2020-2021学年河南省新乡市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省新乡市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知数列an的前4项依次为2，6，12，20，则数列an的通项公式可能是( )
A.an=4n−2B.an=2n+2n−1C.an=n2+nD.an=3n−1+2n−1

2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，B=π3，A=π4，则b=( )
A.3B.3C.23D.6

3. 下列不等式中，一定成立的是( )
A.x+4x≥4B.lnx+1lnx≥2C.ab≤a+b2D.2x+2−x≥2

4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b=2c，则csA=( )
A.24B.−24C.528D.−528

5. 已知a>b>0，则下列不等式正确的是( )
A.ac2>bc2B.a+1a>b+1bC.a2>bD.1a2<1b2

6. 在△ABC中，tanAsinBA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

7. 设等差数列an的前n项和为Sn．若S17<0，S18>0，则当Sn取最小值时，n的值为( )
A.8B.9C.16D.17

8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B=π3，且△ABC的面积为 93，则△ABC外接圆的半径的最小值是( )
A.23B.6C.43D.12

9. 已知a>0,b>0，且a+2b−3ab=0，则2a+b的最小值是( )
A.3B.4C.9D.12

10. 已知等比数列an的前n项和为Sn，若S2mSm=3332，am+3a3=m−45m+7，则数列an的公比q=( )
A.2B.−2C.12D.−12

11. 在数列an中，an=n+1,n为偶数,3n,n为奇数， 若am−1am=am+1，则m=( )
A.8B.10C.2或10D.1或8

12. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=1，且acsC−csA=1，则sinA−23sin2C的取值范围是（ ）
A.(0,2−3]B.1−3,0C.(1−3,2−3]D.−3,0
二、填空题

在等差数列an中，a3=5，a7=1，则数列an的公差d=________.

设x，y满足约束条件2x−y−1≤0,2x+y−7≤0,x≥0,则z=3x+y的最大值为________.

如图，为测量小汽车的速度，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30∘，该小车在公路上由东向西匀速行驶5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45∘．已知此山的高度为600米，∠APB=135∘，则该小车的速度是________千米/时．


已知m>0，n<0，且m+n>0，则mn2m+n−mn+1n2的最小值是________.
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ccsB=bsinC.
(1)求角B；

(2)若c=4，D为边BC的中点，且AD=22，求△ABC的面积．

已知关于x的不等式ax2−a+2x+2>0的解集为M，且−1∈M.
(1)求a的取值范围；

(2)求集合M．

设数列an的前n项和为Sn，a1=1，且a1，an，Sn成等差数列．
(1)求an的通项公式；

(2)记bn=−1n−1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.


(1)比较25与10+1的大小；

(2)已知a>0，b>0，且a+b=1，证明：2a+2+2b+2≤23.

如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=30∘，BC=BD=6.

(1)若∠ABD=45∘，求AB；

(2)若∠CBD=30∘，求AC的最大值．

设数列an的前n项和为Sn，且a1=3，2Sn=an+1+4n−3n∈N+.
(1)证明：数列an−2是等比数列．

(2)设bn=3n+−1ntan，若数列bn是递增数列，求t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省新乡市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
无
【解答】
解：由题意可知数列{an}的通项公式可能是an=n2+n．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理可得asinA=bsinB，则 b=asinBsinA=2×3222=3．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：A．当x<0时，x+4x≤−4，则A错误；
B．当x=1e时，lnx+1lnx=−2<2，则B错误；
C．当a<0，b<0时，ab>0>a+b2，则C错误；
D．因为2x>0，所以2x+2−x≥2（当且仅当x=0时，等号成立），则D正确．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】

