
而a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=165，
即3a1+3d=165,
∴ a1=58,
an=58+(n−1)×(−3)=61−3n.
由an=61−3n≥0,得n≤20,
∴ 当n=20时，Sn达到最大值．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．
【解答】
解：分析函数的解析式，可得：
①y=x⋅sinx为偶函数；②y=x⋅csx为奇函数；③y=x⋅|csx|为奇函数，④y=x⋅2x为非奇非偶函数，
且当x<0时，③y=x⋅|csx|≤0恒成立，
则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③.
故选A．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
利用函数的定义可知，两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数.
【解答】
解：A，fx=x与gx=x2=|x|，
两个函数的对应关系不一样，不是相同的函数；
B， fx=|x|x与gx=1,x>0，−1,x<0，
两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数；
C， fx=x−1与gx=x2−1x+1 ，前者的定义域为R，
后者的定义域为x|x≠−1，定义域不同，不是相同的函数；
D， fx=x2+1与gt=t2+1，
两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数.
故选BD.
【答案】
A,C,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；
若m//α，α∩β=n，如图，
设m=AB，平面A1B1C1D1为平面α，m//α，设平面ADD1A1为平面β，
α∩β=n，则m⊥n，故B错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；
若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，故D正确.
故选ACD.
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
函数单调性的性质
【解析】
由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】
解：由基本不等式得，当x>0时，
x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，故A正确；
B，x2+2x2+2=x2+2≥2，
当x=0时取等号，故B正确；
C，x2+5x2+4=x2+4+1x2+4，
令t=x2+4，则t≥2.
∵ y=t+1t在[2, +∞)上单调递增，
∴ 当t=2时，取得最小值52，故C错误；
D，当x=−1时，2−(3x+4x)=9>2−43，故D错误．
故选AB.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
命题的真假判断与应用
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=1−2cs2ωx+π3
=−cs2ωx+2π3=sin2ωx+π6，
∴ 周期T=2π2ω=πω .
A，由条件知|x1−x2|min=π，
∴ 周期为2π,
∴ω=12，
故A错误；
B，函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为y=sin2ωx−ωπ3+π6，其图象关于y轴对称，
则−ωπ3+π6=π2+kπk∈Z，
∴ ω=−1−3k(k∈Z)，
故对任意整数k，存在ω∈(1,3)，符合题意，
故B正确 .
C，由fx=sin2ωx+π6=0，
得2ωx+π6=kπ，k∈Z，
x=kπ2ω−π12ω，k∈Z，
∴ 7π2ω−π12ω≤2π<4πω−π12ω，
∴ 4124≤ω<4724，故C正确；
D，令−π2≤2ωx+π6≤π2，
则−π3ω≤x≤π6ω.
∵ f(x)在[−π6,π4]上单调递增，
则−π3ω≤−π6,π6ω≥π4,，
∴ ω≤23，
又ω>0，
∴ 0<ω≤23，
故D正确．
故选BCD.
三、填空题
【答案】
3−1,2
【考点】
椭圆的离心率
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
双曲线N：x2m2−y2n2=1．
由正六边形性质，得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+3c，
由椭圆定义，得c+3c=2a，
∴ 椭圆M的离心率为ca=21+3=3−1.
双曲线N的渐近线方程为y=±nmx，
由题意，得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，
∴n2m2=tan2π3=3，
∴ e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4，
∴e=2.
故答案为：3−1；2．
四、解答题
【答案】
解：(1)由m→//n→得，
3cs2B=−2sinBcsB，
即sin2B=−3cs2B，
∴ tan2B=−3．
∵ B为锐角，
∴ 2B∈0,π，
∴ 2B=2π3，
即B=π3．
(2)∵ B=π3，b=2，
∴ 由余弦定理，得a2+c2−4−ac=0．
又∵ a2+c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
当且仅当a=c=2时取等号成立．
∴ S△ABC=12acsinB=12×32ac=34ac≤3，
故△ABC的面积最大值为3．
【考点】
平行向量的性质
三角函数值的符号
二倍角的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
【解答】
解：(1)由m→//n→得，
3cs2B=−2sinBcsB，
即sin2B=−3cs2B，
∴ tan2B=−3．
∵ B为锐角，
∴ 2B∈0,π，
∴ 2B=2π3，
即B=π3．
(2)∵ B=π3，b=2，
∴ 由余弦定理，得a2+c2−4−ac=0．
又∵ a2+c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
当且仅当a=c=2时取等号成立．
∴ S△ABC=12acsinB=12×32ac=34ac≤3，
故△ABC的面积最大值为3．
【答案】
解：(1)由题意，得数列an为首项a1=2，
公比q=2的等比数列，
∴ an=2⋅2n−1=2n.
