2020-2021学年北京市高二（上）开学数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年北京市高二（上）开学数学试卷人教A版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}，M={0, 1, 2}，N={2, 3}，则(∁UM)∩N=( )
A.{2}B.{3}C.{2, 3, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}

2. 已知a，b∈R，则“|a|+|b|>1”是“b<−1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 若x≠−2且y≠1，则M=x2+y2+4x−2y的值与−5的大小关系是（ ）
A.M>−5B.M<−5C.M≥−5D.M≤−5

4. 为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的ABCD面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为（ ）

A.20mB.50mC.1010mD.100m

5. 不等式2−xx≥0的解集为（ ）
A.{x|0≤x≤2}B.{x|02}

6. 已知f(x)的定义域为[−2, 1]，函数f(3x−1)的定义域为( )
A.(−7, 2)B.(−13，23)C.[−7, 2]D.[−13，23]

7. 如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（ ）

A.B.C.D.

8. 函数f(x)在[a, b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a, b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（ ）
A.f(x1)−f(x2)x1−x2>0B.(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0
C.f(a)0

9. 函数y=x2−2x+3，−1≤x≤2的值域是（ ）
A.RB.[3, 6]C.[2, 6]D.[2, +∞)

10. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是（ ）
A.B.
C.D.

11. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,14)，则f(2)等于( )
A.2B.2C.22D.12

12. 网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．
从上述表格可以推算出，“30号”的童鞋对应的脚的长度为（ ）
A.150mmB.200mmC.180mmD.210mm

13. 由表格中的数据，可以断定方程ex−3x−2=0的一个根所在的区间是（ ）
A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)

14. 已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=lg0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A.m
15. 设函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=(12)x+2x+b（其中b为实数），则f(1)的值为( )
A.−3B.−1C.1D.3

16. 已知关于x的方程x2−(2m−8)x+m2−16＝0的两个实根为x1，x2满足x1<32A.m<4B.−12
17. 已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30∘，则α的值为（ ）

A.−480∘B.−240∘C.150∘D.480∘

18. 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A.[kπ−π3, kπ+π6](k∈Z)B.[kπ, kπ+π2](k∈Z)
C.[kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)D.[kπ−π2, kπ](k∈Z)

19. 若f(x)=csx−sinx在[−a, a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A.π4B.π2C.3π4D.π

20. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g(π4)=2，则f(3π8)=( )
A.−2B.−2C.2D.2

21. 点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO→+OC→+CB→等于（ ）
A.AB→B.BC→C.CD→D.DA→

22. 在△ABC中，a=7，b=10，c=6，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.以上答案都不对

23. 以−5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的新复数是（ ）
A.2−2iB.−5+5iC.2+iD.5+5i

24. 设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则x+y的值为（ ）
A.1B.2C.3D.2

25. 如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=20′B′，则以下说法正确的是（ ）

A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形

26. 已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，则n与α的关系是（ ）
A.n // αB.n // α或n⊄α
C.n⊄α或n与α不平行D.n⊄α

27. 为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100

28. 某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分．对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65，9.70，9.68，9.75，9.72，9.65，9.78，则这个班节目的实际得分是（ ）

29. 在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指（ ）
A.明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B.明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C.气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为85%

30. 甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张
C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）

已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60，则AD1→⋅AC→= 3 ，|AC1→|＝________10 ．

如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，BD→=λBN→．若MN⊥AD，则实数λ的值为________．


如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为________．


如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60∘，PB=2，PA=PD，当直线PB与底面ABCD所成角为30∘时，平面PCD与平面ACD的夹角的正弦值为________．


如图，在三棱锥D−ABC中，已知AB=2，AC→⋅BD→=−3，设AD=a，BC=b，CD=c，则c2ab+1的最小值为________．
三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）

