2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. △ABC中, a=2,b=3,C=π4,则△ABC的面积等于( )
A.322B.32C.3D.332
2. △ABC中,若csAcsB=ab,则△ABC是( )
A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形D.等边三角形
3. 在△ABC中,已知a=2,b=1,C=π3,则c等于( )
A.1B.5C.3D.7
4. 数列3,7,11,15,⋯,则53是数列的( )
A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项
5. 数列an中,a1=2,an+1=an+3,则an=( )
A.3n−2B.3n−1C.3n−1D.3n−2
6. 在△ABC中,A=60∘,AB=2,且△ABC的面积为32,则边BC的长( )
A.7B.3C.3D.7
二、填空题
在数列an中, a1=1,anan−1=an−1+−1nn≥2,n∈N∗,则a2+a3的值是________.
在△ABC中, B=45∘,a=4,b=42.则A等于________.
在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC,则A的取值范围为________.
设锐角△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, csA−C+csB=32,b2=ac,则B等于________.
三、解答题
测量河对岸两个目标A,B的距离,在岸边选取相距3千米的C,D两点,并测得:∠ACB=75∘,∠ADC=30∘,∠BCD=45∘,∠BDA=45∘.A,B,C,D在同一个平面内,求两目标A,B间的距离.
设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, bcsC+3bsinC−a−c=0.
(1)求B;
(2)若b=3,求△ABC面积的最大值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:S=12absin C
=12×2×3×sin π4
=322.
故选A.
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
利用正弦定理化简已知等式,变形后利用二倍角的正弦函数公式化简,得到A与B相等或互余,即可判断出三角形ABC的形状.
【解答】
解:由正弦定理得:csAcsB=ab=sinAsinB,
∴ tanA=tanB,
∵ A,B都为三角形的内角,
∴ A=B,
则△ABC为等腰三角形.
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
【解答】
解:由余弦定理得:
c2=a2+b2−2abcsC
=4+1−2×2×1×12=3,
∴c=3.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
本题通过观察可知:原数列每一项的平方组成等差数列,且公差为4,即an2−an−12=4从而利用等差数列通项公式an2=3+(n−1)×4=4n−1=75,得解,n=19
【解答】
解:由题知:7−3=11−7=15−11=4,
即an2−an−12=4(n≥2),
∴ an2=3+(n−1)×4=4n−1,
令4n−1=75,则n=19.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
该道题目首先可以对题目中的式子,进行相应的变形,根据变形的结果,从而再根据选项可以解答出该道题目的答案.
【解答】
解:因为an+1=an+3,
所以an+1−an=3,
所以{an}是以a1=2为首项,3为公差的等差数列,
所以an=2+3(n−1)=3n−1.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据三角形的面积公式求出AC的值,再由余弦定理求得AC的值.
【解答】
解:根据三角形的面积公式得:12×AB×AC×sinA=32,
把A=60∘,AB=2,
代入得AC=1.
由余弦定理得:
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
=4+1−2×2×1×12=3,
则BC=3.
故选C.
二、填空题
【答案】
52
【考点】
数列递推式
【解析】
【解答】
解:∵ an⋅an−1=an−1+(−1)n,
∴ a2⋅a1=a1+(−1)2,
∴ a2=2.
∵ a3⋅a2=a2+(−1)3,
∴ a3=12,
a2+a3=52.
故答案为:52.
【答案】
30∘
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解:由正弦定理得:
asin A=bsin B=4sin A=4222,
∴ sin A=12,
∴ 解得A=30∘或150∘(舍).
故答案为:30∘.
【答案】
0, π3
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用正弦定理化简已知的不等式,再利用余弦定理表示出csA,将得出的不等式变形后代入表示出的csA中,得出csA的范围,由A为三角形的内角,根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围.
【解答】
解:利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC,
得:a2≤b2+c2−bc,
变形得:b2+c2−a2≥bc,
∴ csA=b2+c2−a22bc≥bc2bc=12.
又A为三角形的内角,
则A的取值范围是0, π3.
故答案为:0, π3.
【答案】
π3
【考点】
诱导公式
两角和与差的余弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=32(负值舍掉),从而求出答案.
【解答】
解:由cs(A−C)+csB=32及B=π−(A+C),
得cs(A−C)−cs(A+C)=32,
∴ csAcsC+sinAsinC−(csAcsC−sinAsinC)=32,
∴ sinAsinC=34.
又由b2=ac及正弦定理得:
sin2B=sinAsinC,
∴ sin2B=34,
∴ sinB=32或sinB=−32(舍去),
∴ B=π3或B=2π3.
∵ B为锐角,
∴ B=π3.
故答案为:π3.
三、解答题
【答案】
解:∵ 在△ACD中,∠ADC=30∘,∠ACD=75∘+45∘=120∘,
∴ ∠CAD=30∘,可得∠CAD=∠ADC.
根据等角对等边,得AC=CD=3.
∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
又∵ 在△BDC中,∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘.
∴ 由正弦定理,BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,
得BD=3sin45∘sin60∘=2,
在△ABD中,由余弦定理,
得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
=(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
=5.
∴ AB=5,即两目标A、B之间的距离为5km.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用△ACD的边角关系,算出出ACCD=3;在△BCD中,由正弦定理算出BC=3sin75∘sin60∘=2+62.最后在△ACB中利用余弦定理加以计算,即可得出目标A、B间的距离.
【解答】
解:∵ 在△ACD中,∠ADC=30∘,∠ACD=75∘+45∘=120∘,
∴ ∠CAD=30∘,可得∠CAD=∠ADC.
根据等角对等边,得AC=CD=3.
∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
又∵ 在△BDC中,∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘.
∴ 由正弦定理,BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,
得BD=3sin45∘sin60∘=2,
在△ABD中,由余弦定理,
得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
=(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
=5.
∴ AB=5,即两目标A、B之间的距离为5km.
【答案】
解:(1)由正弦定理得
sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0,
∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C),
∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0,
∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
又∵ sin C≠0,
∴ 3sin B−cs B=1,
∴ 2sinB−π6=1,
即sinB−π6=12,
∴ B−π6=π6或5π6(舍去),
即B=π3.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B,
∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac(当且仅当a=c时成立),
∴ ac≤3,
∴ S=12acsin B≤334,
即△ABC面积的最大值为334.
【考点】
两角和与差的正弦公式
基本不等式
余弦定理
正弦定理
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)由正弦定理得
sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0,
∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C),
∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0,
∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
又∵ sin C≠0,
∴ 3sin B−cs B=1,
∴ 2sinB−π6=1,
即sinB−π6=12,
∴ B−π6=π6或5π6(舍去),
即B=π3.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B,
∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac(当且仅当a=c时成立),
∴ ac≤3,
∴ S=12acsin B≤334,
即△ABC面积的最大值为334.
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