(2)∵ bn=n+1an，
∴ bn=n+1⋅2n，
∴ Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+
n×2n+n+1⋅2n+1，②
由①−②得：−Tn=2×2+22+23+24+25+⋯+
2n−n+1⋅2n+1
=2+21−2n1−2−n+1⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴ Tn=n⋅2n+1.
【考点】
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)利用等比数列的通项公式解得an.
利用错位相减法求数列的和
【解答】
解：(1)由题意，得数列an为首项a1=2，
公比q=2的等比数列，
∴ an=2⋅2n−1=2n.
(2)∵ bn=n+1an，
∴ bn=n+1⋅2n，
∴ Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+
n×2n+n+1⋅2n+1，②
由①−②得：−Tn=2×2+22+23+24+25+⋯+
2n−n+1⋅2n+1
=2+21−2n1−2−n+1⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴ Tn=n⋅2n+1.
【答案】
(1)证明∵ Q为AD中点，PA=PD=AD=2，BC=1，
∴ PQ⊥AD，QD//BC，QD=BC，
故四边形BCDQ是平行四边形，
∴ DC//QB．
又∵ 底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，
∴ AD⊥BQ .
又∵ PQ∩BQ=Q，
∴ AD⊥平面PQB．
∵ AD⊂平面PAD，
∴ 平面PQB⊥平面PAD．
(2)解：∵ PQ⊥AD，平面PQB⊥平面PAD，
平面PQB∩平面PAD=PQ，
∴ PQ⊥平面PAD．
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q0,0,0，B0,3,0，C−1,3,0，P0,0,3，
设Ma,b,c，PM→=34PC→，
即a,b,c−3=34−1,3,−3，
∴ a=−34，b=334，c=34，
∴ M−34,334,34．
QM→=−34,334,34，QB→=0,3,0.
设平面MAB的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅QM→=−34x+334y+34z=0,n→⋅OB→=3y=0,
取x=1，则n→=1,0,3.
取平面BQC的法向量为m→=0,0,1.
设二面角M−BQ−C的平面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=32，
∴ θ=π6，
故二面角M−BQ−C所成的平面角为π6．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明∵ Q为AD中点，PA=PD=AD=2，BC=1，
∴ PQ⊥AD，QD//BC，QD=BC，
故四边形BCDQ是平行四边形，
∴ DC//QB．
又∵ 底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，
∴ AD⊥BQ .
又∵ PQ∩BQ=Q，
∴ AD⊥平面PQB．
∵ AD⊂平面PAD，
∴ 平面PQB⊥平面PAD．
(2)解：∵ PQ⊥AD，平面PQB⊥平面PAD，
平面PQB∩平面PAD=PQ，
∴ PQ⊥平面PAD．
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q0,0,0，B0,3,0，C−1,3,0，P0,0,3，
设Ma,b,c，PM→=34PC→，
即a,b,c−3=34−1,3,−3，
∴ a=−34，b=334，c=34，
∴ M−34,334,34．
QM→=−34,334,34，QB→=0,3,0.
设平面MAB的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅QM→=−34x+334y+34z=0,n→⋅OB→=3y=0,
取x=1，则n→=1,0,3.
取平面BQC的法向量为m→=0,0,1.
设二面角M−BQ−C的平面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=32，
∴ θ=π6，
故二面角M−BQ−C所成的平面角为π6．
【答案】
解：(1)因为各组数据的频率之和为1，
即所有小矩形面积和为1，
所以(a+a+6a+8a+3a+a)×20=1，
解得a=0.0025.
所以诵读诗词的时间的平均数为
10×0.05+30×0.05+50×0.3
+70×0.4+90×0.15+110×0.05=64(分钟).
2由频率分布直方图，
知[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数的概率之比为1:3:1.
