二次函数考点分析

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二次函数是在学生学过数、式、方程、不等式和一次函数的基本知识上展开的。二次函数是初中数学教学内容中最重要、也是学生掌握、灵活运用最困难的部分。作为初中阶段数学学习的主要内容，其概念、性质、图像与其他数学知识有着广泛的联系，在实际生活和生产应用上，具有重要的数学模型作用。二次函数知识的掌握和灵活应用是初中数学教学核心之一，也是测验学生数学综合应变能力和应用数学模型刻画实际问题能力的标志之一。作为中考内容主要考查：
1、灵活考查函数关系式的建立和转化能力。
2、综合考查函数知识和函数思想，主要体现在与方程、不等式知识的横向联系，动态几何问题的应用及侧重函数的意义、性质、思想和方法等方面。
3、考查在函数图像基础上衍生出的一些新问题，呈现的方式也是灵活多样。
自实施新课改以来，在最近5年眉山市中考数学考试中，最后一道压轴题都对二次函数这个知识点进行了考查。现对眉山市近年中考有关二次函数这一考点逐一进行分析：
2011年
26．如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2) 抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d1=d2+1；
(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。
考点：二次函数综合题
分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把点B（-4，4）的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；容易证得Rt△BAE≌Rt△ACD，根据全等三角形的对应边相等，分别求出AD、DC的长，便可求出点C的坐标。
（2）作辅助线构建Rt△PAF，）设P点坐标为（a，b），因点P在抛物线上，所以可以把b表示为b=1/4a2，再分别把线段PF、AF用含字字母a的代数式表示出来，在Rt△PAF中，利用勾股定理，便可证得d2=d1+1；
（3）利用问题（2）的结论，有△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，当C、P、H三点共线时，PC+PH最小，此时P点的横坐标应为3，通过代入便可求出点的P的纵坐标与△PAC的周长的最小值。
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），
此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11
解答：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵抛物线经过点B（-4，4），
∴4=a•42，解得a=1/4，所以抛物线的解析式为：y=1/4x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，∴C点坐标为（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=1/4x2上，∴b=1/4a2，∴d1=1/4a2，∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=1/4a2-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2===1/4a2+1
∴d2=d1+1；
（3）过C点作x轴 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），
此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
点评：本题以二次函数为背景，结合图形旋转，求函数的二次函数的解析式，三角形全等的判定，勾股定理，两点之间线段最短，乘法公式与因式分解等知识点，难点在于把这些知识点综合起来运用解决相关的数学问题。
2013年
26．（11分）（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：
①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；
②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；
③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．
（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．
2014年
26．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由
考点：二次函数综合题．
解析：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；
（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．
解答：（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=3，
则C点坐标为（0，3）；
抛物线的对称轴为直线x=-1，
则B点坐标为（-3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
解得a=-1，
则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；
（2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）
如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，
设直线BC的关系式为：y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入y=kx+b得 -3k+b＝0 ，
b＝3 ，
解得 k＝1，b＝3

∴直线BC的关系式为y=x+3，
当x=-1时，y=-1+3=2，
∴P点坐标为（-1，2）；
（3）①当以AB为对角线，如图2，
∵四边形AMBN为平行四边形，
A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，
∴M点横坐标为-2，
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，
∴M点坐标为（-2，3）；
②当以AB为边时，如图3，
∵四边形ABMN为平行四边形，
∴MN=AB=4，即M1N1=4，M2N2=4，
∴M1的横坐标为-4，M2的横坐标为4，
对于y=-x2-2x+3，
当x=-4时，y=-16+8+3=-5；
当x=4时，y=-16-8+3=-21，
∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．
综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．
点评：本题是对二次函数综合题型进行考查，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、求最小值、平行四边形等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．
2015年
26．（本小题满分1 1分）如图，已知抛物线y= ax2 +bx +c的顶点D的坐标为（1， ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为(4，0)，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)若动点P满足∠PAO不大于45 0，求P点的横坐标m的取值范围；
(3)当P点的横坐标m<0时，过p点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．.
解析：（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得P点坐标．
解答：解：（1）由A、B点的函数值相等，得
A、B关于对称轴对称．
A（4﹣0），对称轴是x=1，得
B（﹣2，0）．
将A、B、D点的坐标代入解析式，得
，
解得，
抛物线所对应的二次函数的表达式y=x2﹣x﹣4；
（2）如图1作C点关于原点的对称点D，
OC=OD=OA=4，
∠OAC=∠DAO=45°，
AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，
直线AD的解析式为y=﹣x+4，
联立AD于抛物线，得，
解得x=﹣4或x=4，
∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，
P点的横坐标的取值范围是﹣4＜m＜0；
（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，
如图2，
设P（a，a2﹣a﹣4），
由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．
∴△PQO∽△COB，
∴=即=，
化简，得a2﹣3a﹣8=0．
解得a=，a=（不符合题意，舍），
a2﹣a﹣4=（）2﹣﹣4=，
P点坐标为（，）．
点评：本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AD之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．
以二次函数为背景的综合题，涉及初中数学的函数、几何作图、方程、相似形等知识，结合动态问题、存在性问题、最值问题等方面，能最大限度的调动考生的综合应变能力、计算能力；对提高学生的分析、判断能力，起到其他知识不能替代的作用，它具有较好的区分度和选拔功能，是各地中考题最常见的情形。我们眉山市的中考更是如此，这几年的中考最后一道压轴题都是以二次涵数为背景来进行设计，每年都在不断地创新，成了我们眉山市数学中考一道亮丽的风景线，我们在进行二次函数教学时要注意有关涉及的考点。
解答：
解答：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．
抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．
（2）存在．
△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．
∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．
设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：
，
解得k=1，b=﹣1，
∴y=x﹣1．
将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，
整理得：x2+x﹣2=0，
解得x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
②以点P为直角顶点．
此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．
过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；
因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．
∴P（﹣3，0）；
③以点E为直角顶点．
此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．
综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）．
（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．
点
点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．