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    2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版

    2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版第1页
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    2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版

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    这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷人教A版,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. △ABC中, a=2,b=3,C=π4,则△ABC的面积等于( )
    A.322B.32C.3D.332

    2. △ABC中,若csAcsB=ab,则△ABC是( )
    A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形
    C.直角三角形D.等边三角形

    3. 在△ABC中,已知a=2,b=1,C=π3,则c等于( )
    A.1B.5C.3D.7

    4. 数列3,7,11,15,⋯,则53是数列的( )
    A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项

    5. 数列an中,a1=2,an+1=an+3,则an=( )
    A.3n−2B.3n−1C.3n−1D.3n−2

    6. 在△ABC中,A=60∘,AB=2,且△ABC的面积为32,则边BC的长( )
    A.7B.3C.3D.7
    二、填空题

    在数列an中, a1=1,anan−1=an−1+−1nn≥2,n∈N∗,则a2+a3的值是________.

    在△ABC中, B=45∘,a=4,b=42.则A等于________.

    在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC,则A的取值范围为________.

    设锐角△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, csA−C+csB=32,b2=ac,则B等于________.
    三、解答题

    测量河对岸两个目标A,B的距离,在岸边选取相距3千米的C,D两点,并测得:∠ACB=75∘,∠ADC=30∘,∠BCD=45∘,∠BDA=45∘.A,B,C,D在同一个平面内,求两目标A,B间的距离.


    设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c, bcsC+3bsinC−a−c=0.
    (1)求B;

    (2)若b=3,求△ABC面积的最大值.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年河南省新乡市高二(上)9月周测数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    A
    【考点】
    三角形的面积公式
    正弦定理
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:S=12absin C
    =12×2×3×sin π4
    =322.
    故选A.
    2.
    【答案】
    A
    【考点】
    正弦定理
    三角形的形状判断
    【解析】
    利用正弦定理化简已知等式,变形后利用二倍角的正弦函数公式化简,得到A与B相等或互余,即可判断出三角形ABC的形状.
    【解答】
    解:由正弦定理得:csAcsB=ab=sinAsinB,
    ∴ tanA=tanB,
    ∵ A,B都为三角形的内角,
    ∴ A=B,
    则△ABC为等腰三角形.
    故选A.
    3.
    【答案】
    C
    【考点】
    余弦定理
    【解析】

    【解答】
    解:由余弦定理得:
    c2=a2+b2−2abcsC
    =4+1−2×2×1×12=3,
    ∴c=3.
    故选C.
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    数列的概念及简单表示法
    【解析】
    本题通过观察可知:原数列每一项的平方组成等差数列,且公差为4,即an2−an−12=4从而利用等差数列通项公式an2=3+(n−1)×4=4n−1=75,得解,n=19
    【解答】
    解:由题知:7−3=11−7=15−11=4,
    即an2−an−12=4(n≥2),
    ∴ an2=3+(n−1)×4=4n−1,
    令4n−1=75,则n=19.
    故选B.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    等差数列的通项公式
    【解析】
    该道题目首先可以对题目中的式子,进行相应的变形,根据变形的结果,从而再根据选项可以解答出该道题目的答案.
    【解答】
    解:因为an+1=an+3,
    所以an+1−an=3,
    所以{an}是以a1=2为首项,3为公差的等差数列,
    所以an=2+3(n−1)=3n−1.
    故选B.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    根据三角形的面积公式求出AC的值,再由余弦定理求得AC的值.
    【解答】
    解:根据三角形的面积公式得:12×AB×AC×sinA=32,
    把A=60∘,AB=2,
    代入得AC=1.
    由余弦定理得:
    BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
    =4+1−2×2×1×12=3,
    则BC=3.
    故选C.
    二、填空题
    【答案】
    52
    【考点】
    数列递推式
    【解析】

    【解答】
    解:∵ an⋅an−1=an−1+(−1)n,
    ∴ a2⋅a1=a1+(−1)2,
    ∴ a2=2.
    ∵ a3⋅a2=a2+(−1)3,
    ∴ a3=12,
    a2+a3=52.
    故答案为:52.
    【答案】
    30∘
    【考点】
    正弦定理
    【解析】