已知全集为R，集合A={x∈R|x−6x+3>0}，B＝{x∈R|2x2−(a+10)x+5a≤0}．
（1）若B⊆∁RA，求实数a的取值范围；

（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁RA的什么条件（充分必要性）．
①a∈[−7, 12)；②a∈(−7, 12]；③a∈(6, 12]．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知定义在R上的函数f(x)＝2x−a⋅2−x(a∈R)．
（1）当a>0时，试判断f(x)在区间(1, +∞)上的单调性，并给予证明．

（2）当a＝1时，试求g(x)=[f(x)]2+4f(x)(1≤x≤2)的最小值．

设z是虚数，ω=z+1z是实数，且−1<ω<2．
（1）求|z|的值；

（2）求z的实部的取值范围．

为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A，1.5小时以上，B，1−1.5小时，C，0.5−1小时，D，0.5小时以下．图(1)，（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

（1）本次一共调查了多少名学生．

（2）在图(1)中将B对应的部分补充完整．

（3）若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF // 平面PCD．

已知α是第二象限角，且sinα=255．
（1）求tanα的值；

（2）求sin(π+α)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)的值．

如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=2．

(1)求证：EF // 平面ADD1A1；

(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；

(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出A1MA1D1的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年北京市高二（上）开学数学试卷
一、选择题（共30题，每小题2分，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
本题思路较为清晰，欲求(CUM)∩N，先求M的补集，再与N求交集．
【解答】
解：∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}，M={0, 1, 2}，
∴ ∁UM={3, 4}．
∵ N={2, 3}，
∴ (∁UM)∩N={3}．
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：当a=2，b=0时，满足|a|+|b|>1，但b<−1不成立，即充分性不成立，
若b<−1，则|b|>1，则|a|+|b|>1恒成立，即必要性成立，
则“|a|+|b|>1”是“b<−1”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
圆的一般方程
【解析】
利用作差法，得出M−(−5)=(x+2)2+(y−1)2>0，
从而得出M与−5的大小．
【解答】
∵ x≠−2且y≠−1，M=x2+y2+4x−2y，
则M−(−5)=x2+y2+4x−2y+5=(x+2)2+(y−1)2>0，
∴ M>−5．
4.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
设BC=xm(x>0)，则AB=1000xm，可得矩形A1B1C1D1的面积S的表达式，再由基本不等式求最值．
【解答】
设BC=xm(x>0)，则AB=1000xm，
∴ 矩形A1B1C1D1的面积S=(x+10)(1000x+4)
=1000+40+4x+10000x≥1040+24x⋅10000x=1440．
当且仅当4x=10000x，即x=50时上式取等号．
∴ 当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为50m．
5.
【答案】
B
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
由题意把分式不等式转化为一元二次不等式，从而求得它的解集．
【解答】
不等式2−xx≥0，即 x−2x≤0，即x(x−2)≤0，且x≠0，
求得06.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数定义域的求法，直接解不等式−2≤3x−1≤1，即可求函数y=f(3x−1)的定义域．
【解答】
解：∵ 函数y=f(x)的定义域为[−2, 1]，
∴ −2≤3x−1≤1，
解得：−13≤x≤23，即x∈[−13, 23]，
故函数y=f(3x−1)的定义域为[−13, 23].
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数图象的意义进行判断即可．
【解答】
在M→A这段，李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数满足正比例关系，为直线，
当在A→C→B这段，距离M的距离相等都等于半径，此时为常数关系，
故图象D满足条件．
8.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【解答】
