四川省成都市青羊区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题（word版 含答案）

这是一份四川省成都市青羊区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知某种感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×10﹣8
2．2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若代数式x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．6B．-6C．±6D．±9
4．下列计算正确的是（ ）
A．8ab﹣3a＝5bB．(﹣3a2b)2＝6a4b2
C．(a+1)2＝a2+1D．2a2b÷b＝2a2
5．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是( )
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线D．两点确定一条直线
6．如图，直线l1∥l2且与直线l3相交于A、C两点．过点A作AD⊥AC交直线l2于点D．若∠BAD＝35°，则∠ACD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．70°
7．如果（x+1）（3x+a）的乘积中不含x的一次项，则a为（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
8．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．厘米
9．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AB＝8，BC＝5，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点M、N．直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．15B．13C．11D．10
10．柿子熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出柿子下落过程（即落地前）的速度变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：16x3÷（8x）＝___．
12．已知x2﹣y2＝21，x﹣y＝3，则x+y＝___．
13．转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在红色区城的概率是___．
14．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，交BC于点D．过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为___．
15．若3m＝6，3n＝2，则3m+n的值为___．
16．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费14元；超过5千克的部分每千克加收3元，小明在该快递公司寄一件9千克的物品，需要付费___元．
17．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝36°，则∠C的度数是___．
18．如图ABDE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝___．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为，则线段CD的长度为 ___．
三、解答题
20．计算：
（1）22×（2021）0++|﹣3|．
（2）（2xy2）2•（﹣6x3y）÷（3x4y4）．
21．先化简，再求值：[（3x+y）2﹣9（x﹣y）（x+y）]÷（2y），其中x＝3，y＝﹣2．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
23．如图，在边长为单位1的正方形网格中有ABC．
（1）在图中画出ABC关于直线MN成轴对称的图形A1B1C1；
（2）求ABC的面积：
（3）在直线MN上有一点P使得PA+PB的值最小，请在图中标出点P的位置．
24．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表（频率＝）：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若该校要同时开设两门课程（例如，课程BC和课程CB代表同一种情况），请直接写出同时开设课程BC的概率．
25．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
26．解决下列问题：
（1）已知x+3y＝7，xy＝2，求x﹣3y的值；
（2）已知等腰△ABC的三边a、b、c为整数，且满足a2+b2＝4a+10b﹣29，求△ABC的周长．
27．甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度y（m）与铺设时间x（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题：
（1）在2时～6时段时，乙队的工作效率为 m/h；
（2）分别求出乙队在0时～2时段和2时～6时段，y与x的关系式，并求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值；
（3）求出当两队所铺设的公路长度之差为5m时x的值．
28．在△ABD中∠A＝45°，BC⊥AD于点C，E为AB上一点，连接DE交BC于点F，且∠ADE＝∠CBD．
（1）如图1，求证：DE＝BD．
（2）如图2，作AM⊥BD于点M，交BC于点H，判断AH与BD的数量关系，并证明．
（3）在（2）的条件下，当CH：BH＝4：7，△ADE的面积为时，
①求线段AD的值；
②设AH＝a，用含a的代数式表示线段BM的值．
主题
频数
频率
A党史
6
0.12
B新中国史
20
m
C改革开放史
0.18
D社会主义发展史
15
n
合计
50
1
参考答案
1．B
【分析】
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．D
【分析】
根据轴对称图形的概念“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图象关于这条直线成轴对称”可直接排除选项．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
3．C
【分析】
根据完全平方式的结构特征解答即可.
【详解】
解：由题意得：x2+kx+9 =(x±3)2= x2±6x+9，∴k=±6.
故选：C.
【点睛】
本题考查了完全平方式的知识，熟知完全平方式的结构特征是解题关键.
