人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时巩固练习，共6页。

1．若(eq \f(1,2))2a＋1<(eq \f(1,2))3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(eq \f(1,2)，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，eq \f(1,2))
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1B．e－x＋1
C．－e－x－1D．－e－x＋1
4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.eq \f(3,2)
5．函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞)
6．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
7.比较下列各组数的大小：
(1)0.7－0.3与0.7－0.4；
(2)2.51.4与1.21.4；
(3)1.90.4与
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0))(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))
10．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
11．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
12．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2 B.eq \f(15,4) C .eq \f(17,4) D．a2
13．已知a＝eq \f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为( )
A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是________________．
15．函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．
16．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
17. 已知f(x)＝x(eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2))．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
18. 已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(b－2x,2x＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的范围．
【参考答案】
1. B 解析 ∵函数y＝(eq \f(1,2))x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq \f(1,2).
2. B 解析 由已知，得0<1－2a<1，解得03. D 解析 由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D.
4. C 解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
5. C 解析 设t＝x2＋2x－1，则y＝(eq \f(1,2))t.因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝(eq \f(1,2))t为关于t的减函数，所以06. 0 解析 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.
∵t>0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
7.解 (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>
(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>
8. 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，故当f(x)有最大值3时，a的值为1.
9. B 解析 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(010. B 解析 由f(1)＝eq \f(1,9)得a2＝eq \f(1,9)，所以a＝eq \f(1,3)(a＝－eq \f(1,3)舍去)，即f(x)＝(eq \f(1,3))|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
11. A 解析 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1.所以012. B 解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝eq \f(15,4).
13. D 解析 ∵0f(n)，∴m14.(－∞，－1) 解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，由1－2－x<－eq \f(1,2)，(eq \f(1,2))x>eq \f(3,2)，得x∈∅；
当x＝0时，f(0)＝0<－eq \f(1,2)不成立；当x<0时，由2x－1<－eq \f(1,2)，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
15.[14，＋∞) 解析]令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．
16. 4 解析 经过第一次漂洗，存留量为总量的eq \f(1,4)；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的eq \f(1,4)，也就是原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2，经过第三次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3，…，经过第x次漂洗，存留量为原来的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x，故解析式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x.由题意，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x≤eq \f(1,100)，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．
17. (1)解 由于2x－1≠0和2x≠20，故x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)解 函数f(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)＝x(eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2))＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)，
所以f(－x)＝－eq \f(x,2)·eq \f(2－x＋1,2－x－1)＝－eq \f(x,2)·eq \f(2－x＋1·2x,2－x－1·2x)＝－eq \f(x,2)·eq \f(1＋2x,1－2x)＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明 由(2)知f(x)＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1).对于任意x∈R，都有2x＋1>0，
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，于是eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)>0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，于是eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)>0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
18.解 (1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
∵x1＜x2，∴ SKIPIF 1 < 0 ＞0，又( SKIPIF 1 < 0 ＋1)( SKIPIF 1 < 0 ＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2.
即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－eq \f(1,3))2－eq \f(1,3)≥－eq \f(1,3).
∴k＜－eq \f(1,3).