数学必修 第一册5.5 三角恒等变换练习

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第五章  三角函数5.5.2  简单的三角恒等变换一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）化简cosx＋sinx等于(　　)A．2cos B．2cosC．2cos D．2cos【答案】B【解析】cosx＋sinx＝2＝2＝2cos.故选B.2．（2019·全国高一课时练习）若，则的值等于（ ）A．             B．或不存在      C．2           D．2或【答案】B【解析】由得，即，所以或，所以或，所以不存在或，故选：B.3.（2019·甘肃高一课时练习）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．4．（2019·全国高一课时练习）已知cos θ=－，θ∈（－π，0），则sin+cos=（  ）A．                B．            C．            D．【答案】D【解析】∵cos θ=－，θ∈（－π，0），∴cos2－sin2=（cos+sin）（cos－sin）＜0，∈（，0），∴sin+cos＜0，cos－sin＞0，∵（sin+cos）2=1+sin θ=1－=，∴sin+cos=．故选D．5．（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在区间上的值域是，则常数ω所有可能的值的个数是(　　)A．0 B．1           C．2           D．4【答案】C【解析】函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx，化简可得f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋，因为x∈，f(x)∈，所以－1≤sin≤0，则≤－≤，又T＝＝，所以≤≤，即≤ω≤3，sin＝0的结果必然是x＝或.当x＝时，解得ω＝满足题意，当x＝时，解得ω＝满足题意．所以常数ω所有可能的值的个数为2.故选C.6．（2019·全国高一课时练习）已知函数f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（  ）A．                 B．         C．        D．【答案】D【解析】f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1==2（）=2．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－）=0，则2φ－=kπ，φ=．取k=0时，φ=．∴φ的值可以是．二、填空题7．（2019·甘肃高一课时练习）___________________________．【答案】【解析】根据辅助角公式，化简 8．（2019·全国高一课时练习）求值： ________．【答案】4【解析】 9．（2019·全国高一课时练习）已知cos α+cos β=，则coscos的值为          ．【答案】【解析】∵cos α+cos β=，∴coscos=[cos（－）+cos（+）]=（cos α+ cos β）=×=．10．（2019·全国高一课时练习）已知sin α+sin β=，cos α+cos β=，则=          .【答案】【解析】由sin α+sin β=，可得2sincos=，①由cos α+cos β=，可得2coscos=，②由可得=．所以===．  三、解答题11．（2019·全国高一课时练习）已知函数(R).（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;（2）若为锐角，且，求的值.【答案】(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)【解析】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，．∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．（2）∵，∴．∴．∵θ为锐角，∴． ∴．12．（2019·湖北高一课时练习）如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C．(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.【答案】（1）A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为；（2）当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.【解析】 (1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.