    【解答】
    解:由正弦定理得:
    asin A=bsin B=4sin A=4222,
    ∴ sin A=12,
    ∴ 解得A=30∘或150∘(舍).
    故答案为:30∘.
    【答案】
    0, π3
    【考点】
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    利用正弦定理化简已知的不等式,再利用余弦定理表示出csA,将得出的不等式变形后代入表示出的csA中,得出csA的范围,由A为三角形的内角,根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围.
    【解答】
    解:利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC,
    得:a2≤b2+c2−bc,
    变形得:b2+c2−a2≥bc,
    ∴ csA=b2+c2−a22bc≥bc2bc=12.
    又A为三角形的内角,
    则A的取值范围是0, π3.
    故答案为:0, π3.
    【答案】
    π3
    【考点】
    诱导公式
    两角和与差的余弦公式
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=32(负值舍掉),从而求出答案.
    【解答】
    解:由cs(A−C)+csB=32及B=π−(A+C),
    得cs(A−C)−cs(A+C)=32,
    ∴ csAcsC+sinAsinC−(csAcsC−sinAsinC)=32,
    ∴ sinAsinC=34.
    又由b2=ac及正弦定理得:
    sin2B=sinAsinC,
    ∴ sin2B=34,
    ∴ sinB=32或sinB=−32(舍去),
    ∴ B=π3或B=2π3.
    ∵ B为锐角,
    ∴ B=π3.
    故答案为:π3.
    三、解答题
    【答案】
    解:∵ 在△ACD中,∠ADC=30∘,∠ACD=75∘+45∘=120∘,
    ∴ ∠CAD=30∘,可得∠CAD=∠ADC.
    根据等角对等边,得AC=CD=3.
    ∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
    又∵ 在△BDC中,∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘.
    ∴ 由正弦定理,BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,
    得BD=3sin45​∘sin60​∘=2,
    在△ABD中,由余弦定理,
    得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
    =(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
    =5.
    ∴ AB=5,即两目标A、B之间的距离为5km.
    【考点】
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    利用△ACD的边角关系,算出出ACCD=3;在△BCD中,由正弦定理算出BC=3sin75∘sin60∘=2+62.最后在△ACB中利用余弦定理加以计算,即可得出目标A、B间的距离.
    【解答】
    解:∵ 在△ACD中,∠ADC=30∘,∠ACD=75∘+45∘=120∘,
    ∴ ∠CAD=30∘,可得∠CAD=∠ADC.
    根据等角对等边,得AC=CD=3.
    ∴ AD=AC2+CD2−2×AC×CD×cs∠ACD=3.
    又∵ 在△BDC中,∠CBD=180∘−(45∘+75∘)=60∘.
    ∴ 由正弦定理,BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,
    得BD=3sin45​∘sin60​∘=2,
    在△ABD中,由余弦定理,
    得AB2=AD2+BD2−2AD×BD×cs∠ADB
    =(3)2+(2)2−2×3×2cs45∘
    =5.
    ∴ AB=5,即两目标A、B之间的距离为5km.
    【答案】
    解:(1)由正弦定理得
    sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0,
    ∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C),
    ∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0,
    ∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
    又∵ sin C≠0,
    ∴ 3sin B−cs B=1,
    ∴ 2sinB−π6=1,
    即sinB−π6=12,
    ∴ B−π6=π6或5π6(舍去),
    即B=π3.
    (2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B,
    ∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac(当且仅当a=c时成立),
    ∴ ac≤3,
    ∴ S=12acsin B≤334,
    即△ABC面积的最大值为334.
    【考点】
    两角和与差的正弦公式
    基本不等式
    余弦定理
    正弦定理
    运用诱导公式化简求值
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:(1)由正弦定理得
    sin Bcs C+3sin Bsin C−sin A−sin C=0,
    ∵ sin A=sin[π−(B+C)]=sin(B+C),
    ∴ sin Bcs C+3sin Bsin C−sin(B+C)−sin C=0,
    ∴ 3sin Bsin C−cs Bsin C−sin C=0.
    又∵ sin C≠0,
    ∴ 3sin B−cs B=1,
    ∴ 2sinB−π6=1,
    即sinB−π6=12,
    ∴ B−π6=π6或5π6(舍去),
    即B=π3.
    (2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accs B,
    ∴ 3=a2+c2−ac≥2ac−ac(当且仅当a=c时成立),
    ∴ ac≤3,
    ∴ S=12acsin B≤334,
    即△ABC面积的最大值为334.

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