【解答】
解：因为a=2b=2c，所以b=22a，c=12a，
则csA=b2+c2−a22bc=12a2+14a2−a222a2=−24．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
无
【解答】
解：当c=0时，a2c=bc2，则A错误；
当a=12，b=13时，a+1a因为a>b>0，所以a2>b2>0，所以1a2<1b2，则D正确．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：因为tanAsinB所以sinAsinB−csAcsBcsA<0，所以csCcsA<0．
因为0故△ABC的形状是钝角三角形．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
无
【解答】
解：因为S17=17a9<0，所以a9<0．
因为S18=9(a9+a10)>0，所以a9+a10>0，
所以a10>0，所以等差数列{an}从第10项开始为正，
则当Sn取最小值时，n的值为9．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：由三角形的面积公式可得12acsinB=34ac=93，则ac=36．
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB≥2ac−ac=ac=36，
即b≥6，则△ABC外接圆的半径R=b2sinB≥62×32=23，
(当且仅当a=c=6时，等号成立)．
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：因为a+2b−3ab=0，所以2a+1b=3，
则2a+b=132a+1b(2a+b)=132ba+2ab+5
≥13×(24+5)=3(当且仅当a=b=1时，等号成立)．
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
等比数列的前n项和
【解析】
无
【解答】
解：当数列{an}的公比q=1时，S2mSm=2，与S2mSm=3332矛盾，
故q=1不符合题意．
当q≠1时，S2mSm=a11−q2m1−qa11−qm1−q=1−q2m1−qm=1+qm=3332，
所以qm=132．
因为am+3a3=qm=m−45m+7=132，所以m=5，
即q5=132，则q=12．
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
数列的应用
【解析】
无
【解答】
解：当m为偶数时，由am−1am=am+1，得(m+1)3m−1=3m+1，解得m=8；
当m为奇数时，由am−1am=am+1，得m⋅3m=m+2，解得m=1，
因为m>1，所以m=1不符合题意．综上，m=8．
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得acsC−ccsA=c，
则sinAcsC−sinCcsA=sinC，
即sinA−C=sinC．
因为0则sinA−23sin2C
=sin2C+3cs2C−3=2sin2C+π3−3，
因为0所以2π3<2C+π3<5π6，
则1−3<2sin2C+π3−3<0，
即sinA−23sin2C的取值范围是1−3,0．
故选B．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
等差数列的性质
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得d=a7−a37−3=1−54=−1．
故答案为：−1.
【答案】
9
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：作出可行域，如图，
当直线z=3x+y经过点(2,3)时，zmax=3×2+3=9．
故答案为：9.
【答案】
36105
【考点】
解三角形的实际应用
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得∠OAP=30∘，∠OBP=45∘，∠APB=135∘，
OP=600，OP⊥OA，OP⊥OB，
则AP=1200，BP=6002．
在△ABP中，
由余弦定理可得AB2=AP2+BP2−2AP⋅BPcs∠APB，
则AB2=12002+(6002)2−2×1200×6002×(−22)=3600000，
即AB=60010，故该小车的速度是600101000×112=36105(千米/时)．
故答案为：36105.
【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：mn2m+n−mn+1n2=mn2m+n+m+nmn2−1mn−mn
=mn2m+n+m+nmn2+−1mn+−mn．
因为m>0，n<0，且m+n>0，
所以mn2m+n+m+nmn2+−1mn+(−mn)≥2+2=4，
当且仅当m=2，n=−22时，等号成立．
故答案为：4.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为ccsB=bsinC，所以sinCcsB=sinBsinC，
因为0因为0(2)在△ABD中，AB=4，AD=22，∠ABD=π4，
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD，
