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安徽省合肥市庐阳区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份安徽省合肥市庐阳区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共21页。试卷主要包含了下列各式中，是分式的是，下列运算中，正确的是，下列说法不一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．a6÷a3＝a2
3．若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．无法确定
4．将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
6．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，DE与AC交于点M．若BC∥EF，则∠DMC的大小为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
10．已知关于x的分式+＝2的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．a≤且a≠ B．a≥且a≠
C．a≤﹣且a≠﹣ D．a≥且a≠
二.填空题(共4小题，每题5分，共20分。把正确答案填在题中的横线上)
11．分解因式：a﹣2a2+a3＝ ．
12．计算x+1﹣的结果是 ．
13．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 ．
14．如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形．已知每个长方形的周长为90，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 ．
三.解答题（本大题共9小题，共90分解答应写出必要的说明、演算步骤
15．计算：
（1）（﹣）﹣3+﹣（π﹣）0；
（2）（﹣2xy）3÷（4x2y）﹣xy2．
16．（1）解分式方程：＝1+；
（2）解不等式组：．
17．先化简：，并将x从0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
18．如图，方格网中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C在格点上，将三角形ABC先沿水平方向向左平移4个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1；
（2）四边形ABB1A1的面积为 ．
19．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
20．合肥寿春中学某班在“弘扬雷锋精神，争当时代好少年”活动中，举行了义卖活动，义卖的钱全部捐给希望工程．在市场上了解到某种玩具枪的单价比某种玩具车的单价少6元，且用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同．
（1）求这种玩具枪和玩具车的单价各是多少？
（2）萌萌准备用自己的150元零花钱购买这种玩具枪和玩具车，计划150元刚好用完，并且玩具枪和玩具车都买，请列出所有购买方案．
21．推理填空：
如图，EF∥DH，∠D＝∠2，∠BAC＝80°，
将求∠AGD的过程及依据填写完整．
∵EF∥DH，
∴∠1＝ （ ），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（ ），
∴AB∥ （ ），
∴∠BAC+ ＝180°（ ），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝ ．
22．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．
那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；
（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
23．如图，AB∥CD，点E是直线AB和直线CD之间动点．
（1）图1中，试说明：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
（2）图2中，当∠BAE的角平分线与∠ECD的角平分线交于点F，请直接写出∠AEC与∠AFC的数量关系．
（3）图3中，当点E在线段AC上，∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．试判断AF与CF的位置关系，并说明理由．
（4）图4中，若∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．请写出∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．a6÷a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：A．a2•a4＝a6，故本选项不合题意；
B．（ab2）2＝a2b4，故本选项符合题意；
C．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
故选：B．
3．若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．无法确定
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质求出即可．
解：＝＝，即分式的值不变，
故选：B．
4．将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断可得．
解：A、若a＜b，则a+c＜b+c，此选项正确；
B、若a+c＜b+c，则a＜b，此选项正确；
C、若a＜b，当c＝0时ac2＝bc2，此选项错误；
D、若ac2＜bc2，则a＜b，此选项正确；
故选：C．
6．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由分母x2+1＞0，只需求2x﹣2＜0即可．
解：∵分式的值是负数，
∴2x﹣2＜0，
∴x＜1，
故选：B．
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，DE与AC交于点M．若BC∥EF，则∠DMC的大小为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】首先根据“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDC的度数，在△DMC中，利用三角形内角和可求出∠DMC的度数．
解：∵BC∥EF，∠E＝45°，
∴∠MDC＝∠E＝45°，
在△DMC中，∠C＝30°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠MDC＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：B．
8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】设∠DOF＝2x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