4．D
【分析】
根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式及单项式除以单项式可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、8ab与3a不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、2a2b÷b＝2a2，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式及单项式除以单项式，熟练掌握合并同类项、积的乘方、完全平方公式及单项式除以单项式是解题的关键．
5．B
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
6．C
【分析】
由题意易得∠CAD=90°，则有∠CAB=125°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=125°，
∵l1∥l2，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
∴∠ACD＝55°；
故选C．
【点睛】
本题主要考查垂线的定义及平行线的性质，熟练掌握垂线的定义及平行线的性质是解题的关键．
7．B
【分析】
先对（x+1）（3x+a）进行化简，然后再根据乘积中不含x的一次项建立方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：，
∵乘积中不含x的一次项，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
8．D
【分析】
只要证明AOB≌DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【详解】
解：在AOB和DOC中，
，
∴AOB≌DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是×（6﹣5）＝（厘米），
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的判定及性质解决实际问题．
9．B
【分析】
由题意易得AB=AC=8，DE垂直平分AB，则有AD=BD，然后根据三角形周长公式可进行求解．
【详解】
解：由题意得：AB=AC=8，DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键．
10．C
【分析】
柿子在下落过程中，速度是越来越快的，所以速度随时间的增大而增大；根据上步提示，对各个选项中的函数图象进行分析，找出速度随时间的增大而增大的那一个即可
【详解】
因为柿子在下落过程中，速度是越来越快的，
所以速度随时间的增大而增大；
A.速度随时间的增大而减小，不符合题意；
B.速度随时间的增大而保持不变，不符合题意；
C.速度随时间的增大而增大，符合题意；
D.速度随时间的增大而减小，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
11．
【分析】
根据单项式除以单项式可直接进行求解．
【详解】
解：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键．
12．7
【分析】
根据平方差公式分解因式解答即可．
【详解】
解：∵x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）＝21，x﹣y＝3，
∴3（x+y）＝21，
∴x+y＝7．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查平方差公式分解因式，关键是根据平方差公式展开解答．
13．
【分析】
由图可得红色区域所对的圆心角为120°，然后根据概率公式可求解．
【详解】
解：由图可得：红色区域所对的圆心角为120°，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．
14．25°
【分析】
由题意易得∠ACB=20°，∠CAE=∠BAE=45°，∠CEA=90°，然后根据直角三角形的的两个锐角互余可求解．
【详解】
解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，
∴∠ACB=20°，∠CAE=∠BAE=45°，
∵CE⊥AF，
∴∠CEA=90°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ECD=∠ACE-∠ACB=25°；
故答案为25°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
15．12
【分析】
根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解．
【详解】
解：∵3m＝6，3n＝2，
∴；
故答案为12．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解题的关键．
16．26
【分析】
根据题意可直接进行列式求解．
【详解】
解：由题意得：
所需费用为14+(9-5)×3=26（元），
故答案为26．
【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
17．72°
【分析】
由题意易得∠BAC=∠C=∠ADC，设∠DAC=x，则有∠BAC=∠C=∠ADC=36°+x，进而可得∠B=x，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：∵AB＝CB，AC＝AD，
∴∠BAC=∠C=∠ADC，
设∠DAC=x，
∵∠BAD＝36°，
∴∠BAC=∠C=∠ADC=36°+x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=x，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+36°+x+36°+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠C=72°；
故答案为72°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键．
18．92°
【分析】
延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，根据角平分线可设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，根据平行线的性质可得∠AMD＝∠EDP＝y，再根据三角形的外角性质可得y－x＝44°，根据平行线的性质可得∠NCD＝180°－2y，∠NCB＝2x，最后根据∠BCD＝∠NCD＋∠NCB即可求得答案．
【详解】
解：如图，延长AB交PD与点M，过点C作CNAB，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，
∴设∠ABF＝∠FBC＝x，∠CDP＝∠EDP＝y，
∴∠MBP＝∠ABF＝x，
∵ABDE，
∴∠AMD＝∠EDP＝y，
∵∠AMD＝∠BPD＋∠MBP，∠BPD＝44°，
∴y＝44°＋x，
∴y－x＝44°，
∵ABDE，CNAB，
∴CNDE，
∴∠CDE＋∠NCD＝180°，
∴∠NCD＝180°－∠CDE＝180°－2y，
∵CNAB，
∴∠NCB＝∠ABC＝2x，
∴∠BCD＝∠NCD＋∠NCB
＝180°－2y＋2x
＝180°－2(y－x)
＝180°－2×44°
＝92°，
故答案为：92°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
19．
【分析】
过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，由题意易得△EBD是等腰直角三角形，然后可证△BCD≌△BEA，则有∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，进而根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】
解：过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴，
∴，
∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，
∴△EBD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，
