2021年高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.6 解答（30道）冲刺篇（1-3章）（解析版）

这是一份2021年高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.6 解答（30道）冲刺篇（1-3章）（解析版），共28页。试卷主要包含了比较下列各组中两个代数式的大小等内容，欢迎下载使用。
专题3.6  解答（30道）冲  刺篇（期中篇）（1-3章） 1．已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合；（2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；（3）写出所有满足集合的偶数.【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）所有满足集合的偶数为，．【解析】（1），，，，假设，，则，且，，，或，显然均无整数解，，，，；（2）集合，则恒有，，即一切奇数都属于，又，“”的充分非必要条件是“”；（3）集合，成立，①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，综上所有满足集合的偶数为，．2．已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，或，因此，；（2）由（1）可得，若是的充分不必要条件，则，所以，，解得.①当时，，则成立；②当时，，则成立.综上所述，实数的取值范围是.3．设集合．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或； （2）或.【解析】（1）集合，若，则是方程的实数根，可得：，解得或；（2）∵，∴，当时，方程无实数根，即解得：或；当时，方程有实数根，若只有一个实数根，，解得：．若只有两个实数根，x=1、x=2，,无解.综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}4．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）当，且时，与.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因此，；（2）.①当时，即，时，，；②当时，即，时，，.综上所述，当，且时，.5．已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵，∴.（2）∵，，∴，即，∴，∴.当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.6．已知，，为正实数，且，证明：（1）；（2）.【解析】（1）因为，，为正实数，所以，，，（当且仅当时，等号同时成立），所以.（2）因为，所以又，即.（当且仅当时，等号同时成立）.所以，即.7．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】（1）当时，，解得，所以；当时，，；当时，，解得，所以.综上，不等式的解集为.（2）证明：因为为正数，则等价于对任意的恒成立.又因为，且，所以只需证，因为，当且仅当时等号成立.所以成立.8．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若为集合中的最大元素，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当，即时，，解得；当，即时，，解得，所以不等式的解集（2）由（1）知，所以，所以.当且仅当，时,等号成立.所以的最小值的最小值为.9．已知，函数.（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵的图象开口向上，对称轴为，∴在上单调递减，∴，即，解得.（2）不等式对恒成立，即对恒成立，故且在恒成立，令，，所以，所以.令，所以，所以.综上：.10．（1）已知，，且，比较与的大小； （2）若关于的不等式的解集中整数恰好有个，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），且，，则，因此，；（2）由可得，由于不等式的解集中恰好有三个整数，则，可得.原不等式的解为，即，，则，，所以，不等式的解集中一定含有整数、、，则，可得，解得.因此，实数的取值范围是.11．已知函数的图象关于直线对称且．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）最大值，最小值.【解析】（1）由于函数的图象关于直线对称且，则，解得；（2），，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为．12．已知，若关于x的不等式的解集是．(1)求a的值；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)和是的两根，将代入方程解得；(2)由(1)可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，此时；当时，不等式可转化为在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以,综上，实数b的取值范围为.13．已知函数（1）若，求的值；（2）解不等式.【答案】（1） ；（2）.【解析】（1）当时，由，得，不符合题意；当时，由，得或 (舍去)，故（2）等价于 ——①或——②解①得，解②得，综合①②知的解集为.14．已知，求。【答案】，【解析】令，则，将代入中，可得，所以，。15．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）设，则，又，所以，，解得或，因此，或；（2），则，，即，即，所以，解得.因此，.16．已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.【答案】（1）和；（2）.【解析】（1）当时，，可知函数的单调递增区间为；（2）由题知在恒成立，即，即，即只要且在上恒成立即可，在时，只有的最大值小于且的最小值大于即可，当时，单调递增，则，当时，单调递增，则，.17．已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).