故5人中[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数分别为1,3,1.
设[0，20)，[80，100)，[100，120]内的5人依次为
A，B，C，D，E.
则抽取2人的所有基本事件有
AB，AC，AD，AE，BC，
BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况.
符合两同学能组成一个$``Team"$的情况有
AB，AC，AD，AE共四种.
故选取的两同学能组成一个$``Team"$的概率为
P=410=25.
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为各组数据的频率之和为1，
即所有小矩形面积和为1，
所以(a+a+6a+8a+3a+a)×20=1，
解得a=0.0025.
所以诵读诗词的时间的平均数为
10×0.05+30×0.05+50×0.3
+70×0.4+90×0.15+110×0.05=64(分钟).
2由频率分布直方图，
知[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数的概率之比为1:3:1.
故5人中[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数分别为1,3,1.
设[0，20)，[80，100)，[100，120]内的5人依次为
A，B，C，D，E.
则抽取2人的所有基本事件有
AB，AC，AD，AE，BC，
BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况.
符合两同学能组成一个$``Team"$的情况有
AB，AC，AD，AE共四种.
故选取的两同学能组成一个$``Team"$的概率为
P=410=25.
【答案】
(1)解：由已知，得c=a2−b2=2，2b=a2+b2，
解得：a2=6，b2=2，
所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(−2, 0)，
设T点的坐标为(−3, m)，
则直线TF的斜率kTF=m−0−3−(−2)=−m．
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=1m，
直线PQ的方程为x=my−2；
当m=0时，直线PQ的方程为x=−2，符合x=my−2的形式．
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
消去x，得(m2+3)y2−4my−2=0，
Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0，
所以y1+y2=4m3+m2，y1y2=−23+m2，
x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2．
设M为PQ的中点，
则M点的坐标为(−63+m2, 2m3+m2)，
所以直线OM的斜率kOM=−m3.
又直线OT的斜率kOT=−m3，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由焦距的概念和a，b，c的关系，及正三角形的概念，即可得到a，b方程，解方程可得椭圆的方程；
（2）设T点的坐标为(−3, m)，运用直线的斜率公式，由垂直的条件，可得直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，设PQ的中点为M，结合斜率公式，可得直线OT和OM的斜率相等，即可得证．
【解答】
(1)解：由已知，得c=a2−b2=2，2b=a2+b2，
解得：a2=6，b2=2，
所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(−2, 0)，
设T点的坐标为(−3, m)，
则直线TF的斜率kTF=m−0−3−(−2)=−m．
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=1m，
直线PQ的方程为x=my−2；
当m=0时，直线PQ的方程为x=−2，符合x=my−2的形式．
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
消去x，得(m2+3)y2−4my−2=0，
Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0，
所以y1+y2=4m3+m2，y1y2=−23+m2，
x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2．
设M为PQ的中点，
则M点的坐标为(−63+m2, 2m3+m2)，
所以直线OM的斜率kOM=−m3.
又直线OT的斜率kOT=−m3，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ．
【答案】
解：(1)∵ f′x=2x2−4x=2xx−2，
∴ fx在−∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，
∴ fx的极大值为f0=43，fx的极小值为f2=−43，
又∵ f3=43为fx在区间上的最大值，
∴ a−5≤0，0≤a−1≤3，
∴ 1≤a≤4．
(2)ℎx=x3−3x2−x+3=x+1x−1x−3，
当x≤0时， gx=ex−ax>0，
此时Fx=ℎx，
∴ Fx在(−∞,0]有一个零点， x1=−1；
当x>0时，g′x=ex−a，
∴ gx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
又∵ a≥e3，
∴ lna≥3，
由于g0=1>0,g1=e−a<0，
∴ Fx在0,1上有一个零点x2；
又∵ glna=a1−lna<0，
令kx=x−lnxx≥e3，
则k′x=x−1x>0，
∴ kx在[e3,+∞)上单调递增，
∴ kx=x−lnx≥ke3=e3−3>0
∴ a>lna,ga=ea−a2，
再令φx=ex−x2x≥2，
则φ′x=ex−2x,φ′′x=ex−2>0，
∴ φ′x在[2,+∞)单调递增，从而φ′x>φ2=e2−4>0，
∴ φx在[2,+∞)上单调递增， φx>φ2=e2−4>0，