∵AB＝BC，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是构造旋转型全等，抓住等腰直角三角形的特征．
20．（1）-1；（2）
【分析】
（1）根据零次幂、负指数幂及绝对值可进行求解；
（2）根据积的乘方、单项式乘单项式及单项式除单项式可进行求解．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】
本题主要考查负指数幂、零次幂及单项式的乘除法，熟练掌握负指数幂、零次幂及单项式的乘除法法则是解题的关键．
21．，
【分析】
先对整式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】
解：原式=，
把x＝3，y＝﹣2代入得：
原式=．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式、平方差公式及多项式除以单项式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及多项式除以单项式是解题的关键．
22．（1）见详解；（2）∠DBC=70°
【分析】
（1）由题意易得∠ABD=∠EDC，进而可证△ABD≌△EDC，然后问题可求证；
（2）由题意易得∠ADC=60°，则有∠BDC=40°，然后由（1）可得∠DBC=∠DCB，进而根据三角形内角和可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC，
∵∠1＝∠2，AB＝ED，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴BD＝CD．
（2）解：∵AB∥CD，∠A＝120°，
∴∠ADC=180°-∠A＝60°，
∵∠BDC＝2∠1，∠ADC=∠BDC+∠1，
∴3∠1=60°，
∴∠1=20°，即∠BDC=40°，
由（1）知BD＝CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）3.5；（3）见解析
【分析】
（1）利用网格特点和对称的性质，分别画出、、关于直线的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）连接交于点，利用，，根据两点之间线段最短可判断点满足条件．
【详解】
解：（1）如图，△为所作；
（2）的面积；
（3）如图，点即为所作．
【点睛】
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
24．（1）0.4，0.3；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）先由频数和频率的关系求出m的值，再由频率的和为1求出n的值；
（2）由C组的频率求出C组的频数即可补全图形；
（3）四个里面选两个，利用列表法即可求出概率．
【详解】
解：（1）由统计图表可得：，
∴，
故答案为0.4，0.3；
（2）由题意得：C组的频数为50×0.18=9，
∴补全直方图如下：
（3）由题意可列表如下：
∴一共有12种情况，开设课程BC的有2种情况，
∴同时开设课程BC的概率为．
【点睛】
本题主要考查频数与频率、频数分布直方图及概率，熟练掌握频数与频率、频数分布直方图及概率是解题的关键．
25．（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【分析】
（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；
（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．
【详解】
证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．
26．（1）±5；（2）12
【分析】
（1）利用完全平方公式进行求解即可；
（2）先把等式右边的移到等式左边，然后利用完全平方公式可得，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵x+3y＝7，xy＝2，
∴，
∴；
（2）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴
，
∵，
∴，
∵△ABC是等腰三角形，
∴当时，不符合题合三角形的三边关系，故舍去，
当时，符合三角形的三边关系，则有△ABC的周长为2+5+5=12．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式、三角形的三边关系及等腰三角形的定义，熟练掌握完全平方公式、三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．
27．（1）5；（2）乙队在0时~2时段的解析式为，乙队在2时~6时段的解析式为，甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值为4；（3）当两队所铺设的公路之差为5m时，x的值为1或3或5．
【分析】
（1）根据题意及图象可直接进行求解；
（2）根据题意设乙队在0时~2时段的解析式为，在2时~6时段的解析式为，然后由图象分别把点代入解析式进行求解即可；
（3）由题意及（2）可分①当在0时~2时时，两队所铺设的公路之差为5m，②当在2时~4时时，③当在4时~6时时，然后分别列方程求解即可．
【详解】
解：（1）由图象得：
在2时～6时段时，乙队的工作效率为（m/h）；
故答案为5；
（2）设乙队在0时~2时段的解析式为，由图象可把点代入得：
，解得：，
∴乙队在0时~2时段的解析式为，
设乙队在2时~6时段的解析式为，由图象可把点代入得：
，解得：，
∴乙队在2时~6时段的解析式为，
设甲队在0时~6时的解析式为，由图象把点代入得：
，解得：，
∴甲队在0时~6时的解析式为，
当甲乙两队所铺设公路长度相等时，则有：
，解得：；
（3）由题意及（2）可分：
①当在0时~2时时，两队所铺设的公路之差为5m，则有：
，解得：；
②当在2时~4时时，两队所铺设的公路之差为5m，则有：
，解得：；
③当在4时~6时时，两队所铺设的公路之差为5m，则有：
，解得：；
综上所述：当两队所铺设的公路之差为5m时，x的值为1或3或5．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
28．（1）见详解；（2）AH=BD，理由见详解；（3）①，②
【分析】
（1）由题意易得∠ABC=∠A=45°，然后根据三角形外角及角的和差关系可得∠DEB=∠DBE，进而问题可求证；
（2）由（1）可得AC=BC，根据题意可得∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，然后根据等角的余角相等可得∠CAH=∠CBD，进而可得△ACH≌△BCD，则问题可求解；
（3）①过点E作EG⊥AD于点G，由题意易得∠DGE=∠BCD=90°，则有△DGE≌△BCD，然后可得CH=CD=GE，设CH=CD=GE=4x，BH=7x，则有AC=BC=11x，进而根据三角形面积公式可建立方程求解；②由①可得，，则有，，进而可得，然后根据三角形面积可求解．
【详解】
（1）证明：∵∠A＝45°，BC⊥AD，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠ADE＝∠CBD，∠DEB=∠A+∠ADE，∠DBE=∠ABC+∠CBD，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE＝BD．
（2）证明：AH=BD，理由如下：
∵AM⊥BD，BC⊥AD，
∴∠ACH=∠BCD=∠AMB=90°，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知AC=BC，
∴△ACH≌△BCD（ASA），
∴AH=BD；
（3）①过点E作EG⊥AD于点G，如图所示：
∵BC⊥AD，
∴∠DGE=∠BCD=90°，
∵DE=BD，∠ADE＝∠CBD，
∴△DGE≌△BCD（AAS），
∴CD=GE，
由（2）可得CH=CD，
∴CH=CD=GE，
∵CH：BH＝4：7，
∴设CH=CD=GE=4x，BH=7x，则有AC=BC=11x，
∴AD=15x，
∵△ADE的面积为，
∴，解得：（负根舍去），
∴；
②由①可得，，
∴，，
∴，
∵AH＝a，，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及等积法，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．