【答案】（1）；（2）【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c,b(x-1)+c+a+bx+c=2a+(2b-2a)x+a-b+2c=2+4,,解得,∴f(x)=x2+x+2.(2)∵f(x)=x2+x+2的对称轴为x=-;当tt+2，即时, =f(-)=当t时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递增， =f(t)=t2+t+2,当t<时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递减， =f(t+2)=+5t+8,综上:f(x)min=18．已知函数，.（1）判断该函数在区间上的单调性，并给予证明；（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）在区间上是减函数；证明见解析；（2），.【解析】解：（1）在区间上是减函数.（导数法也可以）证明任意取，且，则，..∵，∴，，.∴，∴.∴在区间上是减函数.（2）由（1）可知在区间上是递减的，故对任意的均有，∴，.19．已知奇函数的定义域为，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的解析式；（3）若有成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）时，；（3）或 .【解析】（1）∵函数为奇函数，∴；（2）设，则－∴，∵函数为奇函数　　∴当时,；（3）因为由得或， 所以或， 解得或．20．已知定义在上的奇函数是增函数，且．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵是区间上的奇函数，∴,又，∴∴，此时，为奇函数；（2）∵，且为奇函数，∴又函数在区间上是增函数∴，解得故关于的不等式的解集为．21．已知幂函数，且在上为增函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数，求在区间上的最小值.【答案】（1）；（2）时，；时，.【解析】（1）,即,则,解得或, 当时,,当时,,∵在上为增函数,∴（2）由（1）,,,①时,,,②时,对称轴（i）,即时,（ii）,即时,③时,∵,∴综上：时,；时,22．已知是幂函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增．（1）求的值；（2）解不等式【答案】（1）； （2）.【解析】函数是幂函数，则，即，解得或，当时，函数，此时函数在上单调递减，不符合题意；当时，函数，此时函数在上单调递增，符合题意，综上可得，实数的值为.（2）由（1）知，函数，又由不等式，即，即或，解得或，即不等式的解集为.23．已知幕函数为偶函数，且在上单调递增.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上的值恒为正数，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）∵函数为偶函数且在上单调递增，∴为正偶数．而，∴（时取等号），∴；（2）函数，令，∴．根据一次函数的保号性可知：，所以实数的取值范围时．24．已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=，为奇函数，不合题意，舍去.故f(x)=； （2）由（1）得，函数的对称轴为x=a-1，由题意知函数在(2,3)上为单调函数，∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.25．已知幂函数满足：（1）在区间上为增函数；（2）对任意的都有.求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域.【答案】，值域是【解析】由题意，幂函数递增，所以解得，因为，所以或．又因为，所以函数是偶函数，当时，，即函数，满足题意当时，，即函数，不满足题意所以函数的解析式为，由幂函数的性质，可得幂函数在区间上递增，所以最小值为，最大值为．所以函数的值域是．26．已知幂函数(1)求的解析式；(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.【答案】（1）或（2）(i) 单调递减区间为，无单调递增区间 (ii) .【解析】（1）    因为幂函数，所以，解得或，所以函数为或.（2）(i)因为图像不经过坐标原点，所以，函数的单调递减区间为，无单调递增区间.(ii)因为图像经过坐标原点，所以，因为为偶函数，且在上为增函数，所以，又在上为增函数，所以，解得，所以不等式的解为.27．已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】(1) 幂函数为偶函数,∴,解得或；当时, 不符合题意,舍去；当时, 满足题意；∴；(2)由(1)知,不等式化为,解得或,即或,∴实数a的取值范围是或．28．已知幂函数在上单调递增.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，即，所以.（2）由于在区间都是减函数，且分三种情况讨论：①当，即时，原不等式成立；②当且时，有，即，解集为空集；③当且时，有，即，∴综上所述：的取值范围是.29．定义在上的函数，满足，且当时，.（1）求的值.（2）求证：.（3）求证：在上是增函数.（4）若，解不等式.（5）比较与的大小.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.【解析】（1）令，由条件得.（2），即.（3）任取，，且，则.由（2）得.，即.∴在上是增函数.（4）∵，∴，.又在上为增函数，∴解得.故不等式的解集为.（5）∵，，∵，∴（当且仅当时取等号）.又在上是增函数，∴.∴.30．函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）判断单调性并证明；（3）若，解不等式.【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）【解析】(1)令,得,∴.(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,即,∴是上的增函数.(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.