解：f(x)在[a, b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a, b](x1≠x2)，
则当x10，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，x1−x2f(x1)−f(x2)>0，
当x1>x2时，f(x1)>f(x2)，此时满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，x1−x2f(x1)−f(x2)>0，
故不正确的是C，
故选：C
9.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
由于二次函数的图象的对称轴为x=1，再由−1≤x≤2可得函数的值域．
【解答】
解：函数y=x2−2x+3=(x−1)2+2，对称轴为x=1．
再由−1≤x≤2可得，当x=1时，函数取得最小为2，
当x=−1时，函数取得最大值为6，
故函数的值域为[2, 6].
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
由奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称逐一核对四个选项得答案．
【解答】
奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称，
由已知图形可知，选项B中的图象关于y轴轴对称，函数为偶函数．
11.
【答案】
D
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
先设出幂函数的解析式，由图象过(4, 14)，确定出解析式，然后令x=2即可得到f(2)的值．
【解答】
解：设f(x)=xa，
∵ 幂函数图象过(4, 14)，
则有14=4a，
∴ a=−1，
即f(x)=1x，
∴ f(2)=12.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码，根据题意得到y关于x的函数关系式，代入x=30即可求出“30号”的童鞋对应的脚的长度．
【解答】
设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码，
则由题意可知：y=5x+50，
所以当x=30时，y=5×30+50=200，
13.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
利用函数的值，通过判断f(2)与f(3)值的符号，即可推出结果．
【解答】
由题意，令f(x)=ex−3x−2，
因为f(2)=e2−3×2−2=8−7.39=0.61>0；
f(3)=e3−3×3−2=11−20.09<0，
所以f(2)⋅f(3)<0．
所以函数的零点在(2, 3)．
14.
【答案】
C
【考点】
指数函数与对数函数的关系
【解析】
可从三个数的范围上比较大小
【解答】
解：设函数f(x)=0.9x，g(x)=5.1x，ℎ(x)=lg0.9x，
则f(x)单调递减，g(x)单调递增，ℎ(x)单调递减，
∴ 0g(0.9)=5.10.9>5.10=1，即n>1，
ℎ(5.1)=lg0.95.1∴ p故选C.
15.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
根据f(x)是定义在R上的奇函数可得出f(0)＝0，从而求出b＝−1，即得出x≤0时，f(x)=(12)x+2x−1，从而根据f(1)＝−f(−1)即可求出f(1)．
【解答】
解：f(x)为定义在R上的奇函数，
且x≤0时，f(x)=(12)x+2x+b，则：
f(0)=1+b=0，得到b=−1，
则f(1)=−f(−1)=−(2−2−1)=1.
故选C.
16.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
本题可根据题意解出x1，x2关于m的表达式，然后根据条件x1<32【解答】
由题意，△＝(2m−8)2−4(m2−16)＝32(4−m)>0，
∴ 4−m>0，m<4．
方程可转化为x2−2(m−4)x+(m−4)2+m2−16＝(m−4)2．
整理，得[x−(m−4)]2＝8(4−m)．
∴ x1＝−(4−m)−22(4−m)，x2＝−(4−m)+22(4−m)．
可令2(4−m)=t，则4−m=12t2，m＝4−12t2．
故x1=−12t2−2t，x2=−12t2+2t．
∵ x1<32整理，得t2+4t+3>0t2−4t+3<0 ，
解得1∴ 1<2(4−m)<3，
∴ 1<2(4−m)<9，
∴ −1217.
【答案】
D
【考点】
任意角的概念
【解析】
由题意利用任意角的定义，得出结论．
【解答】
角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30∘，
则α的值为360∘+90∘+30∘=480∘，
18.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的单调性
【解析】
由题意求得φ的值，利用正弦函数的性质，求得f(x)的单调递增区间．
【解答】
若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，
则f(π6)为函数的函数的最大值或最小值，
即2×π6+φ＝kπ+π2，k∈Z，
则φ＝kπ+π6，k∈Z，
又f(π2)>f(π)，sin(π+φ)＝−sinφ>sin(2π+φ)＝sinφ，sinφ<0．
