2020-2021学年宁夏银川市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年宁夏银川市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列关于命题的说法正确的是( )
A.命题“若xy=0 ，则x=0”的否命题是“若xy=0，则x≠0”
B.命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题
C.命题“∃x∈R ，x2−2x+2≥0”的否定是“ ∀x∈R ，x2−2x+2≥0”
D.命题“若csx=csy，则x=y ”的逆否命题是真命题

2. 椭圆x=23csθ，y=2sinθ(θ为参数）的离心率为( )
A.33B.32C.63D.12

3. 已知fx=x3−x2f′−1−1，则f′−1=( )
A.−3B.−2C.2D.3

4. 双曲线x23−y26=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.63B.2C.3D.6

5. 函数f(x)=x3+ax2+3x−9，已知f(x)在x=−3处取得极值，则a=( )
A.2B.3C.4D.5

6. 设x，y满足约束条件2x−y≤6,x+y≥3,y≤2,则z=yx的最大值是( )
A.−1B.0C.12D.2

7. 设命题p：函数f(x)=2x+2−x在R上单调递增，命题q：在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件．则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∨(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)

8. 已知椭圆：x24+y22=1，过点M1,1的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为( )
A.x+2y−3=0B.2x+y−3=0C.x+y−2=0D.2x−y+1=0

9. 若k∈R，则“k>3”是“方程x2k−3−y2k+3=1表示双曲线”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10. 已知抛物线y2=12x的焦点为F ，P是该抛物线上一动点，点A4,1，则|PA|+|PF|的最小值是( )
A.4B.7C.10D.12

11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为( )
A.x24−y212=1B.x212−y24=1C.x23−y2=1D.x2−y23=1

12. 已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )

A.(0, 12)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)∪(12, 2)
C.(−∞, 0)∪(12, +∞)D.(−∞, 12)∪(2, +∞)
二、填空题

函数y=12x2−lnx的单调递减区间为________．

已知命题“ ∀x∈R，ax2−ax+1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________.

如果F1，F2分别是双曲线x216−y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则△ABF2的周长是________．

已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
三、解答题

已知直线l:x=32t，y=1+12t，（t为参数）与曲线 C:x=3sinθ，y=csθ，（θ为参数）交于P，Q两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)求弦PQ的长．

如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．

(1)水位下降1m后，计算水面宽多少米；

(2)已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，求A，B两点间的距离．

设函数 fx=|x|+|2x+3|.
(1)画出y=fx的图象；

(2)若关于x的不等式fx≥a22+a对于 ∀x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数fx=13x3+2x2−5x+ax∈R.
(1)当a=−23时，求函数图象在点−1,6处的切线方程；

(2)若fx有三个零点，求a的取值范围．

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=63，并且经过定点P32,12.
(1)求曲线E的方程；

(2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值．

已知函数f(x)=3x−1+x+1．
(1)解不等式f(x)≤2；

(2)记函数g(x)=fx+2x+1的值域为M，若t∈M，求4t+4t的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏银川市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
四种命题的真假关系
命题的否定
【解析】

