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2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“∃x∈0,+∞，lg2xA.∃x∈−∞, 0，lg2x≥lg5xB.∃x∈0,+∞，lg2x≥lg5x
C.∀x∈0,+∞，lg2x≥lg5xD.∀x∈0,+∞，lg2x
2. 若双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的实轴长为6，离心率e=53，则其焦点坐标为( )
A.±4,0B.0,±4C.±5,0D.0,±5
3. 下列命题为真命题的是( )
A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件
B.“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件
C.两个无理数之和仍为无理数
D.所有的正偶数都不是素数
4. 已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F4,0，点P3,y0是C上的一点，则|PF|=( )
A.7B.8C.9D.10
5. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为( )
A.1B.2C.4D.8
6. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1 的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为( )
A.72B.52C.32D.22
7. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A.64B.35C.31717D.32626
8. 已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，若fx≥mx+x恒成立，则m的取值范围为( )
A.−1,2e−1B.(−∞,2e−1]C.−1,e−1D.(−∞,e−1]
二、多选题
已知函数fx=xcsx的导函数为f′x，则( )
A.f′x为偶函数B.f′x为奇函数
C.f′0=1D.fπ2+f′π2=π2
已知空间向量a→=−2,−1,1，b→=3,4,5，则下列结论正确的是( )
A.2a→+b→//a→B.5|a→|=3|b→|
C.a→⊥5a→+6b→D.a→与b→夹角的余弦值为−36
已知P是双曲线C：x216−y29=1右支上一点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为原点，若|OP→−OF2→|=8，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的离心率为54
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.△PF1F2的面积为64
D.点P到双曲线C左焦点的距离是16
设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．过点M−2,1的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有( )
A.椭圆的方程为x29+y24=1
B.椭圆的焦距为5
C.椭圆上存在4个点Q，使得QF1→⋅QF2→=0
D.直线l的方程为8x−9y+25=0
三、填空题
抛物线x2=20y的准线方程为________.
已知函数fx=sinx−2ax是R上的增函数，则a的取值范围为________.
若x=−3是函数fx=x2+2ax−1ex−3的极值点，则fx的极小值为________.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，△BCD的中心为O，过点O的平面α与棱AB，AC，AD，BD，CD所在的直线分别交于P，Q，R，S，T，则1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=________.
四、解答题
在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线x23−y2=1有相同的焦点；③F1,F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且________.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点A−2,2，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知函数fx=x−4lnx+8.
(1)求fx的最值；
(2)若fx的极小值点为a，记集合A=1,a，B=x|b−1≤x≤b+1，若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，求b的取值范围．
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1 的中点，且AA1=A1B1.
(1)证明：MN⊥AC1；
(2)若B1C1=22,AA1=2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=12AD=3，PA=PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：EF//平面PCD．
(2)若PA=22，求二面角E−CF−A的余弦值．
已知函数fx=32ax+12x2−a2lnx，其中a>0.
(1)若函数fx的图象在点2,f2处的切线与直线x−3y+4=0垂直，求函数fx的单调区间；
(2)设函数fx的最小值为ga，求函数ga的最大值．
已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线C:y2=4x上两个不同的点，C的焦点为F．
(1)若直线AB过焦点F，且y12+y22=32，求|AB|的值；
(2)已知点P−2,2，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB=−1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足PD→⋅AB→=0，求点D的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈0,+∞，lg2x故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a=6，
所以a=3．
又e=ca=53，
所以c=5．
因为双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的焦点在y轴上，
所以焦点坐标为0,±5.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个三角形面积相等也可能同底等高，它们可以不全等，
全等三角形面积一定相等，故前者是后者的必要不充分条件，故A是假命题；
若B⊆A，则A∩B=B，反之也成立，
所以“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件，故B是真命题；
当x=1−2，y=1+2时，x+y=2是有理数，故C是假命题；
2是正偶数，也是素数，故D是假命题．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F4,0，
所以p2=4，|PF|=3+p2=7．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
直线与双曲线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立方程组x=a,y=bax,解得x=a,y=b,
故Da,b，同理可得Ea,−b，
所以|ED|=2b，S△ODE=12a×2b=ab．
因为C的焦距为4，
所以c=2，
c2=a2+b2≥2ab，
解得ab≤2，
当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ODE的最大值为2．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
O为A1B1的中点，
由已知，A(−1,0,2)，B(1,0,2)，D(0,3,1)，C1(0,3,0)，
所以AB→=2,0,0，AD→=1,3,−1，
设平面ABD的法向量为n→=x,y,z，
n→⋅AB→=x=0，n→⋅AD→=3y−z=0，
令y=1，则z=3，即n→=0,1,3，C1D→=0,0,1，
则点C1到平面ABD的距离为|C1D→⋅n→||n→|=32．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得BC2+CD2=42+32=52=BD2，
所以∠BCD=90∘.