则8=16+BD2−2×4×BD×22，
即BD2−42BD+8=0，解得BD=22．
故△ABC的面积为AB⋅BDsin∠ABD=4×22×22=8．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为ccsB=bsinC，所以sinCcsB=sinBsinC，
因为0因为0(2)在△ABD中，AB=4，AD=22，∠ABD=π4，
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD，
则8=16+BD2−2×4×BD×22，
即BD2−42BD+8=0，解得BD=22．
故△ABC的面积为AB⋅BDsin∠ABD=4×22×22=8．
【答案】
解：(1)因为−1∈M，
所以当x=−1时，ax2−a+2x+2>0成立，
即a+a+2+2>0成立，
则a>−2，即a的取值范围为−2,+∞．
(2)ax2−a+2x+2>0等价于ax−2x−1>0．
当−2当a=0时，集合M=x|x<1；
当02a}；
当a=2时，集合M=x|x≠1；
当a>2时，集合M={x|x>1或x<2a}．
【考点】
不等式恒成立问题
其他不等式的解法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为−1∈M，
所以当x=−1时，ax2−a+2x+2>0成立，
即a+a+2+2>0成立，
则a>−2，即a的取值范围为−2,+∞．
(2)ax2−a+2x+2>0等价于ax−2x−1>0．
当−2当a=0时，集合M=x|x<1；
当02a}；
当a=2时，集合M=x|x≠1；
当a>2时，集合M={x|x>1或x<2a}．
【答案】
解：(1)因为a1，an，Sn成等差数列，所以2an=Sn+a1，
当n≥2时，2an−1=Sn−1+a1，
则2an−2an−1=an，即an=2an−1，即anan−1=2．
因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
故an=a1qn−1=2n−1．
(2)由(1)可得bn=(−1)n−1anan+1=(−1)n−1⋅2n−1⋅2n
=(−1)n−14n2．
则Tn=4−42+43−44+⋯+(−1)n−14n2，
故Tn=12×4×1−−4n1−−4=2−−1n22n+15.
【考点】
等差中项
等比数列的通项公式
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为a1，an，Sn成等差数列，所以2an=Sn+a1，
当n≥2时，2an−1=Sn−1+a1，
则2an−2an−1=an，即an=2an−1，即anan−1=2．
因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
故an=a1qn−1=2n−1．
(2)由(1)可得bn=(−1)n−1anan+1=(−1)n−1⋅2n−1⋅2n
=(−1)n−14n2．
则Tn=4−42+43−44+⋯+(−1)n−14n2，
故Tn=12×4×1−−4n1−−4=2−−1n22n+15.
【答案】
(1)解：因为252−10+12
=20−11+210=9−210>0，
所以252>10+12．
因为25>0，10+1>0，所以25>10+1．
(2)证明：因为32a+2<3+2a+22=a+52
（当且仅当a=12时，等号成立），
32b+2≤3+2b+22=b+52
（当且仅当b=12时，等号成立），
所以32a+2+32b+2≤a+52+b+52=a+b+5
（当且仅当a=b=12时，等号成立）．
因为a+b=1，所以3(2a+2)+3(2b+2)≤6
（当且仅当a=b=12时，等号成立），
所以2a+2+2b+2≤23．
【考点】
不等式比较两数大小
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：因为252−10+12
=20−11+210=9−210>0，
所以252>10+12．
因为25>0，10+1>0，所以25>10+1．
(2)证明：因为32a+2<3+2a+22=a+52
（当且仅当a=12时，等号成立），
32b+2≤3+2b+22=b+52
（当且仅当b=12时，等号成立），
所以32a+2+32b+2≤a+52+b+52=a+b+5
（当且仅当a=b=12时，等号成立）．
因为a+b=1，所以3(2a+2)+3(2b+2)≤6
（当且仅当a=b=12时，等号成立），
所以2a+2+2b+2≤23．
【答案】
解：(1)因为∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，
所以∠ADB=180∘−30∘−45∘=105∘，
则sin∠ADB=sin(45∘+60∘)
=22×12+22×32=6+24．
在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ADB=105∘，BD=6，
由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
则AB=BD⋅sin∠ADBsin∠BAD=6×6+2412=36+2．
(2)设∠ABD=θ，则∠ADB=150∘−θ．
在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ADB=150∘−θ，BD=6，
