数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词一课一练

这是一份数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词一课一练，共3页。试卷主要包含了下列命题，下列存在量词命题是假命题的是，给出四个命题，已知函数f＝x2－2x＋5.等内容，欢迎下载使用。
巩固新知 夯实基础
1．下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是( )
A.∃x0∈R，f(x0)≤f(x1)
B.∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)
C.∀x∈R，f(x)≤f(x1)
D.∀x∈R，f(x)≥f(x1)
4．下列存在量词命题是假命题的是( )
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
5．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称量词命题
C．②③是存在量词命题
D．四个命题中有两个假命题
能 力 练
综合应用 核心素养
6.下面四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；
③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
9．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
【参考答案】
1. C 解析 ①②③为真命题．
2. C 解析 命题①②④都是全称量词命题．
3.C 解析∵x1是方程2ax＋b＝0的解,∴x1＝－eq \f(b,2a)，又∵a>0，∴f(x1)是y＝f(x)的最小值，∴f(x)≥f(x1)恒成立.
4. B 解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0恒成立．
5. C 解析 ①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题．
D 解析 x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x0才成立，∴①为假命题.
∵当且仅当x＝±eq \r(2)时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
7. (－∞，3] 解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
8. (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，即得m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
9. 解 ①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈[－1,1].