建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
由题意得A0,0,2，B0,0,0，C0,4,0，D−3,4,0，
所以AD→=(−3, 4, −2)，BA→=(0, 0, 2)，CD→=−3,0,0．
由AE=2ED，得AE→=23AD→=−2,83,−43，
所以BE→=BA→+AE→=−2,83,23.
设异面直线CD与BE所成角为θ，
所以csθ=BE→⋅CD→|BE→||CD→|=63×4+689=32626.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=ax，所以f′x=axlna.
又函数fx的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，
所以f′0=a0lna=2，解得a=e2，
所以fx=e2x.
因为fx≥mx+x恒成立，
所以e2x≥mx+x恒成立．
当x=0时，e0≥0成立；
当x≠0时，令gx=e2xx−1，则g′x=e2x2x−1x2．
当x∈−∞,0∪0,12时，g′x<0，gx在−∞,0和0,12上单调递减．
当x∈12, +∞时，g′x>0，gx在12, +∞上单调递增．
当x>0时，m≤e2xx−1恒成立，
所以m≤e2xx−1min=g12=2e−1.
当x<0时，m≥e2xx−1恒成立，而gx=e2xx−1<−1，
所以m≥−1.
综上，−1≤m≤2e−1，
所以m的取值范围为−1,2e−1.
故选A.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
简单复合函数的导数
函数奇偶性的判断
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=xcsx，所以f′x=csx−xsinx，
因为f′−x=cs(−x)−(−x)sin(−x)=csx−xsinx=f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，故A正确，B错误；
f′0=1，故C正确；
fπ2+f′π2=0−π2=−π2，故D错误．
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的模
空间向量的数量积运算
空间向量的加减法
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a→+b→=−1,2,7，a→=−2,−1,1，而−1−2≠2−1≠71，故A错误；
因为|a→|=6，|b→|=52，所以5|a→|=3|b→|，故B正确；
因为a→⋅5a→+6b→=5a→2+6a→⋅b→=0，故C正确；
又cs⟨a→,b→⟩=−56×52=−36，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．因为双曲线x216−y29=1，a=4，b=3，c=5，所以e=54，故A正确；
B．渐近线方程为y=±34x，故B错误；
D．因为|OP→−OF2→|=8，所以|PF2|=8，
由|PF1|−|PF2|=8，得|PF1|=16，故D正确；
C．因为cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=5564，
所以sin∠F1PF2=311964，
故S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2
=12×16×8×311964=3119，故C错误．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=6，故a=3．
因为PF1⊥F1F2，
所以|F1F2|=|PF2|2−|PF1|2=25=2c，
故c=5，b=2，即椭圆的方程为x29+y24=1，故A正确；
椭圆的焦距为2c=25，故B错误；
由QF1→⋅QF2→=0知∠F1QF2=90∘，
故点Q在以线段F1F2为直径的圆上，
由c>b知圆与椭圆有4个交点，故C正确；
依题意知点M−2,1为弦AB的中点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减得x1−x2x1+x29+y1−y2y1+y24=0.
因为x1+x2=−4，y1+y2=2，
所以2x1−x29=y1−y24，
故kAB=y1−y2x1−x2=89，
故l：y−1=89x+2，即8x−9y+25=0，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
y=−5
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x2=2py（p>0）的准线方程为y=−p2.
而2p=20，故所求准线方程为y=−5．
故答案为：y=−5．
【答案】
−∞, −12
【考点】
函数恒成立问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f(x)=sinx−2ax，
所以f′x=csx−2a.