解：设∠DOF＝2x，则∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE＝∠BOF＝90°﹣x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠DOF+∠FOE＝80°，
即2x+90°﹣x＝80°，
解得：x＝20°，
则∠AOD＝3x＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
故选：B．
9．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
【分析】先利用平移的性质得到AD＝BE＝4，BC＝EF＝8，△ABC≌△DEF，则BG＝5，由于S△ABC＝S△DEF，所以S阴影部分＝S梯形BEFG，然后根据梯形的面积公式计算即可．
解：∵直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，
∴AD＝BE＝4，BC＝EF＝8，△ABC≌△DEF，
∵CG＝3，
∴BG＝BC﹣CG＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
即S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝×（5+8）×4＝26．
故选：B．
10．已知关于x的分式+＝2的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．a≤且a≠ B．a≥且a≠
C．a≤﹣且a≠﹣ D．a≥且a≠
【分析】先解方程可得x＝4﹣3a，再由方程的解为非负数，得到4﹣3a≥0，又由x≠2，可得4﹣3a≠2，从而可求a的取值范围．
解：+＝2，
方程两边同时乘以x﹣2，得
x﹣a﹣2a＝2（x﹣2），
解得x＝4﹣3a，
∵方程的解为非负数，
∴4﹣3a≥0，
∴a≤，
∵x≠2，
∴4﹣3a≠2，
∴a≠，
∴a的取值范围是a≤且a≠，
故选：A．
二.填空题(共4小题，每题5分，共20分。把正确答案填在题中的横线上)
11．分解因式：a﹣2a2+a3＝ a（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（1﹣2a+a2）＝a（a﹣1）2，
故答案为：a（a﹣1）2
12．计算x+1﹣的结果是 ．
【分析】先通分再进行运算即可得到答案．
解：原式＝＝．
故答案为：．
13．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 90° ．
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠1＝2x，易证∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
设∠1＝2x，则∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，
∴4x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠2＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D′FE＝135°，
∴∠CFD'＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90°．
14．如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形．已知每个长方形的周长为90，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 1905 ．
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据条件得到a+b＝45，ab＝30，然后根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积，代入求值即可．
解：设小长方形的长为a，宽为b，
则2（a+b）＝90，ab＝30，
∴a+b＝45，
∴图中阴影部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝452﹣4×30＝1905，
故答案为：1905．
三.解答题（本大题共9小题，共90分解答应写出必要的说明、演算步骤
15．计算：
（1）（﹣）﹣3+﹣（π﹣）0；
（2）（﹣2xy）3÷（4x2y）﹣xy2．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义，二次根式的性质以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
解：（1）原式＝（﹣2）3+3﹣1
＝﹣8+2
＝﹣6．
（2）原式＝﹣8x3y3÷（4x2y）﹣xy2．
＝﹣2xy2﹣xy2
＝xy2．
16．（1）解分式方程：＝1+；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集即可．
解：（1）去分母得：6x＝2x﹣2﹣1，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣；
（2），
由①得：x≥，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为≤x＜2．
17．先化简：，并将x从0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝﹣1
18．如图，方格网中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C在格点上，将三角形ABC先沿水平方向向左平移4个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1；
（2）四边形ABB1A1的面积为 15 ．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点即可；
（2）利用三角形面积公式进行计算．
解：（1）如图，三角形A1B1C1为所作；
（2）四边形ABB1A1的面积＝×5×3+×5×3＝15．
故答案为15．
19．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
【分析】（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可；
（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：，把等式右边进行运算即可证明；
（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．
解：（1）第④个等式为：；
故答案为：；
（2）∵①＝×（1﹣），整理得：；
②＝×（﹣），整理得；
③＝×（﹣），整理得：；
…
∴第n个等式为：，
证明：右边＝
＝
＝
＝，
∴左边＝右边．
（3）+…+
＝2×（++++…+）
＝2××（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝1﹣
＝．
20．合肥寿春中学某班在“弘扬雷锋精神，争当时代好少年”活动中，举行了义卖活动，义卖的钱全部捐给希望工程．在市场上了解到某种玩具枪的单价比某种玩具车的单价少6元，且用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同．
（1）求这种玩具枪和玩具车的单价各是多少？