令k＝−1，此时φ=−5π6，满足条件sinφ<0，
令2x−5π6∈[2kπ−π2, 2kπ+π2]，k∈Z，
解得：x∈[kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)．
则f(x)的单调递增区间是[kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)．
19.
【答案】
A
【考点】
三角函数的最值
正弦函数的单调性
【解析】
利用两角和差的正弦公式化简f(x)，由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−π4, 34π]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】
解：f(x)=csx−sinx=−(sinx−csx)
=−2sin(x−π4)，
由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f(x)的一个减区间为[−π4, 34π]，
由f(x)在[−a, a]是减函数，
得−a≥−π4a≤3π4，∴ a≤π4．
则a的最大值是π4．
故选A．
20.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的周期性
三角函数的化简求值
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g(x)的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．
【解答】
解：∵ f(x)是奇函数，
∴ φ=0，
则f(x)=Asin(ωx)，
将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)，
即g(x)=Asin(12ωx)，
∵ g(x)的最小正周期为2π，
∴ 2π12ω=2π，得ω=2，
则g(x)=Asinx，f(x)=Asin2x，
若g(π4)=2，则g(π4)=Asinπ4=22A=2，即A=2，
则f(x)=2sin2x，
则f(3π8)=2sin(2×3π8)=2sin3π4=2×22=2.
故选C.
21.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
向量的加法及其几何意义
【解析】
利用平面向量的三角形法则得到所求．
【解答】
解：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO→+OC→+CB→=AC→+CB→=AB→；
故选：A．
22.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用余弦定理，计算csB，即可得出结论．
【解答】
∵ a=7，b=10，c=6，
∴ csB=72+62−1022×7×6=−528<0，
∴ B为钝角，
∴ 三角形为钝角三角形．
23.
【答案】
A
【考点】
复数的基本概念
复数的运算
虚数单位i及其性质
【解析】
根据复数的定义即可求出．
【解答】
以−5+2i的虚部为2，5i+2i2的=−2+5i实部为−2，
则以−5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的新复数是2−2i，
24.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x与y的值，则答案可求．
【解答】
∵ x，y是实数，且(1+i)x=x+xi=1+yi，
∴ x＝1x＝y，即x=y=1．
∴ x+y=2．
25.
【答案】
C
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
把直观图还原为原图形，再判断△ABC是等腰直角三角形．
【解答】
由斜二测画法的直观图知，O′C′=O′A′=20′B′，
所以原图形△ABC中，OC=OA=OB，
所以点B在以AC为直径的圆上，
所以△ABC是等腰直角三角形．
26.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
由已知得l⊂α，且l与n异面，m⊥α，n⊥m，由此能推导出n // α．
【解答】
解：∵ l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，
∴ l⊂α，且l与n异面，
∴ n // α，
又∵ m⊥α，n⊥m，
∴ n // α．
故选A．
27.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断．
【解答】
解：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况：总
体是1000名运动员的年龄；
个体是每个运动员的年龄；
样本是100名运动员的年龄；
因此应选D．
故选D．
28.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
评委打出的最低分为9.65，最高分为9.78，去掉最高分和最低分，其余得分为9.65，9.68，9.70，9.72，9.75，求出平均数．
【解答】
评委打出的最低分为9.65，最高分为9.78，去掉最高分和最低分，其余得分为9.65，9.68，9.70，9.72，9.75，
故平均分为：15(9.65+9.68+9.70+9.72+9.75)=9.70．
29.
【答案】
D
【考点】
概率的基本性质
【解析】
由概率的概念，结合具体问题的实际意义进行求解．
【解答】