【解答】
解：对于A，命题“若xy=0，则x=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0"，故A错误；
对于B，命题“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：
“若x，y互为相反数，则x+y=0"是真命题，故B正确；
对于C，命题“∃x∈R， x2−2x+2≥0"的否定是"∀x∈R，x2−2x+2<0"故C错误；
对于D，命题“若csx=csy，则x=y”是假命题，则逆否命题也是假命题，故D错误.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
椭圆的参数方程
椭圆的离心率
【解析】
将椭圆的参数方程转化为普通方程，即可求其离心率．
【解答】
解：∵ x=23csθ,y=2sinθ（θ为参数），
∴ x232+y22=cs2θ+sin2θ=1，即x212+y24=1，
∴ a2=12，b2=4，
则c2=a2−b2=8a>0,b>0,c>0，
∴ 离心率e=ca=2223=63.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
根据函数的导数公式求得函数的导数，即可得到结论．
【解答】
解：因为fx=x3−x2f′−1−1，
所以f′x=3x2−2xf′−1，
所以f′−1=3+2f′−1，
解得f′−1=−3.
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
先求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，再利用点到直线的距离求解即可．
【解答】
解：因为双曲线的方程为x23−y26=1，
所以其焦点为±3,0，渐近线方程为y=±2x，
取其中一个焦点3,0，其中一条渐近线为y=2x，
则焦点到渐近线的距离为d=321+22=6.
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
因为f(x)在x=−3是取极值，则求出f′(x)得到f′(−3)=0解出求出a即可．
【解答】
解：∵ f′(x)=3x2+2ax+3，
又f(x)在x=−3时取得极值，
∴ f′(−3)=30−6a=0，
解得：a=5．
故选D.
6.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：画出可行域，如图所示，
由x+y=3,y=2,得：A(1,2)，
z=yx的几何意义是可行域内的点x,y与定点O0,0连线的斜率，
由图象可知，当z=yx过点A(1,2)时，AO连线的斜率取得最大值，
所以zmax=yx=21=2.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
命题p：函数f(x)＝2x+2−x在(−∞, 0)上单调递减，即可判断出真假．命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b，再利用正弦定理可得：asinA=bsinB，进而判断出真假．
【解答】
解：因为函数f(x)=2x+2−x在(−∞, 0)上单调递减，
所以命题p是假命题．
在△ABC中，A>B，
可得a>b，
由正弦定理可得：asinA=bsinB，
所以sinA>sinB，反之也成立，
所以命题q是真命题，
所以(¬p)∧q为真命题．
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
首先设出Ax1,y1,Bx2,y2，可得x1+x2=2,y1+y2=2，然后将Ax1,y1,Bx2,y2分别代入椭圆方程，整理并求得直线斜率为−12，问题得解．
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x124+y122=1，①
x224+y222=1，②
①−②得x1−x2x1+x24+y1−y2y1+y22=0，
∴ y1−y2x1−x2=−12⋅x1+x2y1+y2.
又∵ M为AB中点，
∴ x1+x2=2，y1+y2=2，
∴ 直线AB的斜率为y1−y2x1−x2=−12，
∴ 直线AB的方程为y−1=−12x−1，
即x+2y−3=0.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k−3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．
【解答】
解：依题意：“方程x2k−3−y2k+3=1表示双曲线”
可知(k−3)(k+3)>0，
求得k>3或k<−3，
则“k>3”是“方程x2k−3−y2k+3=1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的准线方程以及焦点的坐标，过A向准线作垂线，垂足为B，设P到准线的距离为d，则由抛物线的定义可得|PF|=d，分析可得|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AB|，计算|ABI的值，即可得答案．
【解答】
解：∵ 抛物线的方程为y2=12x，
∴ 点A4,1在抛物线开口内部，
抛物线的准线方程为：x=−3，焦点为F3,0.
过A向准线作垂线，垂足为B，如图所示，
设P到准线的距离为d，
则有|PF|=d，
则|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AB|=7.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
【解析】
利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，
点A在双曲线的渐近线上，
△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2，ba=3，即b2a2=3，c2−a2a2=3，
解得a=1，b=3，双曲线的焦点坐标在x轴，
所得双曲线方程为：x2−y23=1．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性与导数的关系
其他不等式的解法
【解析】
函数y=f(x)(x∈R)的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式xf′(x)<0的解集
【解答】
解：由f(x)图象单调性可得：
f′(x)在(−∞, 12)∪(2, +∞)大于0，在(12, 2)上小于0，
∴ xf′(x)>0的解集为(0, 12)∪(2, +∞)．
故选A．
二、填空题
【答案】
(0, 1)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据题意，先求函数y=12x2−lnx的定义域，进而求得其导数，即y′＝x−1x=x2−1x，令其导数小于等于0，可得x2−1x≤0，结合函数的定义域，解可得答案．
【解答】
解：对于函数y=12x2−lnx，
易得其定义域为{x|x>0}，
y′=x−1x=x2−1x.
令x2−1x<0，
即x2−1<0.
又x>0，
解得，0即函数y=12x2−lnx的单调递减区间为(0, 1).
故答案为：(0, 1).
【答案】
[0,4)
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】