（2）萌萌准备用自己的150元零花钱购买这种玩具枪和玩具车，计划150元刚好用完，并且玩具枪和玩具车都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）设这种玩具枪的单价是x元，则这种玩具车的单价是（x+6）元，利用数量＝总价÷单价，结合用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买这种玩具枪m个，玩具车n个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
解：（1）设这种玩具枪的单价是x元，则这种玩具车的单价是（x+6）元，
依题意得：＝，
解得：x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝9+6＝15．
答：这种玩具枪的单价是9元，这种玩具车的单价是15元．
（2）设购买这种玩具枪m个，玩具车n个，
依题意得：9m+15n＝150，
∴n＝10﹣m．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
∴共有3种购买方案，
方案1：购买这种玩具枪5个，玩具车7个；
方案2：购买这种玩具枪10个，玩具车4个；
方案3：购买这种玩具枪15个，玩具车1个．
21．推理填空：
如图，EF∥DH，∠D＝∠2，∠BAC＝80°，
将求∠AGD的过程及依据填写完整．
∵EF∥DH，
∴∠1＝ ∠2 （ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（ 等量代换 ），
∴AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝ 100° ．
【分析】由平行线的性质得到∠1＝∠2，等量代换得出∠1＝∠D，即可判定AB∥DG，再根据平行线的性质求解即可．
解：∵EF∥DH，
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝100°．
故答案为：∠2；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；100°．
22．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．
那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；
（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 3≤x＜4 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；
（3）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义得：3x+1≤5x﹣2＜3x+2，且3x+1是整数，计算可得结论；
（4）根据4a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式x值．
解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．
故答案为：4，﹣7．
（2）如果[x]＝3．
那么x的取值范围是3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，
那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．
解得：≤x＜2．
∵3x+1是整数．
∴x＝．
故答案为：．
（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵4a＝[x]+1，
∴a＝
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
∴﹣1≤[x]＜3，
∴[x]＝﹣1，0，1，2．
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1，
当[x]＝0时，a＝，x＝，
当[x]＝1时，a＝，x＝1，
当[x]＝2时，a＝，x＝2，
∴x＝﹣1或或1或2．
23．如图，AB∥CD，点E是直线AB和直线CD之间动点．
（1）图1中，试说明：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
（2）图2中，当∠BAE的角平分线与∠ECD的角平分线交于点F，请直接写出∠AEC与∠AFC的数量关系．
（3）图3中，当点E在线段AC上，∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．试判断AF与CF的位置关系，并说明理由．
（4）图4中，若∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．请写出∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点E作EG∥AB，如图1，则EG∥CD，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，从而得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，则∠AFC＝（∠BAE+∠DCE），加上（1）的结论得到∠AFC＝∠AEC，即∠AEC＝2∠AFC；
（3）如图3，利用平行线的性质得∠MAC+∠ACN＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAF＝∠MAC，∠NCF＝∠ACN，则由（1）的结论得到∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAC+∠ACN）＝90°，即AF⊥CF；
（4）由（1）的结论可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAE+∠ECN），由邻补角的定义得∠MAE+∠BAE＝180°，∠NCE+∠DAE＝180°，则∠MAE+∠BAE+∠NCE+∠DCE＝360°，等量代换即可得出2∠AFC+∠AEC＝360°．
解：（1）过点E作EG∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）∠AEC＝2∠AFC．
如图2，由（1）的结论得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵∠BAE、∠DCE的两条平分线交于点F，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝（∠BAE+∠DCE），
∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∴∠AFC＝∠AEC，即∠AEC＝2∠AFC；
（3）AF⊥CF，如图3，
∵AB∥CD，
∴∠MAC+∠ACN＝180°，
∵∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．
∴∠MAF＝∠MAC，∠NCF＝∠ACN，
由（1）的结论得到∠AFC＝∠MAF+∠NCF，
∴∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAC+∠ACN）＝90°，
∴AF⊥CF；
（4）2∠AFC+∠AEC＝360°．如图4，
∵∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．
∴∴∠MAF＝∠MAE，∠NCF＝∠ECN，
由（1）的结论可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAE+∠ECN），
∴∠MAE+∠ECN＝2∠AFC，
∵∠MAE+∠BAE＝180°，∠NCE+∠DAE＝180°，