由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
则AB=BD⋅sin150∘−θsin30∘=12sin150∘−θ．
在△ABC中，
∠ABC=30∘+θ，BC=6，AB=12sin(150∘−θ)，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC，
则AC2=144sin2(150∘−θ)+36−144sin(150∘−θ)cs(θ+30∘)
=72[1−cs(2θ+60∘)]−72sin(2θ+60∘)+36
=108−722sin(2θ+105∘)．
当2θ+105∘=270∘，即θ=82.5∘时，
AC2max=108+722=362+12，
故AC的最大值为62+1．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
三角函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，
所以∠ADB=180∘−30∘−45∘=105∘，
则sin∠ADB=sin(45∘+60∘)
=22×12+22×32=6+24．
在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ADB=105∘，BD=6，
由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
则AB=BD⋅sin∠ADBsin∠BAD=6×6+2412=36+2．
(2)设∠ABD=θ，则∠ADB=150∘−θ．
在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ADB=150∘−θ，BD=6，
由正弦定理可得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
则AB=BD⋅sin150∘−θsin30∘=12sin150∘−θ．
在△ABC中，
∠ABC=30∘+θ，BC=6，AB=12sin(150∘−θ)，
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC，
则AC2=144sin2(150∘−θ)+36−144sin(150∘−θ)cs(θ+30∘)
=72[1−cs(2θ+60∘)]−72sin(2θ+60∘)+36
=108−722sin(2θ+105∘)．
当2θ+105∘=270∘，即θ=82.5∘时，
AC2max=108+722=362+12，
故AC的最大值为62+1．
【答案】
(1)证明：因为2Sn=an+1+4n−3n∈N+，
所以2Sn−1=an+4n−1−3，n≥2，
所以2an=an+1−an+4，所以an+1=3an−4，
所以an+1−2=3an−2，即an+1−2an−2=3，n≥2．
当n=1时，2S1=a2+4−3=6，所以a2=5，
所以a2−2a1−2=3满足上式，
故数列{an−2}是以1为首项，3为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得an−2=3n−1，则an=3n−1+2，
因为bn=3n+(−1)ntan，所以bn=3n+t−1n3n−1+2，
bn+1=3n+1+t−1n+13n+2，
则bn+1−bn=3n+1+t−1n+13n+2−[3n+t−1n3n−1+2]
=2×3n+4t−1n+13n−1+1．
因为数列{bn}是递增数列，所以bn+1−bn>0，
即2×3n+4t−1n+13n−1+1>0．
当n为奇数时，2×3n+4t3n−1+1>0，即t>−3n2×3n−1+2，
易知−3n2×3n−1+2单调递减，所以t>−34；
当n为偶数时，2×3n−4t3n−1+1>0，即t<3n2×3n−1+2，
易知3n2×3n−1+2单调递增，所以t<98．
综上，t的取值范围为−34,98．
【考点】
等比数列
数列的函数特性
【解析】
暂无
暂无
【解答】
(1)证明：因为2Sn=an+1+4n−3n∈N+，
所以2Sn−1=an+4n−1−3，n≥2，
所以2an=an+1−an+4，所以an+1=3an−4，
所以an+1−2=3an−2，即an+1−2an−2=3，n≥2．
当n=1时，2S1=a2+4−3=6，所以a2=5，
所以a2−2a1−2=3满足上式，
故数列{an−2}是以1为首项，3为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得an−2=3n−1，则an=3n−1+2，
因为bn=3n+(−1)ntan，所以bn=3n+t−1n3n−1+2，
bn+1=3n+1+t−1n+13n+2，
则bn+1−bn=3n+1+t−1n+13n+2−[3n+t−1n3n−1+2]
=2×3n+4t−1n+13n−1+1．
因为数列{bn}是递增数列，所以bn+1−bn>0，
即2×3n+4t−1n+13n−1+1>0．
当n为奇数时，2×3n+4t3n−1+1>0，即t>−3n2×3n−1+2，
易知−3n2×3n−1+2单调递减，所以t>−34；
当n为偶数时，2×3n−4t3n−1+1>0，即t<3n2×3n−1+2，
易知3n2×3n−1+2单调递增，所以t<98．
综上，t的取值范围为−34,98．