由csx−2a≥0，得a≤12csx在R上恒成立，
所以a≤−12．
故答案为：−∞, −12．
【答案】
−1e3
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=x2+2ax−1ex−3，
所以f′x=x2+2a+2x+2a−1ex−3．
由f′−3=2−4ae−6=0，得a=12，
所以f(x)=(x2+x−1)ex−3，f′(x)=(x2+3x)ex−3．
令f′x<0，得−3令f′x>0，得x<−3或x>0，即f(x)在(−∞, −3)，(0, +∞)上单调递增．
所以fx极小值=f0=−1e3．
故答案为：−1e3.
【答案】
3
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为O为△BCD的中心，
所以AO→=13AB→+AC→+AD→.
设|AP→|=x，|AQ→|=y，|AR→|=z，
所以AO→=13xAP→+13yAQ→+13zAR→．
因为O，P，Q，R四点共面，
所以13x+13y+13z=1，
即1x+1y+1z=3，1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=3.
故答案为：3.
四、解答题
【答案】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
椭圆的通径
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=1−4x=x−4x．
令f′x<0，得00,得x>4．
所以fx在0,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，
所以fxmin=f4=12−8ln2，无最大值．
(2)由(1)知a=4，集合A=1,4，
若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，则集合B为集合A的真子集．
由b−1≥1,b+1≤4, 得2≤b≤3，
所以b的取值范围为2,3．
【考点】
利用导数研究函数的最值
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=1−4x=x−4x．
令f′x<0，得00,得x>4．
所以fx在0,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，
所以fxmin=f4=12−8ln2，无最大值．
(2)由(1)知a=4，集合A=1,4，
若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，则集合B为集合A的真子集．
由b−1≥1,b+1≤4, 得2≤b≤3，
所以b的取值范围为2,3．
【答案】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【答案】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs=m→⋅n→|m→||n→|=31010，且二面角E−CF−A为锐二面角，
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs=m→⋅n→|m→||n→|=31010，且二面角E−CF−A为锐二面角，
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【答案】
解：(1)依题意得f(x)的定义域为(0, +∞)，
且f′(x)=32a+x−a2x=(2x−a)(x+2a)2x．
因为f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x−3y+4=0垂直，
所以f′(2)=−3=32a+2−a22，即a2−3a−10=0，
解得a=5或a=−2．
又因为a>0，
所以a=5，
此时f′(x)=(2x−5)(x+10)2x．
令f′(x)>0，得x>52；令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递增区间为(52,+∞)，单调递减区间为(0,52)．
(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x+2a)2x，
令f′(x)>0，得x>a2；令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)上单调递增，
所以fmin(x)=f(a2)=78a2−a2lna2，
所以g(a)=78a2−a2lna2.
又g′(a)=a(34−2lna2)，令g′(a)=0，得a=2e38，
所以g(a)在(0,2e38)上单调递增，在(2e38,+∞)上单调递减，
所以当a=2e38时，g(a)max=g(2e38)=2e34．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意得f(x)的定义域为(0, +∞)，
且f′(x)=32a+x−a2x=(2x−a)(x+2a)2x．
因为f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x−3y+4=0垂直，
所以f′(2)=−3=32a+2−a22，即a2−3a−10=0，
解得a=5或a=−2．
又因为a>0，
所以a=5，
此时f′(x)=(2x−5)(x+10)2x．
令f′(x)>0，得x>52；令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递增区间为(52,+∞)，单调递减区间为(0,52)．
(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x+2a)2x，
令f′(x)>0，得x>a2；令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)上单调递增，
所以fmin(x)=f(a2)=78a2−a2lna2，
所以g(a)=78a2−a2lna2.
