2020-2021学年河北省石家庄市高二（上）第3次月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省石家庄市高二（上）第3次月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集为实数集R，集合A=x|x2+2x−8>0, B=x|lg2x0，命题p的否定是( )
A.∀x∈R，2x2+1≤0B.∃x∈R，2x2+1>0
C.∃x∈R，2x2+1b2的一个充分不必要条件是( )
A.a>bB.|a|>|b|C.a>|b|D.1a>1b

4. 今年学校的体育节将于12月3日∼5日举行，某班的甲、乙两名同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，则他们选择的两项运动项目都相同的概率为( )
A.13B.23C.12D.19

5. 已知数列{an}的各项均为正数，a1=2，an+1−an=4an+1+an，若数列{1an+1+an}的前n项和为5，则n=( )
A.119B.121C.120D.122

6. x+21−2x5的展开式中，x的奇次幂项的系数之和为( )
A.−123B.−120C.−1D.1

7. 边长为4的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为π4，则球O的表面积为( )
A.64πB.32πC.16πD.128π

8. 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，若PQ⊥PF1且|QF1|=2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为( )
A.2−3B.2−1C.2+1D.2+3
二、多选题

给出下列命题，其中正确命题为( )
A.若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为2,3，则回归直线的方程为y=0.25x+2.5
B.随机变量ξ∼Bn,p，若Eξ=30,Dξ=20，则n=90
C.随机变量X服从正态分布N1,σ2， PX>1.5=0.34，则PXb>0上存在点P，使得|PF1|=2|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A.12B.13C.14D.15

中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即 S=14c2a2−c2+a2−b222 （S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边）．现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:7且△ABC的面积S△ABC=63，则下列结论正确的是( )
A.△ABC的周长为 10+27
B.△ABC的三个内角A，C，B成等差数列
C.△ABC的外接圆半径为4213
D.△ABC的中线CD的长为32
三、填空题

曲线x2+y25=1的焦点坐标为________.

用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有________个.

已知AB→与AC→的夹角为 90∘,|AB→|=2， |AC→|=1, AM→=λAB→+μAC→(λ，μ∈R)，且AM→⋅BC→=0，则 λμ 的值为________.

已知函数fx=23sinωx2csωx2+2cs2ωx2ω>0的周期为2π3，当x∈0,π3时，函数gx=fx+k恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.
四、解答题

已知数列an满足a1=3，an+1=3an+2×3n+1n∈N∗，数列bn满足bn=an3n．
(1)求数列bn的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn.

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcsC+c=2a．
(1)求角B的大小；

(2)若BD为AC边上的中线，csA=17，BD=1292，求△ABC的面积．

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米∼75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

(1)从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；

(2)以这15天的PM2.5日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

如图，在四面体A−BCD中， AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

(1)证明：PQ⊥AD；

(2)若二面角C−BM−D的大小为60∘，求tan∠BDC．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，且经过点(32，12)．
(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(0, 2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