从而ga>0，
∴ Fx在lna,a上有一个零点x3；
综上所述：当a≥e3时，
Fx有三个零点：x1=−1,0【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)∵ f′x=2x2−4x=2xx−2，
∴ fx在−∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，
∴ fx的极大值为f0=43，fx的极小值为f2=−43，
又∵ f3=43为fx在区间上的最大值，
∴ a−5≤0，0≤a−1≤3，
∴ 1≤a≤4．
(2)ℎx=x3−3x2−x+3=x+1x−1x−3，
当x≤0时， gx=ex−ax>0，
此时Fx=ℎx，
∴ Fx在(−∞,0]有一个零点， x1=−1；
当x>0时，g′x=ex−a，
∴ gx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
又∵ a≥e3，
∴ lna≥3，
由于g0=1>0,g1=e−a<0，
∴ Fx在0,1上有一个零点x2；
又∵ glna=a1−lna<0，
令kx=x−lnxx≥e3，
则k′x=x−1x>0，
∴ kx在[e3,+∞)上单调递增，
∴ kx=x−lnx≥ke3=e3−3>0
∴ a>lna,ga=ea−a2，
再令φx=ex−x2x≥2，
则φ′x=ex−2x,φ′′x=ex−2>0，
∴ φ′x在[2,+∞)单调递增，从而φ′x>φ2=e2−4>0，
∴ φx在[2,+∞)上单调递增， φx>φ2=e2−4>0，
从而ga>0，
∴ Fx在lna,a上有一个零点x3；
综上所述：当a≥e3时，
Fx有三个零点：x1=−1,0
1. 已知集合A={x||x|≤2, x∈Z}，B={x|x2−x−6<0}，则A∩B=( )
A.{−2, −1, 0, 1, 2, 3}B.{−2, −1, 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1}
2. 在复平面内，复数z共轭复数为z¯，且(1+i)z=|3+i|,则z¯对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3. 若点P(−3, 4)是角α的终边上一点，则sin2α= ( )
A.−2425B.−725C.1625D.85
4. 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是( )
A.∃x∈R，ax+b≤0B.∃x∈R，ax+b>0
C.∀x∈R，ax+b≤0D.∀x∈R，ax+b>0
5. 设a=lg123，b=0.30.1，c=lg425，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
6. 双曲线x2m−y2m2−m+4=1(m>0)的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为( )
A.x±2y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=0
7. 已知{an}为等差数列，a1+a2+a3=165，a2+a3+a4=156，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是( )
A.19B.20C.21D.22
8. 现有四个函数：①y=x⋅sinx；②y=x⋅csx；③y=x⋅|csx|；④y=x⋅2x的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①
二、多选题
下列各组函数中是同一函数的是( )
A.fx=x与gx=x2B.fx=|x|x与gx=1,x>0,−1,x<0.
C.fx=x−1与gx=x2−1x+1D.fx=x2+1与gt=t2+1
已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A.若m//n，m⊥α，则n⊥αB.若m//α，α∩β=n，则m//n
C.若m⊥α，m⊥β，则α//βD.若m⊥α，m//n，n⊥β，则α//β
下列说法正确的是( )
A.x+1x(x>0)的最小值是2B.x2+2x2+2的最小值是2
C.x2+5x2+4的最小值是2D.2−3x−4x的最大值是2−43
已知fx=1−2cs2ωx+π3ω>0，下面结论正确的是（ ）
A.若fx1=1,fx2=−1，且|x1−x2|的最小值为π，则ω=2
B.存在ω∈1,3，使得fx的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C.若fx在0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是[4124,4724）
D.若fx在−π6,π4上单调递增，则ω的取值范围是(0,23]
三、填空题
已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
四、解答题
在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，向量m→=3,−2sinB，向量n→=csB,cs2B，且m→//n→，角B为锐角．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．
已知数列an为首项a1=2，公比q=2的等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=n+1an，求数列bn的前n项和Tn.
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，且PA=PD=AD=2，BC=1，CD=3．
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)若M是棱PC上的一点，且满足PM→=3MC→，求二面角M−BQ−C的大小．
2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内) ，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]，经统计得到了如图所示的频率分布直方图.