在天气预报中预报“明天降水概率为85%”，
对于A，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说其他15%地区不降水，故A错误；
对于B，明天该地的每个地区都有85%的降水的可能性，
并不是说其他时间不降水，故B错误；
对于C，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，
并不是说有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水，故C错误；
对于D，由概率的定义得明天该地区降水的可能性为85%，故D正确．
30.
【答案】
A
【考点】
概率的意义
【解析】
由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．
【解答】
解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．
其中甲获胜有3种，而乙只有1种，
所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．
所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3；
故选A
二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
【答案】
3,10．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
可画出图形，根据条件知AB＝AD＝1，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60，∠BAD＝90∘，并得出AD1→⋅AC→=(AA1→+AD→)⋅(AB→+AD→)，然后进行数量积的运算即可；可得出AC1→2=(AA1→+AD→+AB→)2，进行数量积的运算即可得出AC1→2=10，从而得出|AC1→|=10．
【解答】
如图，
∵ AB＝AD＝1，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60，∠BAD＝90∘，
∴ AD1→⋅AC→=(AA1→+AD→)⋅(AB→+AD→)
=AA1→⋅AB→+AA1→⋅AD→+AD→⋅AB→+AD→2
=2×1×12+2×1×12+1
＝3，
AC1→2=(AA1→+AD→+AB→)2
=AA1→2+AD→2+AB→2+2AA1→⋅AD→+2AA1→⋅AB→+2AD→⋅AB→
=4+1+1+2×2×1×12+2×2×1×12
＝10，
∴ |AC1→|=10．
【答案】
4
【考点】
向量在几何中的应用
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间向量运算的坐标表示
【解析】
连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【解答】
解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设PA=AB=2，
则A(2, 0, 0)，D(0, −2, 0)，P(0, 0, 2)，M(22, 0, 22)，B(0, 2, 0)，BD→=(0, −22, 0).
设N(0, b, 0)，则BN→=(0, b−2, 0).
∵ BD→=λBN→，
∴ −22=λ(b−2)，
∴ b=2λ−22λ，
∴ N(0, 2λ−22λ, 0)，MN→=(−22, 2λ−22λ, −22)，AD→=(−2,−2, 0).
∵ MN⊥AD，
∴ MN→⋅AD→=1−2λ−4λ=0，
解得λ=4．
故答案为：4.
【答案】
2
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
建立空间直角坐标系，设P(λ, λ, 2−λ)，Q(0, 2, μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，写出|PQ|，再由配方法求最值．
【解答】
建立如图所示空间直角坐标系，
设P(λ, λ, 2−λ)，Q(0, 2, μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，
可得PQ=λ2+(λ−2)2+(2−λ−μ)2=2(λ−1)2+(2−λ−μ)2+2，
∵ 2(λ−1)2≥0，(2−λ−μ)2≥0，
∴ 2(λ−1)2+(2−λ−μ)2+2≥2，当且仅当λ−1=2−λ−μ=0时，等号成立，
此时λ=μ=1，
∴ 当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ的最小值为2．
【答案】
1
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
取AD中点E，证明AD⊥PBE，可得P在平面ABCD上的射影O的位置，根据PBO=30∘计算PO，OB，OE，建立空间坐标系，即可利用向量证明平面PCD⊥平面ABCD，从而可得答案．
【解答】
取AD的中点E，连接PE，BE，BD，
∵ PA=PD，∴ PE⊥AD，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，
∴ △ABD是等边三角形，∴ BE⊥AD，
又PE∩BE=E，
∴ AD⊥平面PBE，
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，则O在BE延长线上，
且∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO=30∘，