【解答】
解：由题意得，不等式ax2−ax+1>0对x∈R恒成立．
①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；
②当a≠0时，若不等式ax2−ax+1>0对x∈R恒成立，
则a>0，Δ=a2−4a<0，
解得0综上可得，实数a的取值范围是[0,4).
故答案为：[0,4).
【答案】
28
【考点】
双曲线的定义
【解析】
本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知|AF2|−|AF1|=8①，|BF2|−|BF1|=8②，两式相加再结合已知|AB|=6即可求解．
【解答】
解：由题意知：a=4，b=3，
故c=5．
由双曲线的定义知：
|AF2|−|AF1|=8，①
|BF2|−|BF1|=8，②
①+②得：
|AF2|+|BF2|−|AB|=16，
所以|AF2|+|BF2|=22，
所以△ABF2的周长是：
|AF2|+|BF2|+|AB|=28.
故答案为：28.
【答案】
x2=−12y
【考点】
抛物线的定义
圆与圆的位置关系及其判定
轨迹方程
【解析】
本题考查轨迹方程.
【解答】
解：设动圆圆心M(x,y)，则
由题意可得M到C(0,−3)的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知，
动圆圆心M的轨迹是以C(0, −3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，
其方程为：x2=−12y．
故答案为：x2=−12y．
三、解答题
【答案】
解：1由题意得，直线l:x=32t，y=1+12t，（t为参数），
消去t，可得y=33x+1.
曲线 C:x=3sinθ，y=csθ，（θ为参数）
消去参数θ，可得x23+y2=1.
2将直线l：x=32t，y=1+12t代入椭圆方程方程x23+y2=1，
可得t2+2t=0，
则Δ=4>0，
所以t1+t2=−2，t1t2=0，
所以|PQ|=|t1−t2|
=t1+t22−4t1t2
=−22−4×0
=2.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：1由题意得，直线l:x=32t，y=1+12t，（t为参数），
消去t，可得y=33x+1.
曲线 C:x=3sinθ，y=csθ，（θ为参数）
消去参数θ，可得x23+y2=1.
2将直线l：x=32t，y=1+12t代入椭圆方程方程x23+y2=1，
可得t2+2t=0，
则Δ=4>0，
所以t1+t2=−2，t1t2=0，
所以|PQ|=|t1−t2|
=t1+t22−4t1t2
=−22−4×0
=2.
【答案】
解：1以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向．
设抛物线的方程为x2=−2pyp>0，
将点−2,−2代入，得p=1，
所以x2=−2y.
当y=−3时，x=±6，
所以水面宽为26m.
2由(1)得，抛物线方程为x2=−2y，
焦点坐标为0,−12，
则直线方程为y=2x−12.
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程 x2=−2y，y=2x−12，
得4y2+36y+1=0，
则y1+y2=−9,
所以A，B两点间的距离|AB|=−y1+y2+p=10.
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的应用
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：1以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向．
设抛物线的方程为x2=−2pyp>0，
将点−2,−2代入，得p=1，
所以x2=−2y.
当y=−3时，x=±6，
所以水面宽为26m.
2由(1)得，抛物线方程为x2=−2y，
焦点坐标为0,−12，
则直线方程为y=2x−12.
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程 x2=−2y，y=2x−12，
得4y2+36y+1=0，
则y1+y2=−9,
所以A，B两点间的距离|AB|=−y1+y2+p=10.
【答案】
解：(1)原函数等价于：
fx=−3x−3，x≤−32，x+3，−32所以函数y=fx的图象如图所示．
(2)由函数fx的图象可知，
当x=−32时，fxmin=32.
要使不等式fx≥a22+a对于∀x∈R恒成立，
只需a22+a≤32，即a2+2a−3≤0，
解得−3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为−3,1.
【考点】
函数的图象
绝对值不等式
函数恒成立问题
【解析】
(1) 化简函数为分段函数的形式，然后画出函数图像；
（2）根据函数的图像求出最值.
【解答】
解：(1)原函数等价于：
fx=−3x−3，x≤−32，x+3，−32所以函数y=fx的图象如图所示．
(2)由函数fx的图象可知，
当x=−32时，fxmin=32.
要使不等式fx≥a22+a对于∀x∈R恒成立，
只需a22+a≤32，即a2+2a−3≤0，
解得−3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为−3,1.
【答案】
解：(1)当a=−23时，fx=13x3+2x2−5x−23，
则f′x=x2+4x−5，
f′−1=1−4−5=−8，
∴ 切线方程为y−6=−8x+1，
即：8x+y+2=0．
(2)令f′x=x2+4x−5>0，得x>1或x<−5，
令f′x=x2+4x−5<0，得−5∴ fx在(−∞,−5)上单调递增，
在(−5,1)上单调递减，在1,+∞上单调递增．
∴ fx极大=f−5=a+1003，fx极小=f1=a−83．
又当x→−∞时，fx→−∞；当x→+∞时，fx→+∞，
∴ 要使fx有三个零点，则 a+1003>0，a−83<0， 解得−1003∴ a的取值范围是−1003,83．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】