已知函数gx=x2−2x+a在x∈1,m时有最大值为1，最小值为0.
(1)求实数a的值；

(2)设fx=gxx，若不等式f−lg12x+2klg12x≤0在x∈4,8上恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省石家庄市高二（上）第3次月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）根据题目所给信息进行解题即可.
【解答】
解：已知集合A=xx2+2x−8>0=xx2 ，
B=xlg2x|b|不一定成立.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
概率的应用
【解析】
由甲、乙两名同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，其中每个同学各有3种选法，共有3×3=9种不同的选法
，其中他们选择的两项运动项目都相同，共有C32种不同的选法，
所以他们选择的两项运动项目都相同的概率为39=13．故选：A．
【解答】
解：由甲、乙两名同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，
其中每个同学各有3种选法，共有3×3=9种不同的选法，
其中他们选择的两项运动项目都相同，共有C32种不同的选法，
则他们选择的两项运动项目都相同的概率为39=13．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得an+12−an2=4，a12=4，
所以数列{an2}是以4为首项，4为公差的等差数列，
则an2=4+4(n−1)=4n，
因为数列{an}的各项均为正数，
所以an=2n．
所以1an+1+an=12n+1+2n=12(n+1−n)，
故数列1an+1+an的前n项和为
12(2−1)+12(3−2)+⋯+12(n+1−n)
=12(n+1−1)=5，
所以n=120．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
二项式系数的性质
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
暂无
【解答】
解：设x+21−2x5=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，
令x=1，则−3=a0+a1+a2+⋯+a6，
令x=−1，则35=a0−a1+a2−⋯+a6，
两式相减，整理得a1+a3+a5=−123．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
先根据线面角求得球的半径，再由球的表面积公式可得选项．
【解答】
解：设正方形ABCD外接圆的圆心为O1，
由题意，∠OAO1=π4，
则AO1=AO⋅csπ4=AD⋅sinπ4⇒AO=AD=4，
球的表面积S=4π⋅42=64π.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
椭圆的应用
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，作辅助线PM垂直于x轴于点M，
QN垂直于x轴于点N，如图：
因为△PMF2与△QNF2相似，
所以S△PF1F2S△QF1F2=|PM||QN|
=|PF2||QF2|，
设|PF1|=1，则|QF1|=2，
所以|PQ|=3，
设|PF2|=x，则|QF2|=3−x，
根据椭圆的定义可得：
1+x=3−x+2，
x=3+12，
所以|PF2||QF2|=2+3.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
求解线性回归方程
独立性检验的应用
离散型随机变量的分布列及性质
正态分布的密度曲线
【解析】
对于A选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为(2,3)，则回归直线方程为y−3＝0.25(x−2)，即y＝0.25x＋2.5，A选项正确；
对于B选项，随机变量号ξ∼B(n,p)，
若E(ξ)=30，D(ξ)=20，E(ξ)=np=30E(ξ)=np(1−p)=20，解得 n=90p=13，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量Ⅹ服从正态分布N(1,σ2)，P(X>1.5)=0.34，则P(X1.5)=0.34，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越大，则两变量有关系的程度越大，即k越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，故k越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确．故选：ABD．
【解答】
解：对于A选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为(2,3)，
则回归直线方程为y−3=0.25(x−2)，即y=0.25x+2.5，A选项正确；
对于B选项，随机变量ξ∼B(n,p)，
若E(ξ)=30，D(ξ)=20，E(ξ)=np=30，D(ξ)=np(1−p)=20，
解得 n=90，p=13，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X>1.5)=0.34，
则P(X1.5)=0.34，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越大，
则两变量有关系的程度越大，即k越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，
故k越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确．
故选ABD．
【答案】
A,B
【考点】
根的存在性及根的个数判断
函数的零点与方程根的关系
【解析】
由f(x)(f(x)+a)＝0解得f(x)=0或f(x)=−a
若f(x)=0时，1−|1−x|=1，即|1−x|=1，解得x=0或x=2
若f(x)=−a时，即|1−x|=1+a
当a−1时，方程|1−x|=1+a的解为x=−a或x=2+a综上，该函数的零点可能为2，3，4个故选：AB
【解答】
解：由f(x)(f(x)+a)=0解得f(x)=0或f(x)=−a，
若f(x)=0时，1−|1−x|=0，即|1−x|=1，解得x=0或x=2；
若f(x)=−a时，即|1−x|=1+a，
当a−1时，方程|1−x|=1+a的解为x=−a或x=2+a.
综上可知，该函数的零点可能为2，3，4个.
故选AB.
【答案】
A,B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的定义，表示出PF2=2a3，再利用椭圆的几何性质，构造不等式，即可得出离心率范围.
【解答】
解：根据椭圆定义，得|PF1|+|PF2|=2a.
∵ |PF1|=2PF2，
∴ |PF2|=2a3.
∵ |PF1|−|PF2|≤|F1F2|，
即2a3≤2c ，
解得：a≤3c，
∴ e=ca≥13.
又∵ 椭圆的离心率e0)，
则 (x1−x2)2=36t(3t+4)2
=369t+16t+24≤3629t×16t+24=34．
当且仅当9t=16t，即t=43时等号成立，
所以此时△AOB面积取得最大值32．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
（1）由 e2=a2−b2a2=1−b2a2=23，得 ba=13．再由椭圆C经过点(32，12)，能求出椭圆C的方程．
（2）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
【解答】
解：(1)由 e2=a2−b2a2=1−b2a2=23，
得 ba=13①，
由椭圆C经过点(32，12)，得94a2+14b2=1 ②，
联立①②，解得 b=1，a=3．
所以椭圆C的方程是 x23+y2=1．
(2)易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 (1+3k2)x2+12kx+9=0．
令Δ=144k2−36(1+3k2)>0，得k2>1．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1+x2=−12k1+3k2，x1x2=91+3k2．
所以 S△AOB=|S△POB−S△POA|
=12×2×|x1−x2|=|x1−x2|．
因为 (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2
=(−12k1+3k2)2−361+3k2=36(k2−1)(1+3k2)2，
设 k2−1=t(t>0)，
则 (x1−x2)2=36t(3t+4)2
=369t+16t+24≤3629t×16t+24=34．
当且仅当9t=16t，即t=43时等号成立，
所以此时△AOB面积取得最大值32．
【答案】
解：(1)函数gx=x2−2x+a=x−12+a−1，
∴ gx在区间1,m上是增函数，
故gm=m2−2m+a=1，g1=1−2+a=0，解得a=1，m=2.
(2)由已知可得gx=x2−2x+1，则fx=gxx=x+1x−2，
∴不等式flg2x−2k⋅lg2x≤0，转化为lg2x+1lg2x−2−2k⋅lg2x≤0
在x∈4,8上恒成立．
设t=lg2x，则t∈2,3，即t+1t−2−2kt≤0，在t∈2,3上恒成立，
即：2k≥1+1t2−2t=1t−12，
∴2k≥1t−1max2．
∵ t∈2,3，∴ 1t∈13,12，
∴ 当1t=13时，1t−12取得最大值，最大值为1t−12=49，
则2k≥49，即k≥29，
∴ k的取值范围是29,+∞．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数gx=x2−2x+a=x−12+a−1，
∴ gx在区间1,m上是增函数，
故gm=m2−2m+a=1，g1=1−2+a=0，解得a=1，m=2.
(2)由已知可得gx=x2−2x+1，则fx=gxx=x+1x−2，
∴不等式flg2x−2k⋅lg2x≤0，转化为lg2x+1lg2x−2−2k⋅lg2x≤0
在x∈4,8上恒成立．
设t=lg2x，则t∈2,3，即t+1t−2−2kt≤0，在t∈2,3上恒成立，
即：2k≥1+1t2−2t=1t−12，
∴2k≥1t−1max2．
∵ t∈2,3，∴ 1t∈13,12，
∴ 当1t=13时，1t−12取得最大值，最大值为1t−12=49，
则2k≥49，即k≥29，
∴ k的取值范围是29,+∞．ξ
0
1
2
P
1235
1835
17
ξ
0
1
2
P
1235
1835
17