∵ PB=2，∴ PO=1，OB=3，
∴ △ABD是边长为1的等边三角形，∴ BE=32，故OE=32，
以O为原点，以OB为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，
则D(−12, 32, 0)，C(−1, 3, 0)，P(0, 0, 1)，
∴ DC→=(−12, 32, 0)，DP→=(12, −32, 1)，
设平面PCD的法向量为n→=(x, y, z)，则n→⋅DP→＝0˙，即−12x+32y＝012x−32y+z＝0，
令y=1可得n→=(3, 1, 0)，
又OP⊥平面ABCD，故OP→=(0, 0, 1)为平面ACD的一个法向量，
∴ n→⋅OP→=0，
∴ 平面PCD⊥平面ABCD，即平面PCD与平面ACD的夹角为90∘，
∴ 平面PCD与平面ACD的夹角正弦值为sin90∘=1．
【答案】
2
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
由已知得AC→=a→−c→，BD→=b→+c→，从而由AC→⋅BD→=(a→−c→)•(b→+c→)=−3，得|(a→−b→)−c→|=2，从而c2ab+1=a→⋅b→+1˙，由此入手能求出c2ab+1的最小值．
【解答】
解：∵ 在三棱锥D−ABC中，AB=2，AC→⋅BD→=−3，设AD→=a→，BC→=b→，CD→=c→，
∴ AC→=a→−c→，BD→=b→+c→，
∴ AC→⋅BD→=(a→−c→)•(b→+c→)
=a→⋅b→+a→⋅c→−b→⋅c→−c→2=−3，
∴ c→2=a→⋅b→+a→⋅c→−b→⋅c→+3，
又AB→=a→−BD→=a→−b→−c→，
∴ |(a→−b→)−c→|=2，①
∴ c2ab+1=a→⋅b→+1˙，②
将①两边平方得(a→−b→)2+c→2−2(a→−b→)⋅c→=4，
∴ (a→−b→)2+c→2−4=2(a→−b→)⋅c→，
∴ (a→−b→)22+c→22−2=(a→−b→)⋅c→，
代入②中，得c2⋅=a→⋅b→+1˙，
∴ 12c→2=a→⋅b→+1+(a→−b→)22
=a→⋅b→+1+12(a→2+b→2−2a→⋅b→)
=1+12(a→2+b→2)，
∴ c→2=2+a→2+b→2，
又c→2=c2，a→2=a2，b→2=b2，
∴ c2ab+1=2+a2+b2ab+1≥2+2abab+1=2．
∴ c2ab+1的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）
【答案】
集合A={x∈R|x−6x+3>0}=(−∞−3)∪(6,+∞)，
所∁RA＝[−3, 6]，
集合B＝{x∈R|2x2−(a+10)x+5a≤0}＝{x∈R|(2x−a)(x−5)≤0}，
若B⊆∁RA，且5∈∁RA＝[−3, 6]，
只需−3≤a2≤6，
所以−6≤a≤12．
由（1）可知B⊆的充要条件是a∈[−6, 12]，
选择①，则结论是不充分不必要条件；
选择②，则结论是必要不充分条件；
选择③，则结论是充分不必要条件．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
首先要对A、B两个集合进行化简分析，再求出A集合的补集，当B集合是A集合的补集时a的取值范围；第二问在不同a范围下考虑B集合与A集合的补集的关系
【解答】
集合A={x∈R|x−6x+3>0}=(−∞−3)∪(6,+∞)，
所∁RA＝[−3, 6]，
集合B＝{x∈R|2x2−(a+10)x+5a≤0}＝{x∈R|(2x−a)(x−5)≤0}，
若B⊆∁RA，且5∈∁RA＝[−3, 6]，
只需−3≤a2≤6，
所以−6≤a≤12．
由（1）可知B⊆的充要条件是a∈[−6, 12]，
选择①，则结论是不充分不必要条件；
选择②，则结论是必要不充分条件；
选择③，则结论是充分不必要条件．
【答案】
用定义法证明如下：
设 1则f(x1)−f(x2)=(2x1−a⋅2−x1)−(2x2−a⋅2−x2)
=(2x1−2x2)+a(2−x2−2−x1)
=(2x1−2x2)+a2x1−2x22x1+x2=(2x1−2x2)(1+a2x1+x2)．
∵ 10，
∴ 2x1−2x2<0，1+a2x1+x2>0，∴ (2x1−2x2)(1+a2x1+x2)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，∴ f(x)在区间(1, +∞)上单调递增．
设f(x)＝t，(1≤x≤2)，则g(x)=[f(x)]2+4f(x)，
所以g(x)=t+4t，
由（1）知，当a＝1时f(x)在区间(1, +∞)上单调递增，∴ t∈[32,154]，
∵ y=t+4t在区间[32,2]上单调递减，在区间[2,154]上单调递增，
∴ 当t＝2，即2x−12x=2，
解得x=lg2(2+1)时，g(x)min＝4．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）用定义法证明设 1（2）设f(x)＝t，(1≤x≤2)，则g(x)=[f(x)]2+4f(x)，得到g(x)=t+4t，利用函数的单调性，转化求解函数的最小值即可．
【解答】
用定义法证明如下：
设 1则f(x1)−f(x2)=(2x1−a⋅2−x1)−(2x2−a⋅2−x2)
=(2x1−2x2)+a(2−x2−2−x1)
=(2x1−2x2)+a2x1−2x22x1+x2=(2x1−2x2)(1+a2x1+x2)．
∵ 10，