【解答】
解：(1)当a=−23时，fx=13x3+2x2−5x−23，
则f′x=x2+4x−5，
f′−1=1−4−5=−8，
∴ 切线方程为y−6=−8x+1，
即：8x+y+2=0．
(2)令f′x=x2+4x−5>0，得x>1或x<−5，
令f′x=x2+4x−5<0，得−5∴ fx在(−∞,−5)上单调递增，
在(−5,1)上单调递减，在1,+∞上单调递增．
∴ fx极大=f−5=a+1003，fx极小=f1=a−83．
又当x→−∞时，fx→−∞；当x→+∞时，fx→+∞，
∴ 要使fx有三个零点，则 a+1003>0，a−83<0， 解得−1003∴ a的取值范围是−1003,83．
【答案】
解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，
又a2=b2+c2，
解得a=3，b=1，c=2
∴ 曲线E的方程为x23+y2=1.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x23+y2=1，y=kx+2，
消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0，
∴ Δ=12k2−361+3k2=36k2−36>0，
即k2>1，
∴ x1+x2=−12k1+3k2 ，x1x2=91+3k2，
∴ x1−x22=x1+x22−4x1x2
=144k21+3k22−361+3k2
=36k2−11+3k22.
又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2，
∴ S△AOB=12|AB|d
=12×1+k2|x1−x2|×21+k2
=|x1−x2|.
令t=k2，则t>1，
∴ S2=x1−x22=36t−11+3t2
=36t−19t2+6t+1
=36t−19t−12+24t−1+16
=369t−1+16t−1+24t>1，
当且仅当t−1=43，即t=73时，Smax2=34，
所以当k2=73，即k=±213时，△AOB的面积最大，最大为32.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
点到直线的距离公式
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的离心率与曲线上的点的坐标，求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）联系直线与椭圆的方程，然后根据韦达定理可知x1+x2=−12k1+3k2，x1x2=91+3k2，然后求出点到直线的距离d=21+k2,，然后求出三角形的面积公式为S2=369t−1+16t−1+24 t>1，根据均值不等式求出面积的最大值.
【解答】
解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，
又a2=b2+c2，
解得a=3，b=1，c=2
∴ 曲线E的方程为x23+y2=1.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x23+y2=1，y=kx+2，
消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0，
∴ Δ=12k2−361+3k2=36k2−36>0，
即k2>1，
∴ x1+x2=−12k1+3k2 ，x1x2=91+3k2，
∴ x1−x22=x1+x22−4x1x2
=144k21+3k22−361+3k2
=36k2−11+3k22.
又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2，
∴ S△AOB=12|AB|d
=12×1+k2|x1−x2|×21+k2
=|x1−x2|.
令t=k2，则t>1，
∴ S2=x1−x22=36t−11+3t2
=36t−19t2+6t+1
=36t−19t−12+24t−1+16
=369t−1+16t−1+24t>1，
当且仅当t−1=43，即t=73时，Smax2=34，
所以当k2=73，即k=±213时，△AOB的面积最大，最大为32.
【答案】
解：(1)依题意，得f(x)=−4x，x≤−1，−2x+2，−1若f(x)≤2，
则x≤−1，−4x≤2或−1解得0≤x≤12，
即不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤12}．
(2)g(x)=3x−1+3x+1≥3x−1−3x+3=4，
当且仅当(3x−1)(3x+3)≤0时，取等号，
所以M=[4, +∞)，
则y=4t+4t在[4, +∞)上单调递增，
所以4t+4t=4(1t+t)≥4×(14+4)=17，
所以4t+4t的最小值为17．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
绝对值三角不等式
函数最值的应用
【解析】
(Ⅰ)去掉绝对值符号，转化求解不等式f(x)≤2即可．
(Ⅱ)求出的值域M＝[4, +∞)．利用y = 4t + 4t在[4, +∞)上是单调递增，结合单调性转化求解即可．
【解答】
解：(1)依题意，得f(x)=−4x，x≤−1，−2x+2，−1若f(x)≤2，
则x≤−1，−4x≤2或−1解得0≤x≤12，
即不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤12}．
(2)g(x)=3x−1+3x+1≥3x−1−3x+3=4，
当且仅当(3x−1)(3x+3)≤0时，取等号，
所以M=[4, +∞)，
则y=4t+4t在[4, +∞)上单调递增，
所以4t+4t=4(1t+t)≥4×(14+4)=17，
所以4t+4t的最小值为17．