1求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
2若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x−y|>60，则这两个同学组成一个$``Team"$，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个$``Team"$的概率.
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=−3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．
已知函数fx=23x3−2x2+43 ，gx=ex−axx∈R.
(1)若fx在区间a−5,a−1上的最大值为43，求实数a的取值范围；
(2)设ℎx=32fx−x+1，F(x)=ℎ(x),ℎ(x)≤g(x)，g(x),ℎ(x)>g(x)， 记x1,x2,⋯xn为Fx从小到大的零点，当a≥e3时，讨论Fx的零点个数及大小．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省湘西市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵ A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={x|−2
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知(1+i)z=|3+i|，
则z=|3+i|1+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
故z¯=1+i，其对应的点为(1,1)在第一象限.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
任意角的概念
【解析】
由题意先求出|OP|，根据三角函数的定义求出sinθ和csθ的值，再由倍角的正弦公式求出sin2θ．
【解答】
解：∵ P(−3, 4)为角α的终边上一点，
∴ |OP|=42+(−3)2=5，
∴ sinα=45，csα=−35，
则sin2α=2sinαcsα=−2425.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题与特称命题的否定解答即可.
【解答】
解：∵ 全称命题的否定是特称命题，
∴ 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是
“∃x∈R，ax+b>0”.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
先求出a，b，c的范围，即可比较大小.
【解答】
解：∵ a=lg123
∴ c>b>a.
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
求得双曲线的a，b，c，可得离心率e的关于m的表达式，结合基本不等式可得e的最小值，以及m的值，即可得到所求双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：双曲线x2m−y2m2−m+4=1(m>0)的a=m，b=m2−m+4，
c=m+m2−m+4=m2+4，
可得e=ca=m2+4m=m+4m，
由m>0，可得m+4m≥2m⋅4m=4，当且仅当m=2时，取得等号，
则双曲线的离心率e的最小值为2，此时m=2，
即有a=2，b=6，
可得双曲线的渐近线方程6x±2y=0，
即为3x±y=0.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
数列与函数最值问题
等差数列的性质
【解析】
写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】
解：设{an}的公差为d，由题意得：
a1+a2+a3=165,①
a2+a3+a4=156,②
②−①得3d=156−165=−9,
∴ d=−3,
而a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=165，
即3a1+3d=165,
∴ a1=58,
an=58+(n−1)×(−3)=61−3n.
由an=61−3n≥0,得n≤20,
∴ 当n=20时，Sn达到最大值．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．
【解答】
解：分析函数的解析式，可得：
①y=x⋅sinx为偶函数；②y=x⋅csx为奇函数；③y=x⋅|csx|为奇函数，④y=x⋅2x为非奇非偶函数，
且当x<0时，③y=x⋅|csx|≤0恒成立，
则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③.
故选A．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
利用函数的定义可知，两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数.
【解答】
解：A，fx=x与gx=x2=|x|，
两个函数的对应关系不一样，不是相同的函数；
B， fx=|x|x与gx=1,x>0，−1,x<0，
两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数；
C， fx=x−1与gx=x2−1x+1 ，前者的定义域为R，
后者的定义域为x|x≠−1，定义域不同，不是相同的函数；
D， fx=x2+1与gt=t2+1，
两个函数的对应关系和定义域都相同，是相同的函数.
故选BD.
【答案】
A,C,D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；
若m//α，α∩β=n，如图，
设m=AB，平面A1B1C1D1为平面α，m//α，设平面ADD1A1为平面β，
α∩β=n，则m⊥n，故B错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；
若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，故D正确.
故选ACD.
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
函数单调性的性质
【解析】
由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】
解：由基本不等式得，当x>0时，
x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，故A正确；
B，x2+2x2+2=x2+2≥2，
当x=0时取等号，故B正确；
C，x2+5x2+4=x2+4+1x2+4，
令t=x2+4，则t≥2.
∵ y=t+1t在[2, +∞)上单调递增，
∴ 当t=2时，取得最小值52，故C错误；
D，当x=−1时，2−(3x+4x)=9>2−43，故D错误．
故选AB.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
命题的真假判断与应用
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=1−2cs2ωx+π3
=−cs2ωx+2π3=sin2ωx+π6，
∴ 周期T=2π2ω=πω .