∴∠MAE+∠BAE+∠NCE+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．a6÷a3＝a2
3．若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．无法确定
4．将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
6．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，DE与AC交于点M．若BC∥EF，则∠DMC的大小为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
10．已知关于x的分式+＝2的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．a≤且a≠ B．a≥且a≠
C．a≤﹣且a≠﹣ D．a≥且a≠
二.填空题(共4小题，每题5分，共20分。把正确答案填在题中的横线上)
11．分解因式：a﹣2a2+a3＝ ．
12．计算x+1﹣的结果是 ．
13．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 ．
14．如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形．已知每个长方形的周长为90，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 ．
三.解答题（本大题共9小题，共90分解答应写出必要的说明、演算步骤
15．计算：
（1）（﹣）﹣3+﹣（π﹣）0；
（2）（﹣2xy）3÷（4x2y）﹣xy2．
16．（1）解分式方程：＝1+；
（2）解不等式组：．
17．先化简：，并将x从0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
18．如图，方格网中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C在格点上，将三角形ABC先沿水平方向向左平移4个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1；
（2）四边形ABB1A1的面积为 ．
19．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
20．合肥寿春中学某班在“弘扬雷锋精神，争当时代好少年”活动中，举行了义卖活动，义卖的钱全部捐给希望工程．在市场上了解到某种玩具枪的单价比某种玩具车的单价少6元，且用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同．
（1）求这种玩具枪和玩具车的单价各是多少？
（2）萌萌准备用自己的150元零花钱购买这种玩具枪和玩具车，计划150元刚好用完，并且玩具枪和玩具车都买，请列出所有购买方案．
21．推理填空：
如图，EF∥DH，∠D＝∠2，∠BAC＝80°，
将求∠AGD的过程及依据填写完整．
∵EF∥DH，
∴∠1＝ （ ），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（ ），
∴AB∥ （ ），
∴∠BAC+ ＝180°（ ），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝ ．
22．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．
那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；
（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
23．如图，AB∥CD，点E是直线AB和直线CD之间动点．
（1）图1中，试说明：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
（2）图2中，当∠BAE的角平分线与∠ECD的角平分线交于点F，请直接写出∠AEC与∠AFC的数量关系．
（3）图3中，当点E在线段AC上，∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．试判断AF与CF的位置关系，并说明理由．
（4）图4中，若∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．请写出∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．a6÷a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：A．a2•a4＝a6，故本选项不合题意；
B．（ab2）2＝a2b4，故本选项符合题意；
C．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
故选：B．
3．若将分式中的x与y的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．不变
C．扩大为原来的4倍 D．无法确定
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质求出即可．
解：＝＝，即分式的值不变，
故选：B．
4．将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断可得．
解：A、若a＜b，则a+c＜b+c，此选项正确；
B、若a+c＜b+c，则a＜b，此选项正确；
C、若a＜b，当c＝0时ac2＝bc2，此选项错误；
D、若ac2＜bc2，则a＜b，此选项正确；
故选：C．
6．若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由分母x2+1＞0，只需求2x﹣2＜0即可．
解：∵分式的值是负数，
∴2x﹣2＜0，
∴x＜1，
故选：B．
7．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，DE与AC交于点M．若BC∥EF，则∠DMC的大小为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】首先根据“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDC的度数，在△DMC中，利用三角形内角和可求出∠DMC的度数．
解：∵BC∥EF，∠E＝45°，
∴∠MDC＝∠E＝45°，
在△DMC中，∠C＝30°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠MDC＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：B．
8．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】设∠DOF＝2x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可．
解：设∠DOF＝2x，则∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE＝∠BOF＝90°﹣x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠DOF+∠FOE＝80°，
即2x+90°﹣x＝80°，
解得：x＝20°，
则∠AOD＝3x＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
