2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p:∀x∈R，x2+5>4x，则它的否定是( )
A.¬p:∀x∈R，x2+5y3

已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，E，F是平面ABCD上两点，如果空间直角坐标系中AE→=0,2,1，AF→=−1,0,2，AP→=−4,1,−2，下列结论正确的有( )
A.存在实数λ使得AP→=AE→+λAF→
B.AP→⊥AE→
C.AP→是平面ABCD的一个法向量
D.|AF→|=|AE→|

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是( )
A.若csA=csB，则△ABC为等腰三角形
B.若sinA=csB，则△ABC为直角三角形
C.若asinA=bcsB=ccsC，则△ABC为等腰直角三角形
D.若sin2A+sin2B0的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则下列结论可能正确的是( )
A.双曲线方程为x24−y22=1
B.渐近线方程为y=±2x
C.直线x+2y−2=0与双曲线有两个公共点
D.双曲线的离心率为3
三、填空题

命题“∀a∈R，a2−m+1>0”为真命题，则实数 m的取值范围是________.

动圆经过点A0,aa>0，且与直线l:y=−a相切，求动圆圆心M的轨迹方程是________.

我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献．现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为________.

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1 中，AB=AC=AA1=2，E，F分别是BA，A1C1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值为________

四、解答题

已知命题p：实数a满足a2−7at+12t20，命题q：实数a满足方程x2a−2−y26−a=1表示双曲线，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

在①tanBtanC−A=1，②bsinB+csinC=a2sinBsinCsinA+sinA这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，B=π3，a=2.
(1)求角A；

(2)求△ABC的面积．

张三家有两个池塘，分别育有青鱼苗和草鱼苗，7月3日以来一个星期内，天气持续高温，鱼苗开始发病，并不断恶化，张三找到生资站，购得仅有的某型鱼药4（单位：百克）进行防治．按以往经验统计，使用该型鱼药后，病情会得到控制，青鱼苗池的损失y1与鱼药的使用量x成反比，比例系数为1；草鱼苗池的损失y2也与鱼药的使用量成反比，比例系数为m，当青鱼苗池和草鱼苗池的鱼药使用量相同时，两个鱼池的总损失为5（单位：百元）.
(1)将y表示为x的函数，写出函数的定义域；

(2)为了让张三家两个鱼池的总损失最小，张三在两个鱼池的鱼药使用量分别应该怎样是多少？总损失为多少元？

如图，D，E分别是直三棱柱ABC−A1B1C1的棱AA1，B1C1的中点，且棱AB=AA1=2，CB=1，CA=3.

(1)求证：A1E//平面BDC1

(2)求直线BA1与平面BDC1所成角的正弦值．

设数列an的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N∗.
(1)设bn=Sn−3n，求数列bn的通项公式；

(2)设a=5，求所有可能乘积bibj1≤i≤j≤n的和．

已知Mx0,0，N0,y0两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|=1，若动点G满足OG→=2OM→+ON→，动点G的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；

(2)若过点M2,0的直线l与曲线E交于不同两点A，B，P为曲线E上的动点，OA→+OB→=tOP→（O为坐标原点），且t>263，求△AOB面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省娄底市高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】

【解答】
解：根据全称命题的否定是特称命题可知，
命题“p:∀x∈R，x2+5>4x”的否定是：
“¬p:∃x0∈R，x02+5≤4x0.
故选B .
2.
【答案】
D
【考点】
不等式性质的应用
【解析】

【解答】
解：∵ 1≤b≤3，
∴ −3≤−b≤−1.
∵ −2≤a≤4，
∴ −5≤a−b≤3．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
【解析】

【解答】
解：双曲线标准方程为y28−x2=1，
所以双曲线的焦点坐标为0,±3，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得：m=25−9=16．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】

【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵ S3=a2+10a1，a5=34，
∴ 3a1+3d=11a1+d,a1+4d=34,解得d=8，a1=2，
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
空间向量的加减法
【解析】

【解答】
解：MN→=ON→−OM→
=12OB→+OC→−13OA→=12b→+c→−13a→
=−13a→+12b→+12c→ .
故选A .
6.
【答案】
D
【考点】
解三角形的实际应用
【解析】

【解答】
解：在△ABC中，∠CAB=67.5∘，∠BCA=45∘，
∴ ∠ABC=67.5∘，∠ABC=∠CAB ，
∴ AC=BC=100m，作BD⊥AC，垂足为D，
则BD即为河的宽度．
∴ BD=BC⋅sin45∘=100×22=502m，
∵ 河的宽度为502m，故桥至少要建502m长．
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】

【解答】
解：由题意得出x1=y128，x2=y228，
∵ OA⊥OB，
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=y12y2264+y1y2=0.
∵ A，B两点均不与原点重合，则y1y2≠0，
∴ y1y2=−64，
令AB:x=my+n，代入y2=8xp>0得y2−8my−8n=0，
∴ y1y2=−64=−8n，即n=8 .
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
数列的函数特性
【解析】

【解答】
解：an+1−an=2n+1(n+1)2−2nn2=[(n−1)2−2]⋅2n(n+1)2⋅n2，
当n≥3时，n−12−2>0，∴ 当n≥3时an+1>an；
当ny>0，所以xy>1，故C正确；
D，由于x>y>0，所以x3>y3，故D正确.
故选CD .
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
共线向量与共面向量
【解析】

【解答】
解：因为AP→⋅AE→=0，AP→⋅AF→=0，|AF→|=|AE→|，
故B，C，D正确；
由AP→是平面ABCD的一个法向量知AP→与AE→、AF→不共面，故A错误．
故选BCD．
【答案】
A,C
【考点】
三角形的形状判断
解三角形
【解析】

【解答】
解：A，若csA=csB，因为余弦函数在0,π上为减函数，
则A=B，故A正确；
B，因为sinA=csB，所以A=B+π2或A=π2−B，
所以△ABC不一定是直角三角形，故B错误；
C，因为asinA=bcsB=ccsC，
所以sinB=csB，tanB=tanC，且A，B，C∈0,π,
所以π4=B=C，△ABC为等腰直角三角形，故C正确；
D，由已知a2+b2−c2