A，由条件知|x1−x2|min=π，
∴ 周期为2π,
∴ω=12，
故A错误；
B，函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为y=sin2ωx−ωπ3+π6，其图象关于y轴对称，
则−ωπ3+π6=π2+kπk∈Z，
∴ ω=−1−3k(k∈Z)，
故对任意整数k，存在ω∈(1,3)，符合题意，
故B正确 .
C，由fx=sin2ωx+π6=0，
得2ωx+π6=kπ，k∈Z，
x=kπ2ω−π12ω，k∈Z，
∴ 7π2ω−π12ω≤2π<4πω−π12ω，
∴ 4124≤ω<4724，故C正确；
D，令−π2≤2ωx+π6≤π2，
则−π3ω≤x≤π6ω.
∵ f(x)在[−π6,π4]上单调递增，
则−π3ω≤−π6,π6ω≥π4,，
∴ ω≤23，
又ω>0，
∴ 0<ω≤23，
故D正确．
故选BCD.
三、填空题
【答案】
3−1,2
【考点】
椭圆的离心率
双曲线的离心率
【解析】
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
双曲线N：x2m2−y2n2=1．
由正六边形性质，得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+3c，
由椭圆定义，得c+3c=2a，
∴ 椭圆M的离心率为ca=21+3=3−1.
双曲线N的渐近线方程为y=±nmx，
由题意，得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，
∴n2m2=tan2π3=3，
∴ e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4，
∴e=2.
故答案为：3−1；2．
四、解答题
【答案】
解：(1)由m→//n→得，
3cs2B=−2sinBcsB，
即sin2B=−3cs2B，
∴ tan2B=−3．
∵ B为锐角，
∴ 2B∈0,π，
∴ 2B=2π3，
即B=π3．
(2)∵ B=π3，b=2，
∴ 由余弦定理，得a2+c2−4−ac=0．
又∵ a2+c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
当且仅当a=c=2时取等号成立．
∴ S△ABC=12acsinB=12×32ac=34ac≤3，
故△ABC的面积最大值为3．
【考点】
平行向量的性质
三角函数值的符号
二倍角的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
【解答】
解：(1)由m→//n→得，
3cs2B=−2sinBcsB，
即sin2B=−3cs2B，
∴ tan2B=−3．
∵ B为锐角，
∴ 2B∈0,π，
∴ 2B=2π3，
即B=π3．
(2)∵ B=π3，b=2，
∴ 由余弦定理，得a2+c2−4−ac=0．
又∵ a2+c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，
当且仅当a=c=2时取等号成立．
∴ S△ABC=12acsinB=12×32ac=34ac≤3，
故△ABC的面积最大值为3．
【答案】
解：(1)由题意，得数列an为首项a1=2，
公比q=2的等比数列，
∴ an=2⋅2n−1=2n.
(2)∵ bn=n+1an，
∴ bn=n+1⋅2n，
∴ Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+
n×2n+n+1⋅2n+1，②
由①−②得：−Tn=2×2+22+23+24+25+⋯+
2n−n+1⋅2n+1
=2+21−2n1−2−n+1⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴ Tn=n⋅2n+1.
【考点】
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
(1)利用等比数列的通项公式解得an.
利用错位相减法求数列的和
【解答】
解：(1)由题意，得数列an为首项a1=2，
公比q=2的等比数列，
∴ an=2⋅2n−1=2n.
(2)∵ bn=n+1an，
∴ bn=n+1⋅2n，
∴ Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+
n×2n+n+1⋅2n+1，②
由①−②得：−Tn=2×2+22+23+24+25+⋯+
2n−n+1⋅2n+1
=2+21−2n1−2−n+1⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴ Tn=n⋅2n+1.
【答案】
(1)证明∵ Q为AD中点，PA=PD=AD=2，BC=1，
∴ PQ⊥AD，QD//BC，QD=BC，
故四边形BCDQ是平行四边形，
∴ DC//QB．
又∵ 底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，
∴ AD⊥BQ .