∴ 2x1−2x2<0，1+a2x1+x2>0，∴ (2x1−2x2)(1+a2x1+x2)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，∴ f(x)在区间(1, +∞)上单调递增．
设f(x)＝t，(1≤x≤2)，则g(x)=[f(x)]2+4f(x)，
所以g(x)=t+4t，
由（1）知，当a＝1时f(x)在区间(1, +∞)上单调递增，∴ t∈[32,154]，
∵ y=t+4t在区间[32,2]上单调递减，在区间[2,154]上单调递增，
∴ 当t＝2，即2x−12x=2，
解得x=lg2(2+1)时，g(x)min＝4．
【答案】
解：（1）设z=a+bi(a，b∈R且b≠0)，
则ω=z+1z=a+bi+1a+bi=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i，
∵ ω=z+1z是实数，
∴ b−ba2+b2=0，∵ b≠0，
∴ 1a2+b2=1，即a2+b2=1，则|z|=1．
（2）∵ a2+b2=1，∴ ω=2a，
由−1<ω<2得−1<2a<2，得−12<ω<1．
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
（1）根据复数的模长公式即可求|z|的值；
（2）根据ω的取值范围即可求z的实部的取值范围．
【解答】
解：（1）设z=a+bi(a，b∈R且b≠0)，
则ω=z+1z=a+bi+1a+bi=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i，
∵ ω=z+1z是实数，
∴ b−ba2+b2=0，∵ b≠0，
∴ 1a2+b2=1，即a2+b2=1，则|z|=1．
（2）∵ a2+b2=1，∴ ω=2a，
由−1<ω<2得−1<2a<2，得−12<ω<1．
【答案】
从题图中知，选①的共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为60÷30%=200，即本次一共调查了200名学生．
被调查的学生中，选②的有200−60−30−10=100（人），补充完整的条形统计图如图所示．
3 000×5%=150，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．
【考点】
频率分布直方图
【解析】
（1）从题图中知，选①的共60人，占总人数的百分比为30%，由此能求出本次一共调查了200名学生．
（2）被调查的学生中，求出选②的有100人，由此能补充完整的条形统计图．
（3）3 000×5%=150，由雌能估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．
【解答】
从题图中知，选①的共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为60÷30%=200，即本次一共调查了200名学生．
被调查的学生中，选②的有200−60−30−10=100（人），补充完整的条形统计图如图所示．
3 000×5%=150，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下．
【答案】
证明：(1)PA=PD，E为AD的中点，
∴ PE⊥AD.
∵ 底面ABCD为矩形，
∴ BC // AD，
∴ PE⊥BC．
(2)∵ 底面ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ AB⊥平面PAD．
又PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA∩AB=A，
∴ PD⊥平面PAB．
又PD⊂平面PCD，
∴ 平面PAB⊥平面PCD．
(3)如图，取PC中点G，连结FG，GD．
∵ F，G分别为PB和PC的中点，
∴ FG//BC，且FG=12BC．
∵ 四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ ED//BC，DE=12BC，
∴ ED//FG，且ED=FG，
∴ 四边形EFGD为平行四边形，
∴ EF//GD．
又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，
∴ EF//平面PCD．
【考点】
两条直线垂直的判定
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)PA=PD，E为AD的中点，
∴ PE⊥AD.
∵ 底面ABCD为矩形，
∴ BC // AD，
∴ PE⊥BC．
(2)∵ 底面ABCD为矩形，
∴ AB⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴ AB⊥平面PAD．
又PD⊂平面PAD，
∴ AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA∩AB=A，
∴ PD⊥平面PAB．
又PD⊂平面PCD，
∴ 平面PAB⊥平面PCD．
(3)如图，取PC中点G，连结FG，GD．
∵ F，G分别为PB和PC的中点，
∴ FG//BC，且FG=12BC．
∵ 四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ ED//BC，DE=12BC，
∴ ED//FG，且ED=FG，
∴ 四边形EFGD为平行四边形，
∴ EF//GD．
又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，
∴ EF//平面PCD．
【答案】
因为α是第二象限角，且sinα=255，
所以csα=−1−sin2α=−55，