又g′(a)=a(34−2lna2)，令g′(a)=0，得a=2e38，
所以g(a)在(0,2e38)上单调递增，在(2e38,+∞)上单调递减，
所以当a=2e38时，g(a)max=g(2e38)=2e34．
【答案】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
抛物线的性质
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
1. 命题“∃x∈0,+∞，lg2x
C.∀x∈0,+∞，lg2x≥lg5xD.∀x∈0,+∞，lg2x
2. 若双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的实轴长为6，离心率e=53，则其焦点坐标为( )
A.±4,0B.0,±4C.±5,0D.0,±5
3. 下列命题为真命题的是( )
A.“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件
B.“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件
C.两个无理数之和仍为无理数
D.所有的正偶数都不是素数
4. 已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F4,0，点P3,y0是C上的一点，则|PF|=( )
A.7B.8C.9D.10
5. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为( )
A.1B.2C.4D.8
6. 正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1 的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为( )
A.72B.52C.32D.22
7. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，AB=2，BC=4，CD=3，BD=5，点E在棱AD上，且AE=2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A.64B.35C.31717D.32626
8. 已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，若fx≥mx+x恒成立，则m的取值范围为( )
A.−1,2e−1B.(−∞,2e−1]C.−1,e−1D.(−∞,e−1]
二、多选题
已知函数fx=xcsx的导函数为f′x，则( )
A.f′x为偶函数B.f′x为奇函数
C.f′0=1D.fπ2+f′π2=π2
已知空间向量a→=−2,−1,1，b→=3,4,5，则下列结论正确的是( )
A.2a→+b→//a→B.5|a→|=3|b→|
C.a→⊥5a→+6b→D.a→与b→夹角的余弦值为−36
已知P是双曲线C：x216−y29=1右支上一点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，O为原点，若|OP→−OF2→|=8，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的离心率为54
B.双曲线C的渐近线方程为y=±43x
C.△PF1F2的面积为64
D.点P到双曲线C左焦点的距离是16
设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．过点M−2,1的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有( )
A.椭圆的方程为x29+y24=1
B.椭圆的焦距为5
C.椭圆上存在4个点Q，使得QF1→⋅QF2→=0
D.直线l的方程为8x−9y+25=0
三、填空题
抛物线x2=20y的准线方程为________.
已知函数fx=sinx−2ax是R上的增函数，则a的取值范围为________.
若x=−3是函数fx=x2+2ax−1ex−3的极值点，则fx的极小值为________.
如图，正四面体ABCD的棱长为1，△BCD的中心为O，过点O的平面α与棱AB，AC，AD，BD，CD所在的直线分别交于P，Q，R，S，T，则1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=________.
四、解答题
在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线x23−y2=1有相同的焦点；③F1,F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且________.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点A−2,2，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知函数fx=x−4lnx+8.
(1)求fx的最值；
(2)若fx的极小值点为a，记集合A=1,a，B=x|b−1≤x≤b+1，若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，求b的取值范围．
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1 的中点，且AA1=A1B1.
(1)证明：MN⊥AC1；
(2)若B1C1=22,AA1=2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，AB=4，BC=12AD=3，PA=PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：EF//平面PCD．
(2)若PA=22，求二面角E−CF−A的余弦值．
已知函数fx=32ax+12x2−a2lnx，其中a>0.
(1)若函数fx的图象在点2,f2处的切线与直线x−3y+4=0垂直，求函数fx的单调区间；
(2)设函数fx的最小值为ga，求函数ga的最大值．
已知Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线C:y2=4x上两个不同的点，C的焦点为F．
(1)若直线AB过焦点F，且y12+y22=32，求|AB|的值；
(2)已知点P−2,2，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA+kPB=−1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足PD→⋅AB→=0，求点D的轨迹方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈0,+∞，lg2x
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a=6，
所以a=3．
又e=ca=53，
所以c=5．
因为双曲线y2a2−x2b2=1a>0,b>0的焦点在y轴上，
所以焦点坐标为0,±5.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个三角形面积相等也可能同底等高，它们可以不全等，
全等三角形面积一定相等，故前者是后者的必要不充分条件，故A是假命题；
若B⊆A，则A∩B=B，反之也成立，
所以“A∩B=B”是“B⊆A”的充要条件，故B是真命题；
当x=1−2，y=1+2时，x+y=2是有理数，故C是假命题；
2是正偶数，也是素数，故D是假命题．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F4,0，
所以p2=4，|PF|=3+p2=7．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
直线与双曲线结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立方程组x=a,y=bax,解得x=a,y=b,
故Da,b，同理可得Ea,−b，
所以|ED|=2b，S△ODE=12a×2b=ab．
因为C的焦距为4，
所以c=2，
c2=a2+b2≥2ab，
解得ab≤2，
当且仅当a=b=2时取等号，
所以S△ODE的最大值为2．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
O为A1B1的中点，
由已知，A(−1,0,2)，B(1,0,2)，D(0,3,1)，C1(0,3,0)，
所以AB→=2,0,0，AD→=1,3,−1，
设平面ABD的法向量为n→=x,y,z，
n→⋅AB→=x=0，n→⋅AD→=3y−z=0，
令y=1，则z=3，即n→=0,1,3，C1D→=0,0,1，
则点C1到平面ABD的距离为|C1D→⋅n→||n→|=32．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得BC2+CD2=42+32=52=BD2，
所以∠BCD=90∘.