又∵ PQ∩BQ=Q，
∴ AD⊥平面PQB．
∵ AD⊂平面PAD，
∴ 平面PQB⊥平面PAD．
(2)解：∵ PQ⊥AD，平面PQB⊥平面PAD，
平面PQB∩平面PAD=PQ，
∴ PQ⊥平面PAD．
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q0,0,0，B0,3,0，C−1,3,0，P0,0,3，
设Ma,b,c，PM→=34PC→，
即a,b,c−3=34−1,3,−3，
∴ a=−34，b=334，c=34，
∴ M−34,334,34．
QM→=−34,334,34，QB→=0,3,0.
设平面MAB的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅QM→=−34x+334y+34z=0,n→⋅OB→=3y=0,
取x=1，则n→=1,0,3.
取平面BQC的法向量为m→=0,0,1.
设二面角M−BQ−C的平面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=32，
∴ θ=π6，
故二面角M−BQ−C所成的平面角为π6．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明∵ Q为AD中点，PA=PD=AD=2，BC=1，
∴ PQ⊥AD，QD//BC，QD=BC，
故四边形BCDQ是平行四边形，
∴ DC//QB．
又∵ 底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，
∴ AD⊥BQ .
又∵ PQ∩BQ=Q，
∴ AD⊥平面PQB．
∵ AD⊂平面PAD，
∴ 平面PQB⊥平面PAD．
(2)解：∵ PQ⊥AD，平面PQB⊥平面PAD，
平面PQB∩平面PAD=PQ，
∴ PQ⊥平面PAD．
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q0,0,0，B0,3,0，C−1,3,0，P0,0,3，
设Ma,b,c，PM→=34PC→，
即a,b,c−3=34−1,3,−3，
∴ a=−34，b=334，c=34，
∴ M−34,334,34．
QM→=−34,334,34，QB→=0,3,0.
设平面MAB的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅QM→=−34x+334y+34z=0,n→⋅OB→=3y=0,
取x=1，则n→=1,0,3.
取平面BQC的法向量为m→=0,0,1.
设二面角M−BQ−C的平面角为θ，
则csθ=|m→⋅n→|m→|⋅|n→||=32，
∴ θ=π6，
故二面角M−BQ−C所成的平面角为π6．
【答案】
解：(1)因为各组数据的频率之和为1，
即所有小矩形面积和为1，
所以(a+a+6a+8a+3a+a)×20=1，
解得a=0.0025.
所以诵读诗词的时间的平均数为
10×0.05+30×0.05+50×0.3
+70×0.4+90×0.15+110×0.05=64(分钟).
2由频率分布直方图，
知[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数的概率之比为1:3:1.
故5人中[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数分别为1,3,1.
设[0，20)，[80，100)，[100，120]内的5人依次为
A，B，C，D，E.
则抽取2人的所有基本事件有
AB，AC，AD，AE，BC，
BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况.
符合两同学能组成一个$``Team"$的情况有
AB，AC，AD，AE共四种.
故选取的两同学能组成一个$``Team"$的概率为
P=410=25.
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为各组数据的频率之和为1，
即所有小矩形面积和为1，
所以(a+a+6a+8a+3a+a)×20=1，
解得a=0.0025.
所以诵读诗词的时间的平均数为
10×0.05+30×0.05+50×0.3
+70×0.4+90×0.15+110×0.05=64(分钟).
2由频率分布直方图，
知[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数的概率之比为1:3:1.
故5人中[0，20)，[80，100)，[100，120]内
学生人数分别为1,3,1.
设[0，20)，[80，100)，[100，120]内的5人依次为
A，B，C，D，E.
则抽取2人的所有基本事件有
AB，AC，AD，AE，BC，
BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况.
符合两同学能组成一个$``Team"$的情况有
AB，AC，AD，AE共四种.
故选取的两同学能组成一个$``Team"$的概率为
P=410=25.
【答案】
(1)解：由已知，得c=a2−b2=2，2b=a2+b2，
解得：a2=6，b2=2，
所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(−2, 0)，
设T点的坐标为(−3, m)，
则直线TF的斜率kTF=m−0−3−(−2)=−m．
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=1m，
直线PQ的方程为x=my−2；
当m=0时，直线PQ的方程为x=−2，符合x=my−2的形式．
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
消去x，得(m2+3)y2−4my−2=0，
Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0，
所以y1+y2=4m3+m2，y1y2=−23+m2，
x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2．
设M为PQ的中点，
则M点的坐标为(−63+m2, 2m3+m2)，
所以直线OM的斜率kOM=−m3.
