2020-2021学年河南省新乡市高二（上）9月周测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二（上）9月周测数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. △ABC中， a=2，b=3，C=π4，则△ABC的面积等于( )
A.322B.32C.3D.332

2. △ABC中，若csAcsB=ab，则△ABC是( )
A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形D.等边三角形

3. 在△ABC中，已知a=2，b=1，C=π3，则c等于( )
A.1B.5C.3D.7

4. 数列3，7，11，15，⋯，则53是数列的( )
A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项

5. 数列an中，a1=2，an+1=an+3，则an=( )
A.3n−2B.3n−1C.3n−1D.3n−2

6. 在△ABC中，A=60∘，AB=2，且△ABC的面积为32，则边BC的长( )
A.7B.3C.3D.7
二、填空题

在数列an中， a1=1，anan−1=an−1+−1nn≥2,n∈N∗，则a2+a3的值是________.

在△ABC中， B=45∘，a=4，b=42．则A等于________.

在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC，则A的取值范围为________．

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， csA−C+csB=32，b2=ac，则B等于________.
三、解答题

测量河对岸两个目标A，B的距离，在岸边选取相距3千米的C，D两点，并测得：∠ACB=75∘，∠ADC=30∘，∠BCD=45∘，∠BDA=45∘．A，B，C，D在同一个平面内，求两目标A，B间的距离.


设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， bcsC+3bsinC−a−c=0．
(1)求B；

(2)若b=3，求△ABC面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高二（上）9月周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：S=12absin C
=12×2×3×sin π4
=322．
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A与B相等或互余，即可判断出三角形ABC的形状．
【解答】
解：由正弦定理得：csAcsB=ab=sinAsinB，
∴ tanA=tanB，
∵ A，B都为三角形的内角，
∴ A=B，
则△ABC为等腰三角形.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】

【解答】
解：由余弦定理得：
c2=a2+b2−2abcsC
=4+1−2×2×1×12=3，
∴c=3．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为4，即an2−an−12=4从而利用等差数列通项公式an2=3+(n−1)×4=4n−1=75，得解，n=19
【解答】
解：由题知：7−3=11−7=15−11=4，
即an2−an−12=4(n≥2)，
∴ an2=3+(n−1)×4=4n−1，
令4n−1=75，则n=19．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
该道题目首先可以对题目中的式子，进行相应的变形，根据变形的结果，从而再根据选项可以解答出该道题目的答案．
【解答】
解：因为an+1=an+3，
所以an+1−an=3，
所以{an}是以a1=2为首项，3为公差的等差数列，
所以an=2+3(n−1)=3n−1．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据三角形的面积公式求出AC的值，再由余弦定理求得AC的值．
【解答】
解：根据三角形的面积公式得：12×AB×AC×sinA=32，
把A=60∘，AB=2，
代入得AC=1.
由余弦定理得：
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
=4+1−2×2×1×12=3，
则BC=3.
故选C．
二、填空题
【答案】
52
【考点】
数列递推式
【解析】

【解答】
解：∵ an⋅an−1=an−1+(−1)n，
∴ a2⋅a1=a1+(−1)2，
∴ a2=2.
∵ a3⋅a2=a2+(−1)3，
∴ a3=12，
a2+a3=52．
故答案为：52．
【答案】
30∘
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理得：
asin A=bsin B=4sin A=4222，
∴ sin A=12,
∴ 解得A=30∘或150∘（舍）．
故答案为：30∘．
【答案】
0, π3
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出csA，将得出的不等式变形后代入表示出的csA中，得出csA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．
【解答】
解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC，
得：a2≤b2+c2−bc，
变形得：b2+c2−a2≥bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc≥bc2bc=12.
又A为三角形的内角，
则A的取值范围是0, π3．
故答案为：0, π3．
【答案】
π3
【考点】
诱导公式
两角和与差的余弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=32（负值舍掉），从而求出答案．
【解答】
解：由cs(A−C)+csB=32及B=π−(A+C)，
得cs(A−C)−cs(A+C)=32，
∴ csAcsC+sinAsinC−(csAcsC−sinAsinC)=32，
∴ sinAsinC=34．
又由b2=ac及正弦定理得：
sin2B=sinAsinC，
∴ sin2B=34，
∴ sinB=32或sinB=−32（舍去），
∴ B=π3或B=2π3．
∵ B为锐角，
∴ B=π3．
故答案为：π3.
三、解答题
【答案】
解：∵ 在△ACD中，∠ADC=30∘，∠ACD=75∘+45∘=120∘，
∴ ∠CAD=30∘，可得∠CAD=∠ADC.
根据等角对等边，得AC=CD=3．
∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
又∵ 在△BDC中，∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘．
∴ 由正弦定理，BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，
得BD=3sin45​∘sin60​∘=2，
在△ABD中，由余弦定理，
得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
=(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
=5.
∴ AB=5，即两目标A、B之间的距离为5km．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用△ACD的边角关系，算出出ACCD=3；在△BCD中，由正弦定理算出BC=3sin75∘sin60∘=2+62．最后在△ACB中利用余弦定理加以计算，即可得出目标A、B间的距离．
【解答】
解：∵ 在△ACD中，∠ADC=30∘，∠ACD=75∘+45∘=120∘，
∴ ∠CAD=30∘，可得∠CAD=∠ADC.
根据等角对等边，得AC=CD=3．
∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
又∵ 在△BDC中，∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘．
∴ 由正弦定理，BDsin∠BCD=CDsin∠CBD，
得BD=3sin45​∘sin60​∘=2，
在△ABD中，由余弦定理，
得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
=(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
=5.
∴ AB=5，即两目标A、B之间的距离为5km．
【答案】
解：(1)由正弦定理得
sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0，
∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C)，
∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0，
∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
又∵ sin C≠0，
∴ 3sin B−cs B=1，
∴ 2sinB−π6=1，
即sinB−π6=12，
∴ B−π6=π6或5π6（舍去），
即B=π3.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B，
∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac（当且仅当a=c时成立），
∴ ac≤3，
∴ S=12acsin B≤334，
即△ABC面积的最大值为334.
【考点】
两角和与差的正弦公式
基本不等式
余弦定理
正弦定理
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理得
sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0，
∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C)，
∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0，
∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
又∵ sin C≠0，
∴ 3sin B−cs B=1，
∴ 2sinB−π6=1，
即sinB−π6=12，
∴ B−π6=π6或5π6（舍去），
即B=π3.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B，
∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac（当且仅当a=c时成立），
∴ ac≤3，
∴ S=12acsin B≤334，
即△ABC面积的最大值为334.