建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
由题意得A0,0,2，B0,0,0，C0,4,0，D−3,4,0，
所以AD→=(−3, 4, −2)，BA→=(0, 0, 2)，CD→=−3,0,0．
由AE=2ED，得AE→=23AD→=−2,83,−43，
所以BE→=BA→+AE→=−2,83,23.
设异面直线CD与BE所成角为θ，
所以csθ=BE→⋅CD→|BE→||CD→|=63×4+689=32626.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=ax，所以f′x=axlna.
又函数fx的图象在0,1处的切线方程为y=2x+1，
所以f′0=a0lna=2，解得a=e2，
所以fx=e2x.
因为fx≥mx+x恒成立，
所以e2x≥mx+x恒成立．
当x=0时，e0≥0成立；
当x≠0时，令gx=e2xx−1，则g′x=e2x2x−1x2．
当x∈−∞,0∪0,12时，g′x<0，gx在−∞,0和0,12上单调递减．
当x∈12, +∞时，g′x>0，gx在12, +∞上单调递增．
当x>0时，m≤e2xx−1恒成立，
所以m≤e2xx−1min=g12=2e−1.
当x<0时，m≥e2xx−1恒成立，而gx=e2xx−1<−1，
所以m≥−1.
综上，−1≤m≤2e−1，
所以m的取值范围为−1,2e−1.
故选A.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
简单复合函数的导数
函数奇偶性的判断
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=xcsx，所以f′x=csx−xsinx，
因为f′−x=cs(−x)−(−x)sin(−x)=csx−xsinx=f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，故A正确，B错误；
f′0=1，故C正确；
fπ2+f′π2=0−π2=−π2，故D错误．
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的模
空间向量的数量积运算
空间向量的加减法
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为2a→+b→=−1,2,7，a→=−2,−1,1，而−1−2≠2−1≠71，故A错误；
因为|a→|=6，|b→|=52，所以5|a→|=3|b→|，故B正确；
因为a→⋅5a→+6b→=5a→2+6a→⋅b→=0，故C正确；
又cs⟨a→,b→⟩=−56×52=−36，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．因为双曲线x216−y29=1，a=4，b=3，c=5，所以e=54，故A正确；
B．渐近线方程为y=±34x，故B错误；
D．因为|OP→−OF2→|=8，所以|PF2|=8，
由|PF1|−|PF2|=8，得|PF1|=16，故D正确；
C．因为cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=5564，
所以sin∠F1PF2=311964，
故S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2
=12×16×8×311964=3119，故C错误．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=6，故a=3．
因为PF1⊥F1F2，
所以|F1F2|=|PF2|2−|PF1|2=25=2c，
故c=5，b=2，即椭圆的方程为x29+y24=1，故A正确；
椭圆的焦距为2c=25，故B错误；
由QF1→⋅QF2→=0知∠F1QF2=90∘，
故点Q在以线段F1F2为直径的圆上，
由c>b知圆与椭圆有4个交点，故C正确；
依题意知点M−2,1为弦AB的中点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减得x1−x2x1+x29+y1−y2y1+y24=0.
因为x1+x2=−4，y1+y2=2，
所以2x1−x29=y1−y24，
故kAB=y1−y2x1−x2=89，
故l：y−1=89x+2，即8x−9y+25=0，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
y=−5
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x2=2py（p>0）的准线方程为y=−p2.
