人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件练习

1.4　充分条件与必要条件

【本节明细表】

基础巩固

1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的(　　)

A.充分不必要条件 B．充分必要条件

C.必要不充分条件 D．非充分非必要条件

【答案】A

【解析】当x>3,则x2-2x>0,充分性成立;当x2-2x>0时,则x<0或x>2,必要性不成立.故选A.

2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C.充要条件         D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形,因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.

3.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的(　　).

A.充分条件                 B.必要条件

C.既不充分也不必要条件     D.无法判断

【答案】B

【解析】原命题的逆命题是“若q,则p”,它是真命题,即q⇒p,所以p是q的必要条件.

4．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．          B．

C．       D．

【答案】D

【解析】　由x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件得 ，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.

5.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的(　　)

A.充分不必要条件      B．必要不充分条件

C.充分必要条件       D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当0<ab<1,a<0,b<0时,有b>;反过来,b<,当a<0时,有ab>1.所以“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必要条件,故选D.

6.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)

A.         B．

C.        D．

【答案】D

【解析】由x2+x-2>0得x>1或x<-2,若q是p的充分不必要条件,则a≥1.故选D.

7.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的　　　　条件. 

【答案】 充分不必要

【解析】当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是　　　　. 

【答案】

【解析】根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有 {x|(a+x)(1+x)<0},

故有a>2.

能力提升

9．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)

A．a<0                   B．a>0

C．a<－1                 D．a<1

【答案】C

【解析】　一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C．

10．设p：≤x≤1；q：(x－ )(x－－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是(　　)

A. 0 B． 0≤≤

C. 0≤ D.  0≤

【答案】B

【解析】　∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

∴或解得0≤a≤.

11.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件, q是s的必要条件.现有下列命题:

①s是q的充要条件　②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件　④r是s的充分条件而不是必要条件

则正确命题序号是　　　　. 

【答案】①②

【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件,可得p⇒r,由s是r的必要条件可得r⇒s,由q是r的充分条件得q⇒r,由q是s的必要条件可得s⇒q,故可得推出关系如图所示:

据此可判断命题①②正确.

12．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

【答案】见解析．

【解析】 (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.

(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

素养达成

13．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】见解析．

【解析】∵q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．

对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10.

设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，由题意知PQ，

∴或

解得m≥9，∴实数m的取值范围是