又直线OT的斜率kOT=−m3，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由焦距的概念和a，b，c的关系，及正三角形的概念，即可得到a，b方程，解方程可得椭圆的方程；
（2）设T点的坐标为(−3, m)，运用直线的斜率公式，由垂直的条件，可得直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，设PQ的中点为M，结合斜率公式，可得直线OT和OM的斜率相等，即可得证．
【解答】
(1)解：由已知，得c=a2−b2=2，2b=a2+b2，
解得：a2=6，b2=2，
所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1.
(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(−2, 0)，
设T点的坐标为(−3, m)，
则直线TF的斜率kTF=m−0−3−(−2)=−m．
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=1m，
直线PQ的方程为x=my−2；
当m=0时，直线PQ的方程为x=−2，符合x=my−2的形式．
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
消去x，得(m2+3)y2−4my−2=0，
Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0，
所以y1+y2=4m3+m2，y1y2=−23+m2，
x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2．
设M为PQ的中点，
则M点的坐标为(−63+m2, 2m3+m2)，
所以直线OM的斜率kOM=−m3.
又直线OT的斜率kOT=−m3，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ．
【答案】
解：(1)∵ f′x=2x2−4x=2xx−2，
∴ fx在−∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，
∴ fx的极大值为f0=43，fx的极小值为f2=−43，
又∵ f3=43为fx在区间上的最大值，
∴ a−5≤0，0≤a−1≤3，
∴ 1≤a≤4．
(2)ℎx=x3−3x2−x+3=x+1x−1x−3，
当x≤0时， gx=ex−ax>0，
此时Fx=ℎx，
∴ Fx在(−∞,0]有一个零点， x1=−1；
当x>0时，g′x=ex−a，
∴ gx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
又∵ a≥e3，
∴ lna≥3，
由于g0=1>0,g1=e−a<0，
∴ Fx在0,1上有一个零点x2；
又∵ glna=a1−lna<0，
令kx=x−lnxx≥e3，
则k′x=x−1x>0，
∴ kx在[e3,+∞)上单调递增，
∴ kx=x−lnx≥ke3=e3−3>0
∴ a>lna,ga=ea−a2，
再令φx=ex−x2x≥2，
则φ′x=ex−2x,φ′′x=ex−2>0，
∴ φ′x在[2,+∞)单调递增，从而φ′x>φ2=e2−4>0，
∴ φx在[2,+∞)上单调递增， φx>φ2=e2−4>0，
从而ga>0，
∴ Fx在lna,a上有一个零点x3；
综上所述：当a≥e3时，
Fx有三个零点：x1=−1,0
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)∵ f′x=2x2−4x=2xx−2，
∴ fx在−∞,0和2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减，
∴ fx的极大值为f0=43，fx的极小值为f2=−43，
又∵ f3=43为fx在区间上的最大值，
∴ a−5≤0，0≤a−1≤3，
∴ 1≤a≤4．
(2)ℎx=x3−3x2−x+3=x+1x−1x−3，
当x≤0时， gx=ex−ax>0，
此时Fx=ℎx，
∴ Fx在(−∞,0]有一个零点， x1=−1；
当x>0时，g′x=ex−a，
∴ gx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
又∵ a≥e3，
∴ lna≥3，
由于g0=1>0,g1=e−a<0，
∴ Fx在0,1上有一个零点x2；
又∵ glna=a1−lna<0，
令kx=x−lnxx≥e3，
则k′x=x−1x>0，
∴ kx在[e3,+∞)上单调递增，
∴ kx=x−lnx≥ke3=e3−3>0
∴ a>lna,ga=ea−a2，
再令φx=ex−x2x≥2，
则φ′x=ex−2x,φ′′x=ex−2>0，
∴ φ′x在[2,+∞)单调递增，从而φ′x>φ2=e2−4>0，
∴ φx在[2,+∞)上单调递增， φx>φ2=e2−4>0，
从而ga>0，
∴ Fx在lna,a上有一个零点x3；
综上所述：当a≥e3时，
Fx有三个零点：x1=−1,0
相关试卷
2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省邵阳市高二（上）10月联考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