故选：B．
9．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
【分析】先利用平移的性质得到AD＝BE＝4，BC＝EF＝8，△ABC≌△DEF，则BG＝5，由于S△ABC＝S△DEF，所以S阴影部分＝S梯形BEFG，然后根据梯形的面积公式计算即可．
解：∵直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，
∴AD＝BE＝4，BC＝EF＝8，△ABC≌△DEF，
∵CG＝3，
∴BG＝BC﹣CG＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
即S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝×（5+8）×4＝26．
故选：B．
10．已知关于x的分式+＝2的解为非负数，则a的范围为（ ）
A．a≤且a≠ B．a≥且a≠
C．a≤﹣且a≠﹣ D．a≥且a≠
【分析】先解方程可得x＝4﹣3a，再由方程的解为非负数，得到4﹣3a≥0，又由x≠2，可得4﹣3a≠2，从而可求a的取值范围．
解：+＝2，
方程两边同时乘以x﹣2，得
x﹣a﹣2a＝2（x﹣2），
解得x＝4﹣3a，
∵方程的解为非负数，
∴4﹣3a≥0，
∴a≤，
∵x≠2，
∴4﹣3a≠2，
∴a≠，
∴a的取值范围是a≤且a≠，
故选：A．
二.填空题(共4小题，每题5分，共20分。把正确答案填在题中的横线上)
11．分解因式：a﹣2a2+a3＝ a（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（1﹣2a+a2）＝a（a﹣1）2，
故答案为：a（a﹣1）2
12．计算x+1﹣的结果是 ．
【分析】先通分再进行运算即可得到答案．
解：原式＝＝．
故答案为：．
13．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 90° ．
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠1＝2x，易证∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
设∠1＝2x，则∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，
∴4x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠2＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D′FE＝135°，
∴∠CFD'＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90°．
14．如图，四个完全相同的长方形围一个大正方形．已知每个长方形的周长为90，面积为30，那么图中中间阴影部分的面积为 1905 ．
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据条件得到a+b＝45，ab＝30，然后根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积，代入求值即可．
解：设小长方形的长为a，宽为b，
则2（a+b）＝90，ab＝30，
∴a+b＝45，
∴图中阴影部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝452﹣4×30＝1905，
故答案为：1905．
三.解答题（本大题共9小题，共90分解答应写出必要的说明、演算步骤
15．计算：
（1）（﹣）﹣3+﹣（π﹣）0；
（2）（﹣2xy）3÷（4x2y）﹣xy2．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义，二次根式的性质以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
解：（1）原式＝（﹣2）3+3﹣1
＝﹣8+2
＝﹣6．
（2）原式＝﹣8x3y3÷（4x2y）﹣xy2．
＝﹣2xy2﹣xy2
＝xy2．
16．（1）解分式方程：＝1+；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集即可．
解：（1）去分母得：6x＝2x﹣2﹣1，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，2（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣；
（2），
由①得：x≥，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为≤x＜2．
17．先化简：，并将x从0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝0时，原式＝﹣1
18．如图，方格网中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C在格点上，将三角形ABC先沿水平方向向左平移4个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1；
（2）四边形ABB1A1的面积为 15 ．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点即可；
（2）利用三角形面积公式进行计算．
解：（1）如图，三角形A1B1C1为所作；
（2）四边形ABB1A1的面积＝×5×3+×5×3＝15．
故答案为15．
19．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
【分析】（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可；
（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：，把等式右边进行运算即可证明；
（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．
解：（1）第④个等式为：；
故答案为：；
（2）∵①＝×（1﹣），整理得：；
②＝×（﹣），整理得；
③＝×（﹣），整理得：；
…
∴第n个等式为：，
证明：右边＝
＝
＝
＝，
∴左边＝右边．
（3）+…+
＝2×（++++…+）
＝2××（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝1﹣
＝．
20．合肥寿春中学某班在“弘扬雷锋精神，争当时代好少年”活动中，举行了义卖活动，义卖的钱全部捐给希望工程．在市场上了解到某种玩具枪的单价比某种玩具车的单价少6元，且用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同．
（1）求这种玩具枪和玩具车的单价各是多少？
（2）萌萌准备用自己的150元零花钱购买这种玩具枪和玩具车，计划150元刚好用完，并且玩具枪和玩具车都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）设这种玩具枪的单价是x元，则这种玩具车的单价是（x+6）元，利用数量＝总价÷单价，结合用90元买这种玩具枪的数量与用150元买这种玩具车的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买这种玩具枪m个，玩具车n个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