所以tanα=sinαcsα=−2．
sin(π+α)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)
=−sinα−csαcsα−sinα
=−tanα−11−tanα
=tanα+1tanα−1
=(−2)+1(−2)−1
=13．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．
【解答】
因为α是第二象限角，且sinα=255，
所以csα=−1−sin2α=−55，
所以tanα=sinαcsα=−2．
sin(π+α)+cs(π−α)sin(π2−α)+cs(π2+α)
=−sinα−csαcsα−sinα
=−tanα−11−tanα
=tanα+1tanα−1
=(−2)+1(−2)−1
=13．
【答案】
(1)证明：连接AD1，A1D，交于点O，
所以点O是A1D的中点，
连接FO，
因为F是A1C的中点，
所以OF//CD，OF=12CD，
因为AE//CD，AE=12CD，
所以OF//AE，OF=AE，
所以四边形AEFO是平行四边形，
所以EF//AO，
因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂ 平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1.
(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD．AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=2，
所以B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(22,0,0)，F22,1,1，
所以DE→=22,−2,0，EF→=0,1,1，
设平面EFD的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅DE→=0，n→⋅EF→=0，
即 22x−2y=0，y+z=0，
令y=1 ，则z=−1，x=22，
所以n→=22,1,−1，
由题知，平面DEC的一个法向量为m→=0,0,1，
所以cs=−110×1=−1010，
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是1010．
(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD，
设点M的坐标为0,t,20≤t≤2 ，
则BM→=(2,t,2)，
因为平面EFD的一个法向量为n→=22,1,−1 ，
而BM→与n→不平行，
所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD.
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面平行
直线与平面垂直
二面角的平面角及求法
用向量证明垂直
直线与平面垂直的判定
【解析】
（1）建立空间坐标系，利用向量证明EF // AD1即可得出EF // 平面ADD1A1；
（2）求出平面DEF和平面CDE的法向量，根据法向量夹角得出二面角的大小；
（3）令BM→与平面DEF的法向量平行求出M的位置即可得出结论．
【解答】
(1)证明：连接AD1，A1D，交于点O，
所以点O是A1D的中点，
连接FO，
因为F是A1C的中点，
所以OF//CD，OF=12CD，
因为AE//CD，AE=12CD，
所以OF//AE，OF=AE，
所以四边形AEFO是平行四边形，
所以EF//AO，
因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂ 平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1.
(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD．AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=2，
所以B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(22,0,0)，F22,1,1，
所以DE→=22,−2,0，EF→=0,1,1，
设平面EFD的法向量为n→=x,y,z，
则 n→⋅DE→=0，n→⋅EF→=0，
即 22x−2y=0，y+z=0，
令y=1 ，则z=−1，x=22，
所以n→=22,1,−1，
由题知，平面DEC的一个法向量为m→=0,0,1，
所以cs=−110×1=−1010，
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是1010．
(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD，
设点M的坐标为0,t,20≤t≤2 ，
则BM→=(2,t,2)，
因为平面EFD的一个法向量为n→=22,1,−1 ，
而BM→与n→不平行，
所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD.中国鞋码实际标准(mm)
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
中国鞋码习惯称呼（号）
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x+2
2
5
8
11
14