而2p=20，故所求准线方程为y=−5．
故答案为：y=−5．
【答案】
−∞, −12
【考点】
函数恒成立问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f(x)=sinx−2ax，
所以f′x=csx−2a.
由csx−2a≥0，得a≤12csx在R上恒成立，
所以a≤−12．
故答案为：−∞, −12．
【答案】
−1e3
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=x2+2ax−1ex−3，
所以f′x=x2+2a+2x+2a−1ex−3．
由f′−3=2−4ae−6=0，得a=12，
所以f(x)=(x2+x−1)ex−3，f′(x)=(x2+3x)ex−3．
令f′x<0，得−3
所以fx极小值=f0=−1e3．
故答案为：−1e3.
【答案】
3
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为O为△BCD的中心，
所以AO→=13AB→+AC→+AD→.
设|AP→|=x，|AQ→|=y，|AR→|=z，
所以AO→=13xAP→+13yAQ→+13zAR→．
因为O，P，Q，R四点共面，
所以13x+13y+13z=1，
即1x+1y+1z=3，1|AP→|+1|AQ→|+1|AR→|=3.
故答案为：3.
四、解答题
【答案】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【考点】
椭圆的标准方程
双曲线的标准方程
椭圆的通径
椭圆的定义
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)选①，由题意知2a=8，a=4．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，b2=12，
则椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
选②，设F1−c,0，F2c,0，则c2=3+1=4，c=2．
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由a2−22=3a，解得a2=16，b2=12.
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1 .
选③，设F1−c,0，F2c,0，则a=2c.
因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，
所以2b2a=6，即b2=3a.
由2c2−c2=3×2c，得c=2，
从而a2=16，b2=12，
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1．
(2)由题意知F1−2,0，F22,0，
因为|MF1|+|MF2|=2a=8，
所以|MA|+|MF2|=8+|MA|−|MF1|，
所以当M，F1，A三点共线时，|MA|−|MF1|取得最大值.
又因为|MA|−|MF1|max=|AF1|=2，
所以|MA|+|MF2|max=8+|AF1|=8+2，
所以|MA|+|MF2|的最大值为8+2.
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=1−4x=x−4x．
令f′x<0，得0
所以fx在0,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，
所以fxmin=f4=12−8ln2，无最大值．
(2)由(1)知a=4，集合A=1,4，
若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，则集合B为集合A的真子集．
由b−1≥1,b+1≤4, 得2≤b≤3，
所以b的取值范围为2,3．
【考点】
利用导数研究函数的最值
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
f′x=1−4x=x−4x．
令f′x<0，得0
所以fx在0,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，
所以fxmin=f4=12−8ln2，无最大值．
(2)由(1)知a=4，集合A=1,4，
若“x∈B”为“x∈A”的充分不必要条件，则集合B为集合A的真子集．
由b−1≥1,b+1≤4, 得2≤b≤3，
所以b的取值范围为2,3．
【答案】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，连接AN，NC1，
设AA1=C1D1=2a，B1C1=2b．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以AN=AA12+A1N2=4a2+b2.
又C1D1⊥A1D1，
所以C1N=4a2+b2，即AN=C1N.