解：（1）设这种玩具枪的单价是x元，则这种玩具车的单价是（x+6）元，
依题意得：＝，
解得：x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝9+6＝15．
答：这种玩具枪的单价是9元，这种玩具车的单价是15元．
（2）设购买这种玩具枪m个，玩具车n个，
依题意得：9m+15n＝150，
∴n＝10﹣m．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
∴共有3种购买方案，
方案1：购买这种玩具枪5个，玩具车7个；
方案2：购买这种玩具枪10个，玩具车4个；
方案3：购买这种玩具枪15个，玩具车1个．
21．推理填空：
如图，EF∥DH，∠D＝∠2，∠BAC＝80°，
将求∠AGD的过程及依据填写完整．
∵EF∥DH，
∴∠1＝ ∠2 （ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（ 等量代换 ），
∴AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝ 100° ．
【分析】由平行线的性质得到∠1＝∠2，等量代换得出∠1＝∠D，即可判定AB∥DG，再根据平行线的性质求解即可．
解：∵EF∥DH，
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），
又∵∠D＝∠2，
∴∠1＝∠D（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝80°，
∴∠AGD＝100°．
故答案为：∠2；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；100°．
22．阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．
那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣7 ；
（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 3≤x＜4 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；
（3）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义得：3x+1≤5x﹣2＜3x+2，且3x+1是整数，计算可得结论；
（4）根据4a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式x值．
解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．
故答案为：4，﹣7．
（2）如果[x]＝3．
那么x的取值范围是3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，
那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．
解得：≤x＜2．
∵3x+1是整数．
∴x＝．
故答案为：．
（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵4a＝[x]+1，
∴a＝
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
∴﹣1≤[x]＜3，
∴[x]＝﹣1，0，1，2．
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1，
当[x]＝0时，a＝，x＝，
当[x]＝1时，a＝，x＝1，
当[x]＝2时，a＝，x＝2，
∴x＝﹣1或或1或2．
23．如图，AB∥CD，点E是直线AB和直线CD之间动点．
（1）图1中，试说明：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
（2）图2中，当∠BAE的角平分线与∠ECD的角平分线交于点F，请直接写出∠AEC与∠AFC的数量关系．
（3）图3中，当点E在线段AC上，∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．试判断AF与CF的位置关系，并说明理由．
（4）图4中，若∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．请写出∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点E作EG∥AB，如图1，则EG∥CD，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，从而得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，则∠AFC＝（∠BAE+∠DCE），加上（1）的结论得到∠AFC＝∠AEC，即∠AEC＝2∠AFC；
（3）如图3，利用平行线的性质得∠MAC+∠ACN＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAF＝∠MAC，∠NCF＝∠ACN，则由（1）的结论得到∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAC+∠ACN）＝90°，即AF⊥CF；
（4）由（1）的结论可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAE+∠ECN），由邻补角的定义得∠MAE+∠BAE＝180°，∠NCE+∠DAE＝180°，则∠MAE+∠BAE+∠NCE+∠DCE＝360°，等量代换即可得出2∠AFC+∠AEC＝360°．
解：（1）过点E作EG∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）∠AEC＝2∠AFC．
如图2，由（1）的结论得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵∠BAE、∠DCE的两条平分线交于点F，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝（∠BAE+∠DCE），
∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∴∠AFC＝∠AEC，即∠AEC＝2∠AFC；
（3）AF⊥CF，如图3，
∵AB∥CD，
∴∠MAC+∠ACN＝180°，
∵∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．
∴∠MAF＝∠MAC，∠NCF＝∠ACN，
由（1）的结论得到∠AFC＝∠MAF+∠NCF，
∴∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAC+∠ACN）＝90°，
∴AF⊥CF；
（4）2∠AFC+∠AEC＝360°．如图4，
∵∠BAE的邻补角平分线与∠ECD的邻补角平分线交于点F．
∴∴∠MAF＝∠MAE，∠NCF＝∠ECN，
由（1）的结论可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠MAF+∠NCF＝（∠MAE+∠ECN），
∴∠MAE+∠ECN＝2∠AFC，
∵∠MAE+∠BAE＝180°，∠NCE+∠DAE＝180°，
∴∠MAE+∠BAE+∠NCE+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
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