因为M为线段AC1的中点，
所以MN⊥AC1．
(2)解：以A1为坐标原点，分别以A1B1→，A1D1→，A1A→的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1−xyz．
因为B1C1=22，AA1=2，
所以C1(2,22,0)，D1(0,22,0)，B1(2,0,0)，M(1,2,1)，A(0,0,2)，
则AC1→=(2,22,−2)，C1D1→=(−2,0,0)，B1M→=(−1,2,1)．
设平面AC1D1的法向量为n→=x,y,z，
则AC1→⋅n→=0,C1D1→⋅n→=0,即2x+22y−2z=0,−2x=0,
令y=1，得n→=0,1,2．
设B1M与平面AC1D1所成角为θ，
则sinθ=B1M→⋅n→B1M→⋅n→=2223=63，
所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为63．
【答案】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，
所以EF//PD．
因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：取AB的中点O，连接OP．
因为PA=PB，所以OP⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以OP⊥平面ABCD．
过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，
则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为PA=22，AB=4，BC=12AD=3，
所以E(1,0,1)，F(2,3,0)，C(−2,3,0)，
CE→=(3,−3,1)，CF→=(4,0,0)．
设平面CEF的法向量为m→=(x,y,z)，
所以m→⋅CE→=0，m→⋅CF→=0， 即3x−3y+z=0，4x=0，
可取m→=(0,1,3)．
显然平面CAF的一个法向量为n→=(0,0,1)，
因为cs
所以二面角E−CF−A的余弦值为31010．
【答案】
解：(1)依题意得f(x)的定义域为(0, +∞)，
且f′(x)=32a+x−a2x=(2x−a)(x+2a)2x．
因为f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x−3y+4=0垂直，
所以f′(2)=−3=32a+2−a22，即a2−3a−10=0，
解得a=5或a=−2．
又因为a>0，
所以a=5，
此时f′(x)=(2x−5)(x+10)2x．
令f′(x)>0，得x>52；令f′(x)<0，得0
(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x+2a)2x，
令f′(x)>0，得x>a2；令f′(x)<0，得0
所以fmin(x)=f(a2)=78a2−a2lna2，
所以g(a)=78a2−a2lna2.
又g′(a)=a(34−2lna2)，令g′(a)=0，得a=2e38，
所以g(a)在(0,2e38)上单调递增，在(2e38,+∞)上单调递减，
所以当a=2e38时，g(a)max=g(2e38)=2e34．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意得f(x)的定义域为(0, +∞)，
且f′(x)=32a+x−a2x=(2x−a)(x+2a)2x．
因为f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与直线x−3y+4=0垂直，
所以f′(2)=−3=32a+2−a22，即a2−3a−10=0，
解得a=5或a=−2．
又因为a>0，
所以a=5，
此时f′(x)=(2x−5)(x+10)2x．
令f′(x)>0，得x>52；令f′(x)<0，得0
(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x+2a)2x，
令f′(x)>0，得x>a2；令f′(x)<0，得0
所以fmin(x)=f(a2)=78a2−a2lna2，
所以g(a)=78a2−a2lna2.
又g′(a)=a(34−2lna2)，令g′(a)=0，得a=2e38，
所以g(a)在(0,2e38)上单调递增，在(2e38,+∞)上单调递减，
所以当a=2e38时，g(a)max=g(2e38)=2e34．
【答案】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
抛物线的性质
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由抛物线的定义可知F1,0，准线方程为x=−1．
因为|AF|=x1+1=y124+1，|BF|=x2+1=y224+1，
所以|AB|=|AF|+|BF|=y12+y224+2=10．
(2)依题意可设直线AB：x=ty+m，
y2=4x,x=ty+m,⇒y2−4ty−4m=0，
则Δ=16t2+16m>0，y1+y2=4t，y1y2=−4m．①
因为kPA+kPB=y1−2x1+2+y2−2x2+2=y1−2ty1+m+2+y2−2ty2+m+2=−1，
所以2ty1y2+(m+2)(y1+y2)−2t(y1+y2)−4(m+2)t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=−1．②
由①②化简整理可得8t−4tm+m2−4=0，
则有m+2−4tm−2=0，即m=2或m=4t−2．
当m=4t−2时，Δ=16t2+64t−32=16t+22−96>0，
解得t>−2+6或t<−2−6，
此时AB：x=ty+4t−2过定点−2,−4，不符合题意；
当m=2时，Δ=16t2+32>0对于任意t∈R恒成立，
所以m=2，直线x=ty+2过定点E2,0．
因为PD→⋅AB→=0，
所以PD→⊥AB→，且A，B，D，E四点共线，
所以PD→⊥DE→，点D的轨迹是以PE为直径的圆．
设Dx,y，PE的中点坐标为0,1，|PE|=25，
则D点的轨迹方程为x2+y−12=5．
验证，当D的坐标为−2,0时，
因为PD⊥AB，AB的方程为y=0，不符合题意，
所以点D的轨迹方程为x2+y−12=5（x≠−2且y≠0）．
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